Экономико-математическое моделирование фирмы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Анализ потребительских  предпочтений и определение функций спроса на продукцию корпорации.

3.1. Функция полезности

Запишем выражение функции полезности:

,

аi>0, Qi>Qi0>0.

Данное выражение соответствует логарифмической функции полезности, которая применяется для описания предпочтений потребителя, удовлетворенного при отсутствии какого0либо полезного вклада одного блага.

Коэффициенты а1 и а2 данной функции характеризуют вклад товаров в совокупную полезность потребителя  (а1=3, а2=8).

Коэффициенты Qi0 показывают количество товаров, при котором потребитель ощущает неудовлетворенность (выражают уровень бедности;

Таким образом, с учетом значений всех коэффициентов, логарифмическая функция полезности будет иметь следующий вид:

 

3.2. Анализ функции  полезности

 

Таблица 19 - Расчет данных для функции полезности, функции безразличия, предельной полезности и предельной нормы замены

 

					U1=90,50	U3=91,48	UU5=91,99
Qa	Qb	MUa	MUb	Qa	Qb	Qb	Qb	MUa	MUb	MRTab	MRTba
1188,3	4800,8	0,002557	0,00167	1188,3	5465,83	6167,791	6576,783	0,002557	0,00167	0,09184	0,653085
1446,7	5383,9	0,002095	0,001489	1446,7	5075,98	5727,782	6107,549	0,002095	0,001489	0,081875	0,582221
1638,8	5854,8	0,001848	0,001369	1638,8	4843,888	5465,83	5828,198	0,001848	0,001369	0,075278	0,535313
1800,3	6273	0,00168	0,001277	1800,3	4676,151	5276,511	5626,305	0,00168	0,001277	0,070252	0,499569
1944,8	6658,9	0,001555	0,001203	1944,8	4542,825	5126,031	5465,83	0,001555	0,001203	0,066174	0,470574

 

 

Построим кривые полезности:

 

Рисунок 26 - Кривая полезности товара А 

                            

Рисунок 27 - Кривая полезности товара B

Из полученных графиков можно сделать вывод, что кривая полезности возрастает и при этом темп роста замедляется с увеличением потребления товара.

Построим кривые безразличия для различных уровней полезности. Для этого найдем уравнение кривой безразличия:

 

 

 

               Рисунок 28 - Кривые безразличия

 

На графике U1= 90,50; U3= 91,48; U5= 91,99

Построим функции предельных полезностей.

 

 

 

 

Рисунок 29 - Предельная полезность товара А

 Рисунок 30 - Предельная полезность товара В

Найдем предельную норму замены:

 

 

 

     Рисунок 31 - Предельная норма замены                       Рисунок 32 -Предельная норма замены

                  товара А товаром В                                                         товара В товаром А

График предельной нормы замены убывающий, значит эффект замены уменьшается с увеличение товара.

3.3. Задача потребительского  выбора

Решить задачу потребительского выбора. Сумма расходов потребителей на продукцию фирм А и В: I = 4000 млн. рублей.

Цена на продукцию фирмы А: pa=АС5*Ка=143,18*1,5=214,77 руб.

Цена на продукцию фирмы В: pb=AC5*Kb=118,42*3,3=390,786 руб.

 

Первое уравнение в системе – это бюджетная линия. Второе уравнение – это кривая безразличия. Найдем решение системы. Бюджетная линия и кривая безразличия пересекутся при следующем условии:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 33 - Графическое решение задачи потребительского выбора

 

Значит, оптимальными объемом торговли фирмы А является тыс. штук, а фирмы В: тыс. штук. По факту фирма А и фирма В не удовлетворяют спрос, предлагая 1944 тыс.штук и  6658,9 тыс.штук товара соответсвенно.

 

3.4. Функции потребительского  спроса

Найдем отношение предельной полезности услуги фирмы А к её цене, выражающее предельную полезность денег - сколько единиц полезности приносит потребителю 1 потраченный рубль на данную услугу.

 

Подставляя полученные выше значения оптимального набора благ:

Проверим правильность нахождения значения оптимального набора благ, для это найдем  предельную полезность денег, выразив его через услугу фирмы В

Подставляя полученные выше оптимальные значения набора благ:

 

Таким образом MUp(A) = MUp(B), что говорит о правильности расчета значений оптимального набора благ.

Выразим функции потребительского спроса в виде зависимостей pi(Qi) из закона спроса Маршалла, принимая при этом объем другого товара равным его оптимальному объему.

По  полученным выражениям  составим таблицу для построения  графиков функций потребительского спроса.

