Векторы. Скалярное и векторное произведение векторов

Глава 2. Действия над векторами. Произведение векторов

2.1. Скалярное  произведение векторов и его  свойства

     Скалярным произведением двух ненулевых векторов  а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение можно обозначать различными способами, например, как ab, a · b, (a , b), (a · b). Таким образом, скалярное произведение равно: a · b = |a| · |b| · cos φ.

     Если  хотя бы один из векторов равен нулю, то скалярное произведение равно  нулю.

Свойства  скалярного произведения:

1. Свойство перестановки: a · b = b · a (от перестановки множителей скалярное произведение не меняется);
2. Свойство распределения: a · (b · c) = (a · b) · c (результат не зависит от порядка умножения);
3. Свойство сочетания (по отношению к скалярному множителю):               (λ a) · b = λ (a · b).
4. Свойство ортогональности (перпендикулярности): если вектора a и b ненулевые, то их скалярное произведение равно нулю, только когда эти векторы ортогональны (перпендикулярны друг к другу) a _┴ b;
5. Свойство квадрата: a · a = a² = |a|² (скалярное произведения вектора самого с собой равняется квадрату его модуля);
6. Если координаты векторов a = {x₁, y₁, z₁} и b = {x₂, y₂, z₂}, то скалярное произведение равно a · b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂.

      Задача:  даны вершины треугольника A(1,2,3), B(3,4,4), C(4,8,1). Определить угол между сторонами AB и AC.

      Решение: косинус угла между векторами b и c равен cosφ = b · c / (|b|·|c|). Найдем вектора через соответствующие вершины треугольника: b = AB = {3-1, 4-2, 4-3} = {2, 2, 1} и c = AC = {4-1, 8 - 2, 1 - 3} = {3, 6, -2}. Модули векторов равны |b| = (2²+2²+1²)^1/2 = 3 и |c| = (2³+3²+(-2)²)^1/2 = 7. Скалярное произведение равно: b · c = 2·3+2·6+1·(-2)=16. Подставляя в формулу для косинуса угла, получим cosφ = 16/21, следовательно, φ = arccos(16/21).

      Ответ: φ = arccos(16/21).  
 
 
 
 
 

2.2.  Векторное  произведение векторов и его  свойства

      Векторным произведением вектора   на вектор   называется вектор, обозначаемый символом   и определяемый следующими тремя условиями:

1. модуль вектора   равен  , где   - угол между векторами   и  ;
2. вектор   перпендикулярен к каждому из вектора   и  ;
3. направление вектора   соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если векторы  ,   и   приведены к общему началу, то вектор  должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, большой палец которой направлен по первому сомножителю (то есть по вектору  ), а указательный - по второму (то есть по вектору  ).

Свойства векторного произведения:

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак,      т.е. а хb =(b хa) .  Векторы ахb и bха коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки а , b , ахb и a , b , bxa противоположной ориентации). Стало быть axb = - (bxa).
2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. l(а хb ) = (lа ) х b = а х (lb ). Пусть l>0. Вектор l(ахb ) перпендикулярен векторам а и b . Вектор ( lа)хb также перпендикулярен векторам  а и b (векторы а, lа лежат в одной плоскости). Значит, векторыl(ахb ) и ( lа)хb коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:                                          

Поэтому l(a хb)= lахb . Аналогично доказывается при l<0.

3. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а||b <=>ахb =0.
4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

    (a+b) хс= ахс+b хс. Примем без доказательства. 
 
 
 
 
 

2.3. Смешанное  произведение векторов

      Смешанным произведением векторов  ,   и   называется число, равное скалярному произведению вектора   на вектор, равный векторному произведению векторов   и  . Обозначается  или ( ,  , ). Смешанное произведение    по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах  ,   и  (рис.4).

