Этапы развития электронных устройств

R₂₃₄ = R₃ + R₂₄ = 8 + 7/8 = 71/8 = 7,875 Ом;

R₅₇ = R₅ + R₇ = 3 + 3 = 6 Ом;

R_89101112 = R₉₁₂ + R₈₁₀₁₁ = 105/22 + 70/19 = 3535/418 = 8,457 Ом.

Определяем сопротивление  схемы между узлами 1 и 2:

1/R_1–2 = 1/R₂₃₄ + 1/R₆ + 1/R₅₇ + 1/R_89101112 = 8/71 + 1/6 + 1/6 + 418/3535;

1/R_1–2 = 849718/1505910 = 424859/752955;

R_1–2 = 752955/424859 = 1,772 Ом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда:

R = R₁ + R_1–2 = 1 + 752955/424859 = 1177814/424859 = 2,772 Ом – полное сопротивление схемы;

I₁ = U/R = 110/(1177814/424859) = 46734490/1177814 = 39,68 А – ток резистора R₁;

U_1–2 = I₁R_1–2 = 39,68∙1,772 = 70,32 В – напряжение между узлами 1 и 2;

I₃ = U_1–2/R₂₃₄ = 70,32/(71/8) = 7,924 А – ток резистора R₃;

I₅ = I₇ = U_1–2/R₅₇ = 70,32/6 = 11,72 А – ток резисторов R₅ и R₇;

I₆ = U_1–2/R₆ = 70,32/6 = 11,72 А – ток резистора R₆;

I_89101112 = U_1–2/R_89101115 = 70,32/(3535/418) = 8,315 А – ток ветви R₈, R₉, R₁₀, R₁₁, R₁₂.

Зная ток неразветвленного участка I, токи параллельных ветвей R_х и R_у рассчитываем по формулам:

I_х = IR_у/(R_х + R_у) и I_у = IR_х/(R_х + R_у).

Тогда:

I₂ = I₃R₄/(R₂ + R₄) = 7,924∙7/(1 + 7) = 6,933 А – ток резистора R₂;

I₄ = I₃R₂/(R₂ + R₄) = 7,924∙1/(1 + 7) = 0,9904 А – ток резистора R₄.

I₉ = I_89101112R₁₂/(R₉ + R₁₂) = 8,315∙7/(15 + 7) = 2,646 А – ток резистора R₉;

I₁₂ = I_89101112R₉/(R₉ + R₁₂) = 8,315∙15/(15 + 7) = 5,669 А – ток резистора R₁₂;

I₈ = I_89101112(R₁₀ + R₁₁)/(R₈ + R₁₀ + R₁₁) = 8,315∙(10 + 4)/(5 + 10 + 4);

I₈ = 6,127 А – ток резистора R₈;

I₁₀ = I₁₁ = I_89101112R₈/(R₈ + R₁₀ + R₁₁) = 8,315∙5/(5 + 10 + 4);

I₁₀ = I₁₁ = 2,188 А – ток резисторов R₁₀ и R₁₁.

Вывод по работе:

Определили эквивалентное  сопротивление R_эк электрической цепи постоянного тока и распределение токов по ветвям. Вариант электрической цепи, положение выключателей К₁ и К₂ в схемах, величины сопротивлений резисторов R₁ – R₁₂ и питающего напряжения U.

 

 

Контрольная работа № 1.3

Для электрической цепи постоянного тока (рис. 1.7) , используя  данные, приведенные для данного  варианта задания в табл. 1.3, определить токи I₁ – I₉ в ветвях резисторов R₁ – R₉, составить баланс мощностей.

ЭДС и напряжения источников, сопротивления резисторов и положение  выключателей для соответствующих  вариантов задания приведены  в табл.1.3. Внутренним сопротивлением источников пренебречь.

 

Исходные данные:

Е₁ = 110 В; U₆ = 80 В;  R₁ = 0,2 Ом; R₂ = 1 Ом; R'₂ = 3 Ом;

R₅ = 0,4 Ом; R₈ = 0,4 Ом; R₉ = 0,2 Ом; замкнуты выключатели К₂, К₅.

 

 

 

 

 

РЕШЕНИЕ

 

На рис. 1.7.1 показана заданная схема с замкнутыми выключателями  К₂ и К₅. Также на рис. 1.7.1 показываем токи схемы.

Схема содержит два узла и три ветви. Следовательно, необходимо определить три неизвестных тока.

