Агрегирование в производстве

• Отображение (функция) предложения y(p) однородно нулевой степени.
• Если множество Y строго выпукло, то y(p) - однозначная функция на p Î P, причем y(p) непрерывна на p Î int P.
• Если функция прибыли p(·) дважды непрерывно дифференцируема, то матрица Якоби ={ функции y(p) симметрична и положительно полуопределена, p Î int P.

Если технологическое  множество может быть представлено посредством производственной функции, то задача производителя сводится к  следующей задаче максимизации прибыли: где p° - цена выпускаемой продукции, r - количество затрачиваемых факторов производства, w - вектор цен факторов. Прибыль здесь определяется как разность между выручкой p°y° и издержками wr.

Пусть r(w,p°) - функция спроса на факторы производства при векторе цен (w,p°), y°(w,p°) - функция предложения продукции при векторе цен (w,p°). Заметим, что если p° > 0, то y°(w,p°) = f (r(w,p°)). В данном контексте функция прибыли записывается в следующем виде: p (w,p°) = p°f (r(w,p°)) — wr(w,p°).

 

3. Восстановление технологического множества

 

Аналог концепции выявленных предпочтений для модели производителя  имеет довольно простой вид. Пусть  - последовательность наблюдений: при ценах наблюдался вектор чистого выпуска . Если при каком-то векторе цен выполнено , то не максимизирует прибыль при ценах . А это противоречит рациональности производителя.

Если же ", то последовательность наблюдений ( не противоречит гипотезе максимизации прибыли. Технологическое множество, которое порождает такие выборы производителя, может быть построено разными способами.

Наиболее простым является вариант, когда технологическое множество, которое при максимизации прибыли порождает такие выборы, состоит только из точек , т. е.

Также можно в качестве технологического множества Y можно взять выпуклую оболочку точек . Если мы предполагаем выпуклость и свободу расходования, то в качестве Y можно взять разность между и : и между и :

Еще один вариант - пересечение полупространств, отсекаемых соответствующими гиперплоскостями: 

Все эти варианты для случая n = 2 изображены на приведенных ниже рисунках. Прямые, нарисованные пунктиром, изображают цены. Отметим, что

 

Покажем, что аналогичная  процедура позволяет построить  подходящее технологическое множество и в случае, когда количество наблюдений может быть бесконечно.

Рис. 6. Возможные способы восстановления множества Y по наблюдаемым точкам.

Предположим, что функция у(р), определенная на множестве цен P, такова, что у(р) является решением задачи максимизации прибыли при ценах р. Требуется на основе у(р) и соответствующей функции прибыли p(р) восстановить соответствующее технологическое множество Y.

Заметим, что существование  вектора у Î Y, такого что ру > p(р) при некоторых ценах р, противоречило бы гипотезе максимизации прибыли на Y. Объединим все векторы у не противоречащие этому условию при всех неотрицательных

pÎpp"Î

Очевидно, что по построению выполнено p (т. е. построенное технологическое множество будет в общем случае шире, чем исходное), и у(р) является решением задачи производителя с технологическим множеством p при ценах р Î P. Как следствие, функция прибыли для технологического множества Yn определена при всех р Î P и совпадает с p(р).

Свпадет ли множество p с технологическим множеством Y, на основе которого оно построено? В общем случае Y и p могут не совпадать, поскольку описанный метод построения p порождает выпуклые множества (пересечение полупространств), а технологическое множество Y может быть невыпуклым (как на Рис. 6.1 и 6.3). Кроме того, ясно, что множество цен P может быть недостаточно «богатым» для того, чтобы технологическое множество было адекватно представлено наблюдаемыми выборами при этих ценах.

Рассмотрим частный случай, когда P = . В этом случае Y и p могут не совпадать, поскольку наш метод построения p порождает множества, удовлетворяющее свойству свободы расходования, а технологическое множество Y может не удовлетворять свойству свободы расходования (как на Рис. 6.1 и 6.2).

