Элементы теории игр в задачах моделирования экономических процессов

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………….………………	3
ГЛАВА 1 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ИГР….………………….	6
1.1 Предмет и задачи теории игр………..……………………………………	6
1.2 Терминология и классификация игр……………………………………...	9
ГЛАВА 2 РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ИГР И СПОСОБЫ ИХ РЕШЕНИЯ……...	13
2.1 Решение матричных игр в чистых стратегиях…………………………...	13
2.2 Решение матричных игр в смешанных стратегиях……………………...	15
2.3 Решение игр графическим методом………………………………………	17
2.4 Сведение матричной игры к задаче линейного программирования……	20
2.5 Игры с природой…………………………………………………………...	23
ГЛАВА 3 ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИГР В ЗАДАЧАХ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ……………	26
3.1 Практическое решение матричных игр в смешанных стратегиях с до-минированием………………………………………………………………….	26
3.2 Практическое решение игры с природой по различным критериям…...	28
ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………...	32
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ………………………….	33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Теория игр была основана Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргенштерном в их первой работе "The Theory of Games and Economic Behavior", изданной в 1944 году. В 1928 году в математических анналах фон Нейманом была опубликована статья "О теории общественных игр", в которой впервые было применено понятие "теория игр". Использование этого понятия объясняется схожестью логики принятия решений в таких играх, как шахматы и покер. Характерным для таких ситуаций является то, что результат для принимающего решение зависит не только от его решения, но и от того, какое решение примут другие. Поэтому оптимальный исход не может быть получен в результате принятия решения одним лицом.

Другим предшественником теории игр  по праву считается французский  математик Э. Борель (1871-1956). Некоторые фундаментальные идеи были независимо предложены А. Вальдом (1902-1950), заложившим основы нового подхода к статистической теории принятия решений.

Первые приложения теория игр нашла  в математической статистике. Во время  второй мировой войны и сразу  после нее теорией игр серьезно заинтересовались военные, которые увидели в ней аппарат для исследования стратегических решений. Ее использовали как плодотворный источник теоретических моделей в экономике и социологии. Методы теории игр используются также в теории операций и в линейном программировании.

На промышленных предприятиях теория игр может применяться для выбора оптимальных решений, например, при создании рациональных запасов сырья, материалов, полуфабрикатов, когда противоборствуют две тенденции: увеличения запасов, гарантирующих бесперебойную работу производства, и сокращения запасов в целях минимизации затрат на их хранение. В сельском хозяйстве теория игр может применяться при решении таких экономических задач, как выбор для посева одной из возможных культур, урожай которых зависит от погоды, если известны цена единицы той или иной культуры и средняя урожайность каждой культуры в зависимости от погоды (например, будет ли лето засушливым, нормальным или дождливым); в этом случае одним из игроков выступает сельскохозяйственное предприятие, стремящееся обеспечить наибольший доход, а другим — природа.

На практике часто появляется необходимость  согласования действий фирм, объединений, министерств и других участников проектов в случаях, когда их интересы не совпадают. В таких ситуациях  теория игр позволяет найти лучшее решение для поведения участников, обязанных согласовывать действия при столкновении интересов.

Теория игр все шире проникает  в практику экономических решений  и исследований. Ее можно рассматривать  как инструмент, помогающий повысить эффективность плановых и управленческих решений.

Цель: изучение теоретических  аспектов теории игр и возможности их применения в задачах экономико-математического моделирования.

Объект исследования: Теория игр

Предмет исследования: Применение теории игр в экономико-математическом моделировании.

Задачи исследования:

• изучить теоретический материал
• исследовать методику решения различных видов игр
• рассчитать практические задачи экономико-математического моделирования с помощью теории игр

Для решения поставленных в работе задач использовались как общенаучные, так и специальные методы анализа и синтеза, логического анализа.

Информационной базой работы послужили  разработки ученых в области  экономики и математики. При написании работы использовались учебные пособия и учебники по теории игр и математической экономике.