В соответствии с этим составляем одно уравнение по первому  закону Кирхгофа и два – по второму закону Кирхгофа. Для узла 1 цепи составляем уравнение токов по первому закону Кирхгофа:

I₂ = I₁ + I₃.    (1)

По второму закону Кирхгофа уравнение для контура 1R₂R'₂2Е₁R₁1:

Е₁ = R₁I₁ + (R₂ + R'₂)I₂.   (2)

Для контура 1R₂R'₂2U₅R₅R₉R₈1 имеем:

U₅ = (R₂ + R'₂)I₂ + (R₅ + R₈ + R₉)I₃.   (3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Объединяя (1), (2), (3) получаем систему из 3 уравнений с 3 неизвестными:

   I₁ – I₂ + I₃ = 0                                   

   R₁I₁ + (R₂ + R'₂)I₂ = Е₁           <=>      

   (R₂ + R'₂)I₂ + (R₅ + R₈ + R₉)I₃ = U₅        

  

   I₁ – I₂ + I₃ = 0                                              I₁ – I₂ +   I₃ = 0

   0,2I₁ + (1 + 3)I₂ = 110              <=>         0,2I₁ + 4I₂   = 110

   (1 + 3)I₂ + (0,4 + 0,4 + 0,2)I₃ = 80                    4I₂ + I₃ = 80  

 

Полученную систему решаем с помощью определителей:

; 
; 
; 
;

Тогда:

I₁ = Δ₁/Δ = 230/5 = 46,0 А – ток ветви Е₁, R₁;

I₂ = Δ₂/Δ = 126/5 = 25,2 А –  ток ветви R₂, R'₂;

I₃ = Δ₃/Δ = -104/5 = -20,8 А –  ток ветви R₄, R₈, Е₄.

Отрицательное значение I₃ показывает, что его направление противоположно выбранному на рис. 1.7.1.

Вывод по работе:

Для электрической цепи постоянного тока, определили токи I₁ – I₉ в ветвях резисторов R₁ – R₉, составили баланс мощностей.

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа № 2.1

Для электрической цепи переменного тока с частотой f = 50 Гц (рис.2.3) определить полные сопротивления Z ветвей, токи I в ветвях и напряжения U на элементах электрической цепи, составить баланс активных мощностей. Комплексные Ё или мгновенные е значения ЭДС источников питания, сопротивления R резисторов и реактивные сопротивления Х элементов электрической цепи, а также предлагаемый метод решения задачи для соответствующего варианта задания приведены в табл. 2.1

Для соответствующего варианта задания  определить напряжение U₁₃ между точками 1 – 3 и напряжение U₃₄ между точками 3 – 4 цепи. Построить для ветви 2 – 3 цепи в масштабе векторную диаграмму тока и напряжений.

 

Исходные данные:

 

Е₁ = 80; Е₂ = 60е^j90°;

R₁ = 9 Ом; R₂ = 16 Ом;

R₃ = 3 Ом; Х₁  = 12 Ом; Х₂  = 12 Ом; Х₃  = 4 Ом;

задачу решить методом  прямого применения законов Кирхгофа.

 

РЕШЕНИЕ

 

При вычислении заданных величин используем метод комплексных чисел. Записываем комплексные ЭДС источников в показательной и алгебраической формах:

₁ = 80е^j0° = 80 + j0 В – комплексная ЭДС источника Е₁;

₂ = 60е^j90° = 0 + j60 В – комплексная ЭДС источника Е₂.

 

Показываем на рис. 2.3.1 комплексные токи ветвей и определяем полные комплексные сопротивления ветвей схемы:

1 = R₁ + jХ₁ = 9 + j12 = 15е^j53,1° Ом;

2 = R₂ + jХ₂ = 16 + j12 = 20е^j36,9° Ом;

3 = R₃ + jХ₃ = 3 + j4 = 5е^j53,1° Ом.

 

Первый закон Кирхгофа для узла 1 имеет вид:

İ₁ + İ₃ = İ₂.   (1)

 

 

Второй закон Кирхгофа для контура 1Е₁R₁Х₁2Х₂R₂1 имеет вид:

 

İ₁

1 + İ_{2 2} = ₁;

İ₁15е^j53,1° + İ₂20е^j36,9°= 80е^j0°.   (2)   

 

Второй закон Кирхгофа для контура 1Е₂R₃Х₃2Х₂R₂1 имеет вид:

İ₂

2 + İ_{3 3} = ₂;

İ₂20е^j36,9º + İ₃5е^j53,1º= 60е^j90º.   (3)   

 