Теорема 11:

Пусть технологическое множество Y непусто, замкнуто, выпукло и удовлетворяет свойству свободы расходования. Тогда при P = оно совпадает с порождаемым им множеством p.

Ниже Рис. 7 приведены примеры ситуаций, когда при нарушении предположений теоремы ее утверждение (p) неверно и, тем самым, невозможно восстановить Y на основе функции прибыли.

Рис. 7. Ситуации, когда невозможно восстановить Y.

Необходимыми требованиями к функции прибыли являются ее выпуклость, однородность первой степени и непрерывность. Эти условия являются и достаточными для того, чтобы произвольная функция p(р) была функцией прибыли для некоторого технологического множества.

Утверждения:

1. Если функция p(р) удовлетворяет набору необходимых условий для функции прибыли, то построенная на ее основе функция y(p) удовлетворяет набору необходимых условий для функции предложения производителя.
2. Если функция y(p) удовлетворяет набору необходимых условий для функции предложения производителя, то построенная на ее основе функция p(р) удовлетворяет набору необходимых условий для функции прибыли.
3. Если функция p(р) удовлетворяет набору необходимых условий для функции прибыли, то существует технологическое множество, порождающее p(р) как функцию прибыли.

Перечислим необходимые  условия.

Условия на функцию p(р):

(A1) положительная однородность первой степени;

(A2) выпуклость;

(A3) p(·) дважды непрерывно дифференцируема.

Условия на функцию у(р):

(B1) положительно однородна нулевой степени,

(B2) матрица производных существует и непрерывна, положительно полуопределена и симметрична.

Теорема 12:

1. Пусть

p

где функция pудовлетворяет условиям (A1), (A2), (A3).

Тогда удовлетворяет условиям (B1), (B2) налагаемым на функцию спроса-предложения производителя.

Пусть функция  удовлетворяет условиям (B1), (B2).

Тогда функция pудовлетворяет условиям (A1), (A2), (A3).

Пусть функция p удовлетворяет условиям (A1), (A2), (A3). Тогда множество pp"является технологическим множеством порождающим функцию прибыли p. 

4. Затраты и издержки

 

Для упрощения обозначений вектор выпуска обозначим через у (вместо у°), r - вектор соответствующих затрат.

4.1   Множество требуемых затрат

 

Определение 4:

Для каждого вектора выпуска у множество требуемых затрат V(у) — это множество векторов затрат, обеспечивающих этот выпуск при данном технологическом множестве Y , т. е.

Из предполагаемых свойств Y вытекают некоторые свойства множества V(у) и соответствующего отображения V(·):

1. Из выпуклости Y следует выпуклость множеств V(у):
2. Из свободы расходования для Y следует свобода расходования для множеств V(у):

Заметим, что обратное неверно.

Обычно предполагается монотонность отображения V(·), т. е. вложенность множеств V(у):

Множества , как и Y, в предположении свободного расходования можно строить по производственной функции:

Обратно, в случае однопродуктовой  технологии (y Î ℝ) можно определить на основе V(·) производственную функцию следующим образом:

Î

Теорема 13:

Если отображение V(·) монотонно, то соответствующая производственная функция монотонна, а если к тому же множества V(у) выпуклы, то она квазивогнута.

В терминах множеств V(у) можно определить изокванты для данной технологии "

Рис. 8. Монотонность V(·).

Это множество таких векторов затрат r, которые позволяют произвести у, но не позволяют произвести больше у. Таким образом, изокванта Q(у) - это граница множества V(у).

4.2   Функция издержек

 

Рассмотрим следующую задачу

Задача  2.

 

Обозначим множество цен  факторов, на котором существует решение  Задачи 4 при объеме выпуска y, через W(у).

Определение 5:

Функция издержек c(w, у) — это значение целевой функции Задачи 4; для каждого вектора выпуска у и вектора цен факторов w W(у) она указывает минимальную величину издержек, при которых в соответствии с данной технологией можно произвести y.

Если технологическое  множество задано производственной функцией то Задача 4 примет вид:

 

Функция издержек обладает следующими свойствами.

Рис. 9. Построение функции издержек.