В первой части работы – теоретической, проводится исследование проблемы на основе теоретических источников; определяются основные понятия и категории, связанные  с теорией игр.

Во второй – аналитической части, исследованы принципы решения задач теории игр.

В третьей части рассмотрен пример решения задач по теории игр.

В заключении сделаны общие выводы по теме работы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ИГР

1.1. Предмет и задачи теории игр

 

В процессе целенаправленной человеческой деятельности возникают ситуации, в  которых интересы отдельных лиц (участников, групп, сторон) либо прямо противоположны (антагонистичны), либо, не будучи непримиримыми, все же не совпадают. Такие ситуации называются конфликтными, поскольку принятие решений каждой из сторон связано с преодолением конфликта и затруднено вследствие неопределенности поведения противоположной стороны.

 Простейшими и наиболее наглядными  примерами таких ситуаций являются  спортивные игры, арбитражные споры, военные учения (маневры), борьба между блоками избирателей за своих кандидатов, в международных отношениях - отстаивание интересов своего государства и т.п. Здесь каждый из участников сознательно стремится добиться наилучшего результата за счет другого участника. Подобного рода ситуации встречаются и в различных сферах производственной деятельности.

Все ситуации, когда эффективность  действия одного из участников зависит  от действий других, можно разбить  на два типа: интересы участников совпадают, и они могут договориться о совместных действиях; интересы участников не совпадают.

Для указанных ситуаций характерно, что эффективность решений, принимаемых  в ходе конфликта каждой из сторон, существенно зависит от действий другой стороны. При этом ни одна из сторон не может полностью контролировать положение, так как и той и другой стороне решения приходится принимать в условиях неопределенности. Так, при определении объема выпуска продукции на одном предприятии нельзя не учитывать размеров выпуска аналогичной продукции на других предприятиях. В реальных условиях нередко возникают ситуации, в которых антагонизм отсутствует, но существуют противоположные тенденции. Например, для нормального функционирования производства, с одной стороны, необходимо наличие запасов разнообразных ресурсов, но с другой - стремление к чрезвычайному увеличению этих запасов вызывает дополнительные затраты по их содержанию и хранению. В приведенных примерах конфликтные ситуации возникают в результате сознательной деятельности людей. Однако на практике встречаются неопределенности, которые порождаются не сознательным противодействием другой стороны, а недостаточной информированностью об условиях проведения планируемой операции.

Раздел математики, изучающий конфликтные  ситуации на основе их математических моделей, называется теорией игр. Таким образом, теория игр - это математическая теория конфликтных ситуаций, разрабатывающая рекомендации по наиболее рациональному образу действий каждого из участников в ходе конфликтной ситуации, т.е. таких действий, которые обеспечивали бы ему наилучший результат. Игровую схему можно придать многим ситуациям в экономике. Здесь выигрышем могут быть эффективность использования дефицитных ресурсов, производственных фондов, величина прибыли, себестоимость и т.д.

Необходимо подчеркнуть, что методы и рекомендации теории игр разрабатываются  применительно к таким специфическим  конфликтным ситуациям, которые  обладают свойством многократной повторяемости. Если конфликтная ситуация реализуется  однократно или ограниченное число раз, то рекомендации теории игр теряют смысл.

Задача теории игр - выработка рекомендаций по разумному поведению участников конфликта, т.е. определение оптимальных стратегий поведения игроков.

От реального конфликта игра отличается тем, что ведется по определенным правилам. Эти правила устанавливают последовательность ходов, объем информации каждой стороны о поведении другой и результат игры в зависимости от сложившейся ситуации. Правилами устанавливаются также конец игры, когда некоторая последовательность ходов уже сделана, и больше ходов делать не разрешается.

Теория  игр, как и всякая математическая модель, имеет свои ограничения. Одним  из них является предположение о  полной (“идеальной”) разумности противников. В реальном конфликте зачастую оптимальная стратегия состоит в том, чтобы угадать, в чем противник “глуп” и воспользоваться этой глупостью в свою пользу.

