Агрегирование в производстве

 

 

Оглавление

 

Введение 3

1. Технологическое  множество и его свойства 4

2. Задача  производителя и ее свойства. 9

3. Восстановление  технологического множества 14

4. Затраты  и издержки 19

4.1   Множество  требуемых затрат 19

4.2   Функция  издержек 20

5. Агрегирование  в производстве 23

Заключение 25

Список литературы 26

 

 

 

Введение

 

 

В настоящее время многие российские вузы перешли на двухступенчатую  систему образования и предлагают программы подготовки магистров по различным экономическим специальностям. Курс микроэкономики входит в учебные программы любой экономической специальности, поскольку является базовым и включен в образовательный стандарт в качестве обязательного. Представляется важным, чтобы изучение продвинутых курсов микроэкономики поддерживалось на соответствующем уровне.

Предметом данной контрольной  работы является раздел микроэкономики «Поведение производителя», обязательный для знания любым экономистом-теоретиком.

Целью контрольной работы является овладение базовым инструментарием для дальнейшего углубленного изучения предмета в рамках Магистерской программы.

Задача исследования заключена  в детальном и последовательном рассмотрении классических задач производителя.

При написании работы была использована учебная, справочная, монографическая  литература.

 

1. Технологическое множество и его свойства

 

Рассмотрим экономику  с l благами.

Пусть число факторов производства равно n, а число видов выпускаемой продукции равно m, так что l = m + n. Обозначим вектор затрат (по абсолютной величине) через , а объемы выпусков через . Вектор будем называть вектором чистых выпусков. Совокупность всех технологически допустимых векторов чистых выпусков составляет технологическое множество Y. Таким образом, в рассматриваемом случае любое технологическое множество — это подмножество .

Опишем свойства технологических  множеств.

1. Непустота.

Технологическое множество Y непусто.

Это свойство означает принципиальную возможность осуществления производственной деятельности.

2. Замкнутость.

Технологическое множество Y замкнуто.

Это свойство означает, что  технологическое множество содержит свою границу, и предел любой последовательности технологически допустимых векторов чистого выпуска также является технологически допустимым вектором чистых выпусков.

3. Свобода расходования:

если .

Это наличие возможности производить тот же самый объем выпуска, но посредством больших затрат, или меньший выпуск при тех же затратах.

4. Отсутствие «рога изобилия» (“no free lunch”):

если 

Это свойство означает, что  для производства продукции в  положительном количестве необходимы затраты в ненулевом объеме.

Рис. 1. Технологическое  множество с возрастающей отдачей  от масштаба.

5. Невозрастающая  (убывающая) отдача от масштаба:

если ll.

В случае двух благ, когда одно затрачивается, а другое производится, убывающая отдача означает, что (максимально возможная) средняя производительность затрачиваемого фактора не возрастает.

5¢. Неубывающая (возрастающая) отдача от масштаба:

если ll.

В случае двух товаров, когда  один затрачивается, а другой производится, возрастающая отдача означает, что (максимально возможная) средняя производительность затрачиваемого фактора не убывает.

5¢¢. Постоянная отдача от масштаба — ситуация, когда технологическое множество удовлетворяет условиям 5 и 5¢ одновременно, т. е.

если ll.

Геометрически постоянная отдача от масштаба означает, что Y является конусом (возможно, не содержащим 0).

6. Выпуклость:   если .

Свойство выпуклости означает возможность «смешивать» технологии в любой пропорции.

7. Необратимость:   если .

Пусть из килограмма стали  можно произвести 5 подшипников. Необратимость

означает, что невозможно произвести из 5-ти подшипников килограмм  стали.

Рис. 2. Выпуклое технологическое множество с убывающей отдачей от масштаба.

8. Аддитивность:   если .

Свойство аддитивности означает возможность комбинировать технологии.

9. Допустимость бездеятельности:   .

Теорема 1:

1. Из невозрастающей отдачи от масштаба и аддитивности технологического множества следует его выпуклость.
2. Из выпуклости технологического множества и допустимости бездеятельности следует невозрастающая отдача от масштаба.
3. Технологическое множество обладает свойствами аддитивности и невозрастающей отдачи от масштаба тогда и только тогда, когда оно — выпуклый конус.

Рис. 3. Невыпуклое технологическое множество с  невозрастающей отдачей от масштаба.

При описании поведения производителя, опираются на представление его производственного множества посредством производственной функции.

Пусть R — проекция технологического множества Y на пространство векторов затрат, т. е. .

Определение 1:

Функция f(·) : R называется производственной функцией, представляющей технологию Y, если при каждом r R величина f (r) является значением следующей задачи:

 

Условия, при которых технологическое множество может быть представлено производственной функцией.

Теорема 2:

Пусть для технологического множества . для любого r R множество замкнуто и ограничено сверху. Тогда Y может быть представлено производственной функцией.

Теорема 3:

Пусть множество Y замкнуто и обладает свойствами невозрастающей отдачи от масштаба и отсутствия рога изобилия. Тогда для любого r R множество замкнуто и ограничено сверху.

Теорема 4:

Пусть технологическое множество Y таково, что для всех r R определена производственная функция f (·). Тогда верно следующее.

1. Если множество Y выпукло, то функция f (·) вогнута.
2. Если множество Y удовлетворяет гипотезе свободного расходования, то верно и обратное, т. е. если функция f (·) вогнута, то множество Y выпукло.
3. Если Y выпукло, то f (·) непрерывна на внутренности множества R.
4. Если множество Y обладает свойством свободы расходования, то функция f (·) не убывает.
5. Если Y обладает свойством отсутствия рога изобилия, то f (0) ⩽ 0.
6. Если множество Y обладает свойством допустимости бездеятельности, то f (0) ⩾ 0.