Таблица 21 - Расчет вспомогательных данных для построения функций потребительского спроса

	Qa*	Qb*	MUa	Mub	MUpa	MUpb	pa	pb
	1000	1000	0,003046	0,008081	0,014181	0,020678	1107,5	2938,48
	2000	2000	0,001511	0,004020	0,007037	0,010287	549,58	1461,85
	3000	3000	0,001005	0,002676	0,004679	0,006847	365,46	972,94
	4000	4000	0,000753	0,002005	0,003505	0,005131	273,75	729,095
	5079,371026	5000	0,000592	0,001603	0,002758	0,004102	215,41	582,984
	6000	6000	0,000501	0,001336	0,002334	0,003418	182,27	485,658
	7000	7444,091	0,000429	0,001076	0,002000	0,002754	156,18	391,318
	8000	8000	0,000376	0,001001	0,001749	0,002562	136,62	364,091
Q5	1944,8	6658,9

 

Далее следует построить графики функций потребительского спроса в виде зависимостей .

Проанализируем  соответствие объемов производства фирм А и В объемам спроса при ценах 5-го года. Для этого на соответствующих каждой фирме графиках отметим точки с координатами QА5 (QA5,pA5) и QB5(QB5,pB5).

Получим:

Рисунок 34 - Функции потребительского спроса на услугу фирмы А

Проанализировав полученный график можно сделать вывод, что за установленную цену спрос на предоставляемые товары фирмы А  выше, чем  их предложение

.

Рисунок 35 - Функции потребительского спроса на услугу фирмы В

Проанализировав полученный график можно сделать вывод, что за установленную цену спрос на предоставляемые товары фирмы В практически совпадает с их предложением.

 

 

 

4. Выбор оптимальной программы  выпуска продукции корпорации  на различных типах потребительского  рынка

4.1. Равновесная  рыночная цена

Определим равновесную цену на совершенно конкурентном рынке товара, производимого фирмой В, используя полученную в п. 3.4 кривую спроса.

Из п. 3.4 кривая спроса определяется по формуле:

Рассчитаем:

Таблица 21 - Расчет данных кривой спроса фирмы В

 

 Кривая рыночного предложения  имеет вид:

,

Таблица 22 - Расчет данных кривой предложения

По полученным данным построим графики кривых спроса и предложения:

Рисунок 36 - Графики кривых спроса и предложения

По графику определим равновесную цену: р0=346,36

 

4.2. Графический  анализ долгосрочного состояния  фирмы В

Чтобы провести графический анализ динамики долгосрочного состояния фирмы В, построим графики выручки, долгосрочных издержек по функции издержек (из п. 2.2) и прибыли.

Функцию прибыли находим с помощью функций издержек и выручки.

Издержки берем из п. 2.2, прибыль рассчитываем по формуле:

RВ= QВ*pВ

За pВ принимаем равновесную цену (п. 4.1)

pв=p0=346,36

Далее строим графики и для функции издержек проводим линию тренда, подставляем уравнение тренда в уравнение прибыли, получаем:

y = 30479 * x0,3743

П = RВ – (30479 * Q0,3743)

Получаем:

Таблица 23 - Расчет данных для построения графиков издержек, дохода и прибыли

Q	C(Q)
0	0
5383,9	775061,6

 

R	Q	p
1662805	4800,8	346,36
0	0	0

 

Q	C(Q)факт.	П
4800,8	731899,6	0
5383,9	756006,2	168424,4
5854,8	779650	993002,9
6273	803707,5	1737823
6658,9	827517,5	1889979

 

По полученным данным строим график, изображенный ниже:

                     

 
Рисунок 37 - Анализ долгосрочного состояния фирмы В

 

4.3. Оптимальная  программа выпуска фирмы В

Определить оптимальную программу выпуска продукции фирмы В, используя условия максимальной прибыли фирмы на совершенно конкурентном рынке, и оптимальные затраты ресурсов.

Найдем предельные издержки:

то есть

так как МС= p

Выразим QB

Подставляя ранее полученные данные найдем оптимальное значение  производства услуг фирмы  В:

Оптимальное распределение ресурсов происходит в пропорциях равных  коэффициенту предельной нормы замены, который для фирмы В равен

Следовательно,

     

Подставляя исходные данные получим:

Найдем прибыль фирмы В при оптимальном объеме производства:

С учетом расчетных данных:

Сравним полученную оптимальную программу выпуска для фирмы В и  её запланированные показатели на 6-й год.

Объем продаж по плану в 6 году должен бы был составлять 8654,95, но оптимальным является 266,44

 

4.4. Производный  спрос фирмы В на продукцию  фирмы А

Найдем  производный спрос фирмы В на продукцию фирмы А, предполагая, что ресурсы будут использоваться фирмой В в пропорции, равной предельной норме замены фирмы В, то есть:

Полученное значение спроса фирмы В на продукт фирмы А равен  оптимальному объему производства фирмы А  на внутреннем рынке, то есть

 

Определим объем продаж фирмы А на внешнем рынке, учитывая ее монопольное положение на этом рынке.

Графически это можно сделать найдя точку пересечения предельной прибыли и предельных издержек (что является условием оптимальности производства)

Для этого построим кривую спроса на товар фирмы А, найденную ранее (Таблица 24)