Экономико-математические методы и прикладные модели

- общая стоимость запасов  всех видов ресурсов

Ограничения:

- стоимость всех ресурсов, используемых для изготовления одного изделие I вида;   40 – цена изделия I вида.

- стоимость всех ресурсов, используемых  для изготовления одного изделие  II вида;     60 – цена изделия II вида.

- стоимость всех ресурсов, используемых для изготовления одного изделие III вида;     80 – цена изделия III вида.

 

4. Найдем оптимальное решение двойственной задачи, используя условия второй теоремы двойственности. Эти условия применяются для нахождения оптимального решения одной из задач, если известно оптимальное решение другой.

          

                                

                                               

                                                               

                            

                                         

                                                                                     

                               

                              

                                                                    

Получаем систему  уравнений:

Решая ее относительно неизвестных  параметров, получаем: у₁ = 6,67, у₂ = 33,33, у₃ = 0.

План выпуска  продукции  и набор цен на ресурсы являются оптимальными тогда и только тогда, когда выручка от реализации готовой продукции по внешним ценам равна затратам на ресурсы по внутренним ценам.

 

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

Нулевое значение переменной Х₃ в оптимальном плане означает, что изготовление этого вида продукции не выгодно, т.к. цена реализации этого вида продукции низкая, а нормы расхода ресурса на изготовление одного изделия этого вида высокие.

- затраты на изготовление  продукции третьего вида.

80 – цена  едини продукции его вида.

86,67 > 80, затраты  на изготовление больше цены изделия, производство продукции третьего вида убыточно.

 

4. На основе двойственных оценок и теорем двойственности:

• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- расход ресурса труд на  производство изделий всех видов;

40 + 4*40 + 3*0 = 200

200 – запас  ресурса труд.

200 = 200, следовательно  ресурс труд расходуется полностью, является дефицитным.

-  расход сырья на производство  изделий всех видов;

40 + 40 + 0 = 80

80 – запас  сырья.

80 = 80, значит  ресурс сырье расходуется полностью,  является дефицитным.

 расход рабочего времени оборудования на производство изделий всех видов;

40 + 40 + 2*0 = 80

140 – запас  рабочего времени оборудования.

80 < 140, следовательно  ресурс оборудование расходуется  не полностью, он находится  в избытке, не является дефицитным, его ценность равна нулю.

Самым дефицитным является ресурс сырье, так как он имеет наибольшую теневую цену (y₂=33,33); наименее дефицитен ресурс труд (y₁=6,67).

Ограниченные  запасы дефицитных ресурсов сырье и труд сдерживают увеличение объемов выпускаемой продукции и рост максимальной выручки от ее реализации. Увеличение объема ресурса труд на одну единицу при неизменных объемах других ресурсов ведет к росту максимальной выручки на 6,67 единицы, увеличение объема ресурса сырье на единицу — на 33,33 единицы. Ресурс оборудование используется не полностью 80 < 140, поэтому имеет нулевую двойственную оценку (y₃ = 0), т.е. является избыточным в оптимальном плане. Увеличение объема этого ресурса не влияет на оптимальный план выпуска продукции и ее общую стоимость.

 

• определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья на 18 единиц;

- изменение запаса ресурса вида i;

- изменение общей стоимости продукции.

Применим формулу из третьей теоремы двойственности:

(ден. ед.)

Значит стоимость  продукции увеличиться на 600 ден. единиц и станет равной 4 600 (4000 + 600 = 4600)

Модель задачи при измененных запасах ресурсов будет иметь вид:

Х'₁ – количество единиц изделий I вида;

Х'₂ – количество единиц изделий II вида;

Х'₃ – количество единиц изделий III вида;

   

Применяем формулы  из второй теоремы двойственности

          

                   

              

                                   

                 

                  

                                                

                 

           

                                                

Получаем систему уравнений:

Решая систему, получаем новый оптимальный план выпуска продукции  .

Т.е. при увеличении запасов сырья на 18 единиц, максимальная прибыль от реализации составит 4600 единицы, если выпускать изделия I вида в количестве 64 ед. и изделия II вида в количестве 34 ед.

(ед.), т.е. выпуск изделий I вида А увеличится на 24 единицы.

(ед.), т.е. выпуск изделий II вида уменьшиться на 6 единиц.

- выпуск изделий III вида не изменится, их выпускать по прежнему не выгодно.

 

• оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов

Применяем формулу  из третьей теоремы двойственности:

- цена изделия вида j.

- объективно обусловленные затраты  на сырье при выпуске изделия  j.

С₄ = 70;   а₁₄ = 2;   а₂₄ = 2;   а₃₄ = 2.

Поскольку , следовательно, продукцию четвертого вида выпускать невыгодно, так как она поглощает часть дефицитных ресурсов, и тем самым сдерживает рост выпуска выгодной продукции, что препятствует увеличению общей стоимости выпускаемых изделий. Если бы изделие четвертого вида реализовывалось по цене равной или большей 80 ед., то его производство было бы выгодным

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4.

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

 

Задача 4.10. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице:

 

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Y(t)	5	7	10	12	15	18	20	23	26

 

Требуется:

1) построить график временного ряда, сделать вывод о наличии тренда;

2) построить линейную модель Y(t)=a_о+а₁t , параметры которой оценить с помощью  метода наименьших квадратов (МНК);

3) оценить адекватность построенной модели, используя свойства остаточной компоненты e(t);

4) оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации;

5) по построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие два месяца (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности P = 75%);

6) фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

7) Используя пакеты Excel, VSTAT, подобрать для данных своего варианта наилучшую трендовую модель и выполнить прогнозирование по лучшей модели на два ближайших периода вперед. В отчете по данному заданию представить соответствующие листинги с комментариями.

 

 

 

 

 

 

РЕШЕНИЕ:

1. Проверим наличие аномальных наблюдений.

Используем  метод Ирвина

 

t	Y(t)			λ
1	5	102,235
2	7	65,790	2	0,277
3	10	26,123	3	0,416
4	12	9,679	2	0,277
5	15	0,012	3	0,416
6	18	8,346	3	0,416
7	20	23,901	2	0,277
8	23	62,235	3	0,416
9	26	118,568	3	0,416
45	136	416,889

         

         

          

  

Для 9 наблюдений на уровне значимости α = 0,05 табличное  значение критерия λ_табл составит 1,46.

Сравниваем  λ_табл. с расчетными значениями λ.

λ_t < λ_табл. (α = 0,05), т.е. с вероятностью допустить ошибку 5% можно утверждать, что аномальных наблюдений нет.

 

2) Построим  линейную модель  

Система нормальных уравнений имеет вид:

     

t	Y(t)	t2	t ∙ y(t)
1	5	1	5
2	7	4	14
3	10	9	30
4	12	16	48
5	15	25	75
6	18	36	108
7	20	49	140
8	23	64	184
9	26	81	234
45	136	285	838

- линейная трендовая модель

 

4) Оценить адекватность построенной моделей

1. Свойство независимости остаточной компоненты. Применяем критерий Дарбина – Уотсона.

При сравнении d_расч могут возникнуть 4 ситуации:

1. 0 < d_расч < d₁ – свойство не выполняется, остатки зависимы;
2. d₁ < d_расч < d₂ – критерий ответа не дает, необходимо применение другого коэффициента (например, 1-ого коэффициента автокорреляции);
3. d₂ < d_расч < 2 – свойство выполняется, остатки независимы, автокорреляция в ряду остатков отсутствует;
4. 2 < d_расч < 4 – находим d’ = 4-d_расч.