Элементы теории игр в задачах моделирования экономических процессов

                                .

Если платежная матрица не имеет  седловой точки, т.е. a <b и , то решение игры представлено в смешанных стратегиях (x₁, x₂,..., x_m) и (y₁, y₂,..., y_n). Применение первым игроком оптимальной стратегии _опт должно обеспечить ему при любых действиях второго игрока выигрыш не меньше цены игры.

                                     , .

Для задачи отыскания оптимальной стратегии игрока А имеют место ограничения

                                        

Величина v неизвестна, однако можно считать, что цена игры v > 0. Последнее условие выполняется всегда, если все элементы платежной матрицы неотрицательны, а этого можно достигнуть, прибавив ко всем элементам матрицы некоторое положительное число.

Преобразуем систему ограничений, разделив все члены неравенств на v.

(4)

где

, . (5)

 

По условию x₁ + x₂ + … +x_m = 1.

Разделим обе части этого  равенства на v.

.

Оптимальная стратегия  (x₁, x₂,..., x_m) игрока А должна максимизировать величину v, следовательно, функция

                                      (6)

должна принимать минимальное  значение.

Таким образом, получена задача линейного  программирования: найти минимум  целевой функции (6) при ограничениях (4), причем на переменные наложено условие неотрицательности (5). Решая ее, находим значения , и величину 1/v, затем отыскиваются значения x_i = vt_i.

Аналогично для второго игрока оптимальная стратегия  _опт должна обеспечить при любых стратегиях первого игрока проигрыш, не превышающий цену игры.

                             , .

Для задачи отыскания оптимальной стратегии игрока B имеют место ограничения

                                  

Преобразуем систему ограничений, разделив все члены неравенств на v.

              (7) где , . (8)

 

По условию y₁ + y₂ + … +y_n = 1. Разделим обе части этого равенства на v.                               .

Оптимальная стратегия  (y₁, y₂,..., y_n) игрока В должна минимизировать величину v, следовательно, функция

                                 (9)

должна принимать максимальное значение.

Получена задача линейного программирования: найти максимум целевой функции (9) при ограничениях (7), причем на переменные наложено условие неотрицательности (8).

Таким образом, для нахождения решения  игры имеем симметричную пару двойственных задач линейного программирования. Можно найти решение одной из них, а решение второй находится с использованием теории двойственности.

2.5. Игры с природой

 

В рассмотренных выше матричных играх предполагалось, что в них принимают участие два игрока, интересы которых противоположны. Поэтому действия каждого игрока направлены на увеличение выигрыша (уменьшение проигрыша). Однако в некоторых задачах, приводящихся к игровым, имеется неопределенность, вызванная отсутствием информации об условиях, в которых осуществляется действие (погода, покупательский спрос и т.д.). Эти условия зависят не от сознательных действий другого игрока, а от объективной действительности. Такие игры называются играми с природой. Человек в играх с природой старается действовать осмотрительно, второй игрок (природа, покупательский спрос) действует случайно.

Условия игры задаются матрицей

                        .

 

Пусть игрок А имеет стратегии А₁, А₂, …, А_m, а природа - состояния В₁, В₂, …, В_n. Наиболее простой является ситуация, когда известна вероятность p_j каждого состояния природы В_j. При этом, если учтены все возможные состояния, p₁ + p₂ + … + p_j + … + p_n = 1.

Если игрок А выбирает чистую стратегию А_i, то математическое ожидание выигрыша составит p₁ a_i1 + p₂ a_i2 + … + p_n a_in. Наиболее выгодной будет та стратегия, при которой достигается

 

• (p₁ a_i1 + p₂ a_i2 + … + p_n a_in).

Если информация о состояниях с  природой мала, то можно применить  принцип недостаточного основания  Лапласа, согласно которому можно считать, что все состояния природы  равновероятностны:

                               ,

т.е. стратегию, для которой среднее арифметическое элементов соответствующей строки максимальное.

Имеется ряд критериев, которые  используются при выборе оптимальной  стратегии.

1. Критерий Вальда. Рекомендуется применять максиминную стратегию. Она выбирается из условия

                                                              

и совпадает с нижней ценой игры. Критерий является пессимистическим, считается, что природа будет действовать наихудшим для человека способом.