      Свойства  смешанного произведения:

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е. (а х b )•с=(b х с)•а=(с х а)•b . Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер; 
2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения, т. е. (ахb )•с=а*(bx с). Действительно, (ахb )•с=±V и а•(b хс)=(b хс)•а=±V . Знак в правой части этих равенств берем один и тот же, так как тройки векторов а , b , с и b , с , а — одной ориентации.

Следовательно, (a хb )•с=a (b хс). Это позволяет записывать смешанное произведение векторов (а х b )с в виде abc  без знаков векторного, скалярного умножения;

3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей, т. е. abc =-acb , abc =-bac , abc =-cba . Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения знак;
4. Смешанное произведение ненулевых векторов а, b и с равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.   Если abc =0 , то а, b и с— компланарны. Допустим, что это не так. Можно было бы построить параллелепипед с объемом V¹ 0. Но так как abc =±V , то получили бы, что abc¹0 . Это противоречит условию: abc =0.  Обратно, пусть векторы а, b , с — компланарны. Тогда вектор d =ахb будет перпендикулярен   плоскости, в которой лежат векторы а, b ,с, и следовательно, d ^с. Поэтому d •с=0, т. е. abc=0.

Заключение

      И в заключении хотелось бы отметить, что не следует думать, что всякая физическая величина, имеющая направление, обязательно является вектором. Электрический  ток имеет направление, но это  не вектор. Углу тоже придается направление (мы углы отсчитываем либо по ходу часовой стрелки, либо - против), но и угол - не вектор.

      Так что же является основным признаком  векторной величины, если числового  значения и направления недостаточно?  Главным признаком того, что данная величина есть вектор является то, что, если она с себе подобной складывается геометрически (например, по правилу параллелограмма), и в результате такого сложения мы получим величину, истинность которой подтверждается экспериментом, то, значит, складываемые величины - векторы.

Про углы следует сказать особо. Дело в том, что, хотя при сложении двух поворотов и не сохраняются правила  сложения векторов, однако, сложение бесконечно малых поворотов подчиняется  этим правилам. Поэтому φ и Δφ – не векторы, а dφ – вектор!

      Таким образом, вектором называют величину, характеризуемую числовым значением, направлением в пространстве и складывающейся с другой, себе подобной величиной геометрически.

      Следует знать, что последняя часть определения  является не свойством вектора, что  нередко утверждается, но именно неотъемлемой частью определения. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   ^{Список  литературы:} 

1. ^{Артамонов Вячеслав Введение в  высшую алгебру и  аналитическую геометрию. Изд-во: Факториал, Факториал  Пресс, 2007.}
2. ^{Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1976.}
3. ^{Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для вузов. М.: Высшая школа, 1999.}
4. ^{Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения М.: Высшая школа, 2000.}
5. ^{Герасимович А.И., Пушкина-Варварчук Г.Т., Шарикова З.П., Цыганова В.К. Геометрия для подготовительных отделений втузов: Справ. Пособие – Мн.: Выш. Шк., 1987.}
6. ^{Дадаян А.А. Математика: Учебник. – М.: ФОРУМ,: ИНФРА-М, 2003.}
7. ^{Ефимов Н.В. Высшая геометрия. Издательство: ФИЗМАТЛИТ®, 2003.}
8. ^{Кравцев С.В. Алгебра и начала анализа. Ответы на экзаменационные билеты. 11 класс: учебное пособие. – М.: Издательство «Экзамен», 2006.}
9. ^{Клейн Ф. Высшая геометрия. изд. - 2. Издательство: Едиториал УРСС, 2004.}
10. ^{Клейн Ф., Феликс Христиан Клейн Высшая геометрия: Пер. с нем. Изд.3. ЛИБРОКОМ, 2009.}
11. ^{Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1973.}
12. ^{Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1991.}
13. ^{Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ, 2000.}
14. ^{Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. сред. шк. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 1992.}
15. ^{Пытьев Ю.П., Шишмарев И.А. Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.}
16. ^{Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1979.}
17. ^{Фигурин В.А., Оболонкин В.В. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Новое знание, 2000.}
18. ^{Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1982.}