Еще одним  недостатком теории игр является то, что каждому из игроков должны быть известны все возможные действия (стратегии) противника, неизвестно лишь то, каким именно из них он воспользуется в данной партии. В реальном конфликте это обычно не так: перечень всех возможных стратегий противника как раз и неизвестен, а наилучшим решением в конфликтной ситуации нередко будет именно выход за пределы известных противнику стратегий, “удивление” его чем-то совершенно новым, непредвиденным.

Теория  игр не включает элементов риска, неизбежно сопровождающего разумные решения в реальных конфликтах. Она  определяет наиболее осторожное, “перестраховочное” поведение участников конфликта.

Кроме того, в теории игр находятся оптимальные  стратегии по одному показателю (критерию). В практических ситуациях часто  приходится принимать во внимание не один, а несколько числовых критериев. Стратегия, оптимальная по одному показателю, может быть неоптимальной по другим.

Сознавая  эти ограничения и потому, не придерживаясь  слепо рекомендаций, даваемых теорий игр, можно все же выработать вполне приемлемую стратегию для многих реальных конфликтных ситуаций.

В настоящее время ведутся научные исследования, направленные на расширение областей применения теории игр.

 

1.2. Терминология и классификация игр

 

Игрой называется упрощенная математическая модель конфликтной ситуации, отличающаяся от реального конфликта тем, что ведется по определенным правилам.

Игра - это совокупность правил, определяющих возможные действия (чистые стратегии) участников игры. Суть игры в том, что каждый из участников принимает такие решения в развивающейся конфликтной ситуации, которые, как он полагает, могут обеспечить ему наилучший исход. Исход игры - это значение некоторой функции, называемой функцией выигрыша (платежной функцией), которая может задаваться либо аналитически выражением, либо таблично (матрицей). Величина выигрыша зависит от стратегии, применяемой игроком.

Человечество издавна пользуется такими формализованными моделями конфликтных  ситуаций, которые являются играми в буквальном смысле слова. Примерами могут служить шашки, шахматы, карточные игры и т.д. Все эти игры носят характер соревнования, протекающего по известным правилам и заканчивающего "победой" (выигрышем) того или иного игрока.

Такие формально регламентированные, искусственно организованные игры представляют собой наиболее подходящий материал для иллюстрации и усвоения основных понятий теории игр. Терминология, заимствованная из практики таких игр, применяется и при анализе других конфликтных ситуаций: стороны, участвующие в них, условно именуются "игроками", а результат столкновения - "выигрышем" одной из сторон.

Под "правилами игры" подразумевается система условий, регламентирующая возможные варианты действий обеих сторон.

Стратегией игрока называется совокупность правил, однозначно определяющих последовательность действий игрока в каждой конкретной ситуации, складывающейся в процессе игры.

Оптимальной называется стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш.

Основное предположение, исходя из которого находят оптимальные стратегии, состоит в том, что противник, по меньшей мере, так же разумен, как и сам игрок, и делает все для того, чтобы добиться своей цели.

Количество стратегий у каждого  игрока может быть конечным или бесконечным, в зависимости от этого игры подразделяются на конечные и бесконечные.

Всякая игра состоит из отдельных  партий.

Партией называется каждый вариант реализации игры определенным образом. В свою очередь, в партии игроки совершают конкретные ходы.

Ходом называется выбор и реализация игроком одного из допустимых вариантов поведения.

Ходы бывают личные и случайные. При личном ходе игрок самостоятельно и осознанно выбирает и реализует  ту или иную чистую стратегию. Набор  возможных вариантов при каждом личном ходе регламентирован правилами игры и зависит от всей совокупности предшествующих ходов обеих сторон. Например, в шахматах каждый ход является личным. При случайном ходе выбор чистой стратегии производится с использованием какого-либо механизма случайного выбора, например с применением таблицы случайных чисел. Примером могут служить бросание монеты или игральной кости.