Теорема 14 ((Свойства функции издержек c(w, y) выпуклой технологии)):

Функция издержек c(w, y)

1. положительно однородна первой степени по ценам факторов:

""Î

2. монотонна по ценам факторов и выпуску;
3. вогнута по ценам на любом выпуклом подмножестве множества W(y);
4. непрерывна по ценам на внутренности множества W(y), int W(y).

Определение 6:

Функция условного  спроса на факторы производства r(w,y) есть оптимальное решение Задачи 4 при выпуске y и ценах факторов w.

Заметим, что функция издержек и функция условного спроса на факторы производства определены для любого непустого замкнутого технологического множества Y.

Теорема 15 ((Свойства функции условного спроса на факторы)):

1. Функция условного спроса на факторы производства r(w,y) однородна нулевой степени как функция цен факторов производства w.
2. Если множество V(y) строго выпукло, то r(w,y) — однозначная непрерывная функция w.

Если, кроме того, функция  издержек дифференцируема, то верна  следующая лемма Шепарда, связывающая издержки и функцию условного спроса на факторы.

Теорема 16:

Пусть функция издержек дифференцируема  по ценам факторов при объеме производства y.

Тогда для всех w Î int W(y) выполнено

 

или

 

Использование функции издержек позволяет рассматривать максимизацию прибыли как двухэтапную процедуру. На первом этапе по данной технологии и соответствующему множеству требуемых затрат строится функция издержек. На втором этапе решается задача выбора объема производства, максимизирующего прибыль, которая в этом случае рассчитывается как разница между выручкой и издержками:

 

Здесь через p мы обозначили цены продукции, а через — те объемы производства, которые допустимы при данном технологическом множестве (существуют затраты, которые вместе с y составляют допустимую технологию):

$Î

Это один из вариантов записи задачи производителя. Если функция  издержек дифференцируема, и решение рассматриваемой задачи, , является внутренним (т. е. ), то оно характеризуется следующим условием первого порядка:

"

или, в векторной записи,              

Таким образом, оптимальный выпуск характеризуется тем, что предельные издержки равны цене.

 

5. Агрегирование в производстве

 

Пусть существует n фирм с технологическими множествами Зададимся вопросом о том, можно ли найти технологическое множество , такое чтобы производитель с таким технологическим множеством (репрезентативный производитель или агрегированный производитель) демонстрировал определенном смысле такое же поведение, как и n исходных производителей. Оказывается, что такое технологическое множество построить очень просто:

Î

Теорема 19:

(1) Если при ценах р технология является решением задачи j-го производителя, то технология

 

является решением задачи агрегированного производителя  при тех же ценах.

(2) Обратно, если  является решением задачи агрегированного производителя, то найдутся технологии , каждая из которых является решением задачи соответствующего производителя.

Как следствие указанного свойства, между функциями прибыли  существует следующая связь:

pp

Если (·) - производственная функция j-й фирмы, то агрегированная фирма будет иметь производственную функцию (·), которая получается как значение следующей задачи:

Î

Аналогично, если (·) - функция издержек j-й фирмы, то агрегированная фирма будет иметь функцию издержек (·), которая получается как значение следующей задачи:

Î

 

Заключение

 

В данной работе были изучены основные свойства модели рационального поведения производителя. Было рассмотрено описание технологии посредством функции издержек.

Нами были рассмотрены  два этапа решения задачи максимизиции прибыли. Первый: нахождение минимальных затрат (и соответствующей им технологии), которые позволяют произвести данное количество продукции (зависимость между затратами и технологией и называется функцией издержек). Второй: нахождение того выпуска, которому соответствует максимальная прибыль при известной функции издержек и при заданных ценах на выпускаемую продукцию. Таким образом был применен удобный исследовательский прием по разделению задачи планирования, производства на два этапа. Он применяется также при исследовании моделей равновесия в производстве, удовлетворяющем условиям постоянной отдачи от масштаба, а также при анализе моделей несовершенной конкуренции, когда поведение производителя оказывает влияние на рыночные цены.