Теорема 5:

Пусть технологическое множество Y описывается производственной функцией f (·) и в точке r выполнено e(r) > 0. Тогда верно следующее:

1. Если технологическое множество Y обладает свойством убывающей отдачи от масштаба, то e(r) ⩽ 1.
2. Если технологическое множество Y обладает свойством возрастающей отдачи от масштаба, то e(r) ⩾ 1.
3. Если Y обладает свойством постоянной отдачи от масштаба, то e(r) = 1.

Технологические множества Y можно задавать в виде неявных производственных функций ɡ(·). По определению, функция ɡ(·) называется неявной производственной функцией, если технология y принадлежит технологическому множеству Y тогда и только тогда, когда ɡ(y) ⩾ 0.

Связь неявной и явной производственной функции: в ситуации, когда технология такова, что ресурсные ограничения оказываются несущественными, значение неявной производственной функции можно определить как ɡ((-r,y°)) = f(r) - y°.

 

2. Задача производителя и ее свойства.

 

Гипотеза, лежащая в основе модели поведения производителя  заключается в том, что производитель выбирает технологически допустимый вектор чистых выпусков, максимизирующий прибыль. В терминах чистых выпусков прибыль есть скалярное произведение вектора чистых выпусков y Î Y на вектор цен: py. Таким образом, если производитель, приобретая факторы производства и продавая производимые блага на рынках с совершенной конкуренцией блага, сталкивается с некоторым вектором цен p, то его выбор оказывается решением следующей задачи на экстремум:

Задача  1.

Î

Если все цены положительны (все блага желательны), то решение задачи производителя должно лежать на эффективной границе технологического множества.

Рис. 4. Иллюстрация решения задачи производителя.

Обозначим множество цен, на котором существует решение Задачи 1, через P.

Определение 2:

Отображением  предложения y(p) будем называть отображение, которое ставит в соответствие каждому вектору цен p Î P множество решений этой задачи.

Определение 3:

Функция прибыли — это функция, которая ставит в соответствие каждому вектору цен p Î P значение Задачи 3:

Существенное отличие  задачи производителя от задачи потребителя  состоит в том, что множество  ее допустимых решений Y, как правило, не ограничено.

Теорема 6:

Пусть выполнено соотношение (). Тогда решение Задачи производителя существует при любом неотрицательном векторе цен благ.

Поскольку Y' — компактное множество, а прибыль py непрерывна по y, то по теореме Вейерштрасса решение Задачи производителя на множестве Y' всегда существует.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 7:

Пусть технологическое множество Y непусто, замкнуто и удовлетворяет свойству свойству невозрастающей отдачи от масштаба. Тогда при всех p Î Ṗ Задача производителя имеет решение.

Доказательство: Рассмотрим p Î Ṗ и предположим, что Задача производителя не имеет решения. Тогда существует неограниченная последовательность технологий {}, такая что

Î

Без ограничения общности можно считать, что ¹. Рассмотрим последовательность Эта последовательность ограничена и поэтому содержит сходящуюся подпоследовательность. Обозначим эту подпоследовательность через , а ее предел через . Покажем, что ÎY.

Пусть это не так, и найдется l, такое что lÏ. Рассмотрим последовательность l. Из свойства невозрастающей отдачи и того, что исходная последовательность неограниченно возрастает, следует, что начиная с некоторого i эта последовательность принадлежит Y. Пределом этой последовательности будет вектор l. Поскольку технологическое множество замкнуто, то lÎ. Полученное противоречие доказывает, что ÎY.

Поскольку p Î Ṗ и ÎY,то p < 0. Отсюда следует, что для достаточно больших i выполняется p < 0, поэтому lim p = -. C другой стороны, поскольку Y непусто, то Î.

Из доказанной теоремы  следует, что если множество рецессивных  направлений Y совпадает с , то (в предположениях теоремы) решение задачи производителя существует при любых положительных ценах. Примером служит технология, задаваемая производственной функцией Кобба-Дугласа с убывающей отдачей.

Перечислим свойства функции прибыли и отображения (функции) предложения.

Теорема 8 ((Свойства функции p(р))):

1. Функция p(р) положительно однородна 1-й степени:

p(lр) = lp(р) "p Îint P.

2. Если технологическое множество замкнуто, то функция прибыли p(р) выпукла на любом выпуклом подмножестве множества P (множества цен, при которых Задача 3 имеет решение).
3. Функция p(р) непрерывна на внутренности множества P, int P.
4. Если множество Y строго выпукло, то p(р) непрерывно дифференцируема на p Î int P.

Следующая лемма Хотеллинга является аналогом тождества Роя.

Теорема 9:

Пусть функция прибыли p(·) непрерывно дифференцируема в точке p Î int P.

Тогда

p

Доказательство: Пусть - некоторый вектор цен. Для доказательства леммы определим две функции от цены k-го блага . Первая из них представляет собой прибыль как функцию при условии, что остальные цены зафиксированы на уровне , т. е.

Обозначив , определим вторую функцию как

 

Она является линейной функцией .

По определению, , а это означает, что . При других ценах, вообще говоря, может не давать максимум прибыли, т. е. . Таким образом, прямая является касательной графика функции в точке (точка A на Рис. 5). В точке касания производные совпадают, поэтому

p

что и означает справедливость Леммы.

Рис. 5. Иллюстрация доказательства Леммы Хоттелинга.

Теорема 10 ((Свойства отображения предложения)):