2. Критерий максимума. Он выбирается из условия

                              .

Критерий является оптимистическим, считается, что природа будет  наиболее благоприятна для человека.

3. Критерий Гурвица. Критерий рекомендует стратегию, определяемую по формуле:

   ,

где a - степень оптимизма и изменяется в диапазоне [0, 1].

Критерий придерживается некоторой  промежуточной позиции, учитывающей  возможность как наихудшего, так  и наилучшего поведения природы. При a = 1 критерий превращается в критерий Вальда, при a = 0 - в критерий максимума. На a оказывает влияние степень ответственности лица, принимающего решение по выбору стратегии. Чем больше последствия ошибочных решений, больше желания застраховаться, тем a ближе к единице.

4. Критерий Сэвиджа.  Суть критерия состоит в выборе такой стратегии, чтобы не допустить чрезмерно высоких потерь, к которым она может привести. Находится матрица рисков, элементы которой показывают, какой убыток понесет человек (фирма), если для каждого состояния природы он не выберет наилучшей стратегии.

                                .

Элементы матрицы рисков находятся  по формуле

                             ,

где - максимальный элемент в столбце исходной матрицы.

Оптимальная стратегия определяется выражением                                       .

При принятии решений в условиях неопределенности следует оценивать  различные варианты с точки зрения нескольких критериев. Если рекомендации совпадают, можно с большей уверенностью выбрать наилучшее решение; если рекомендации противоречат друг другу, окончательное решение надо принимать с учетом его сильных и слабых сторон.

 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА 3.  ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИГР В ЗАДАЧАХ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

3.1.  Практическое решение матричной игры в смешанных стратегиях с доминированием

 

Два конкурирующих предприятия, выпускающих  стиральные машины,

имеют следующие доли общего сбыта  своей продукции на местном рынке: 53% предприятие 1 и 47% - предприятие 2.

Оба предприятия пытаются увеличить  объем своих продаж. Для этого  у них имеются следующие альтернативы:

• a₁ (b₁) - расширить сеть сбыта,
• a₂ (b₂) - увеличить затраты на рекламу своей продукции, 
• a₃ (b3) - расширить ассортимент (число моделей стиральных машин),
• a₄ (b₄) - ничего не предпринимать.

Анализ показал, что при осуществлении  обоими предприятиями указанных мероприятий доля (в %) предприятия на рынке стиральных машин изменится следующим образом:

                 

 

Требуется сформулировать данную ситуацию в виде игры и определить

оптимальные смешанные стратегии  обоих предприятий. Можно заметить, что для обоих предприятий есть доминирующие стратегии. Значит можно исключить некоторые стратегии. Так, для предприятия А можно исключить стратегию а₄ , для предприятия В – это стратегия b_{4 .}

Известно, что для решения игр  смешанных стратегий используются вероятности принятии каждой стратегии игроками. Так как эти вероятности не известны, в Excel можно сформулировать целевые функции, ограничения и с помощью поиска решений найти недостающие данные.

Так, целевые функции будут:

     и для I и II соответственно.

 

А ограничения составят:

               

Цена игры в таком случае будет  . А вероятности применения стратегий составят: 

Так как в матрице присутствуют элементы, которые меньше 0, прибавим некоторое число, чтобы получились неотрицательные элементы матрицы. Пусть это будет 6.

 

В результате получим,

                  

 

Таким образом, цена игры составила -2,2 . Предприятие 1 при многократном повторении игры должно использовать с вероятностью 0,4 стратегию а₁ (расширять сеть сбыта), с вероятностью 0,6 – стратегию a₂ - (расширение рекламной деятельности), а стратегии a₃ (увеличить ассортимент) и a₄ (ничего не предпринимать) не использовать вовсе. При этом доля сбыта предприятия на рынке уменьшится на 2,2%.

В свою очередь, оптимальная смешанная стратегия предприятия 2 заключается в том, чтобы с вероятностью 0,4 использовать стратегию b₁ (расширить сеть сбыта), и с вероятностью 0,6 – стратегию b₃ - (расширение ассортимента). Стратегии b₂ (расширение рекламной деятельности) и b₄ (ничего не предпринимать) не должны применяться. При этом доля сбыта предприятия 2 на рынке увеличится на 2,2%.

Казалось бы, поскольку даже в  результате проведения своих мероприятий предприятие 1 “теряет рынок”, ему не следует ничего предпринимать, однако в этом случае оно потеряет еще больше (в соответствии со стратегией a₄) из-за действий предприятия 2, которому они выгодны.

3.2. Практическое решение игры с природой по различным критериям

 

Задача 1. Возможно строительство четырех типов электростанций: А₁ (тепловых), А₂ (приплотинных), А₃ (бесшлюзовых), А₄ (шлюзовых). Состояния природы выражаются через Р₁, Р₂, Р₃, Р₄. Экономическая эффективность строительства отдельных типов электростанций изменяется в зависимости от состояния природы и задана матрицей

                                        .

 

1) Согласно критерию Вальда:

                   ,

следует строить бесшлюзовую электростанцию.

2)Согласно критерию Сэвиджа  матрица рисков будет:

                              .

В результате оптимальная стратегия будет:

                                 .

В соответствии с этим критерием  также предлагается строить бесшлюзовую  электростанцию.

3) Воспользуемся критерием Гурвица.  Положим a=1/2.

                         ,

т.е. следует принять решение о строительстве приплотинной электростанции.

4) Если принять известным распределение  вероятностей для различных состояний  природы, например считать эти  состояния равновероятностными (р₁=р₂=р₃=р₄=1/4), то для принятия решения следует найти математические ожидания выигрыша:

                             ,

                            ,

                            ,

                            .

Так как максимальное значение имеет М₃, то следует строить бесшлюзовую электростанцию.

Задача 2. Предприятие легкой промышленности, занимающееся выпуском женских вечерних платьев и мужских костюмов, реализует свою продукцию через фирменный магазин. Сбыт продукции зависит от состояния погоды. По данным прошлых наблюдений предприятие в течение апреля — мая в условиях теплой погоды может реализовать 600 костюмов и 1975 платьев, а при прохладной погоде — 1000 костюмов и 625 платьев. Известно, что затраты на единицу продукции в течение указанных месяцев составили для костюмов 27 у.е., для платьев 8 у.е., а цена реализации равна соответственно 48 у.е. и 16 у.е.

Задача заключается в максимизации средней величины прибыли от реализации выпущенной продукции с учетом неопределенности погоды в рассматриваемые месяцы. Таким образом, служба маркетинга предприятия  должна в этих условиях определить оптимальную стратегию предприятия, обеспечивающую при любой погоде определенный средний доход.

Предприятие располагает в этих условиях двумя чистыми стратегиями: стратегия А — в расчете  на теплую погоду и стратегия Б  — в расчете на холодную погоду. Природа рассматривается как второй игрок также с двумя стратегиями: прохладная погода (стратегия В) и теплая погода (стратегия Г). Если предприятие выберет стратегию А, то в случае прохладной погоды (стратегия природы В) доход составит

600*(48 - 27) + 625*(16 - 8) - (1975 - 625)*8 = 6 800 у.е.,

а в случае теплой погоды (стратегия  природы Г) доход будет равен 

600*(48 - 27) + 1 975*(16 - 8) = 28 400 у.е.

Если предприятие выберет стратегию  Б, то реализация продукции в условиях прохладной погоды даст доход 

1 000*(48 - 27) + 625*(16 - 8) = 26 000 у.е.,

а в условиях теплой погоды

600*(48 - 27) + 625*(16 - 8) - (1 000 - 600)*27 = 6 800 у.е.

Следовательно, матрица данной игры (платежная матрица) имеет вид:

Первая и вторая строки этой матрицы  соответствуют стратегиям А и Б предприятия, а первый и второй столбцы — стратегиям В и Г природы.

По платежной матрице видно, что первый игрок (предприятие) никогда  не получит доход меньше 6800 у.е. Но если погодные условия совпадают с выбранной стратегией, то выручка (выигрыш) составит 26 000 или 28 400 у.е. Отсюда можно сделать вывод, что в условиях неопределенности погоды наибольший гарантированный доход предприятие обеспечит, если будет попеременно применять то стратегию А, то стратегию Б. Такая стратегия, как отмечалось выше, называется смешанной. Оптимизация смешанной стратегии позволит первому игроку всегда получать среднее значение выигрыша независимо от стратегии второго игрока.