Значение İ₂ из (1) подставляем в (2) и (3):

İ₁(15е^j53,1º + 20е^j36,9º) + İ₃20е^j36,9º = 80е^j0º;   (4)

İ₁20е^j36,9º + İ₃(5е^j53,1º + 20е^j36,9º) = 60е^j90º.   (5)

 

Из (4):

İ₁(25 + j24) + İ₃20е^j36,9º = 80е^j0º;

İ₁34,67е^j43,8º + İ₃20е^j36,9º = 80е^j0º;

İ₁ =

= 2,308е^-j43,8º – İ₃0,5769е^-j6,9º.   (6)

 

Из (5):

İ₁20е^j36,9º + İ₃(19 + j16) = 60е^j0º;

İ₁20е^j36,9º + İ₃24,84е^j40,1º = 60е^j90º.   (7)

 

Подставив (6) в (7), получим:

(2,308е^-j43,8º – İ₃0,5769е^-j6,9º)20е^j36,9º + İ₃24,84е^j40,1º = 60е^j90º;

46,16е^-j6,9º – İ₃11,54е^j30,0º + İ₃24,84е^j40,1º = 60е^j90º;

İ₃(19,0 + j16,0 – (10,0 + j5,77)) = 0 + j60 – (45,83 – j5,546);

İ₃(9,0 + j10,23) = -45,83 + j65,55;

İ₃13,63е^j48,7º = 79,87е^j125,0º;

İ₃ = 5,87е^j76,3º = 1,40 + j5,70.  

 

Из (6): İ₁ = 2,308е^-j43,8º – 3,386е^j69,4º = 1,666 – j1,598 – (1,191 + j3,170);

İ₁ = 0,47 – j4,77 = 4,79е^-j84,4º.

 

Из (1): İ₂ = 0,47 – j4,77 + (1,4 + j5,7);

İ₂ = 1,87 + j0,93 = 2,08е^j26,6º.

 

Тогда:

I₁ = |İ₁| = 4,79 А – действующий ток ветви Е₁, R₁, Х₁;

I₂ = |İ₂| = 2,08 А – действующий ток ветви R₂, Х₂;

I₃ = |İ₃| = 5,87 А – действующий ток ветви Е₂, R₃, Х₃.

 

Рассчитываем комплексные напряжения на пассивных элементах цепи:

R1 = İ₁R₁ = 4,79е^-j84,4°∙9 = 43,1е^-j84,4° = 4,21 – j42,9;

Х1 = İ₁Х₁е^j90º = 4,79е^-j84,4°∙12е^j90° = 57,5е^j5,6° = 57,2 + j5,61;

R2 = İ₂R₂ = 2,08е^j26,6°∙16 = 33,3е^j26,6° = 29,8 + j15,0;

Х2 = İ₂Х₂е^j90º = 2,08е^j26,6°∙8е^j90° = 16,6е^j116,6° = -7,45 + j14,9;

R3 = İ₃R₃ = 5,87е^j76,3°∙3 = 17,6е^j76,3° = 4,17 + j17,1;

Х3 = İ₃Х₃е^j90º = 5,87е^j76,3°∙4е^j90° = 23,5е^j166,3° = -22,8 + j5,56.

Тогда:

U_R1 = | _R1| = 43,1 В – падение напряжения на резисторе R₁;

U_Х1 = | _Х1| = 57,5 В – падение напряжения на катушке Х₁;

U_R2 = | _R2| = 33,3 В – падение напряжения на резисторе R₂;

U_Х2 = | _Х2| = 16,6 В – падение напряжения на катушке Х₂;

U_R3 = | _R3| = 17,6 В – падение напряжения на резисторе R₃;

U_Х3 = | _Х3| = 23,5 В – падение напряжения на катушке Х₃.

 

Определяем комплексную полную мощность, развиваемую источниками  ЭДС:

S_ист = 600 ВА – полная мощность источников;

Р_ист = 379,3 Вт – активная мощность источников;

Q_ист = 465,2 ВАр – реактивная мощность источников.

 

Определяем мощность, выделяющуюся на резисторах схемы:

Р_пр=

∙R₁ + ∙R₂ + ∙R₃ = 4,79²∙9 + 2,08²∙16 + 5,87²∙3;

Р_пр = 206,4 + 69,5 + 103,3 = 379,2 Вт.

Р_пр ≈ Р_ист – баланс активной мощности соблюдается.

 

Находим:

₁₃ = ₁ = 80е^j0º – комплексное напряжение между точками 1 и 3;

U₁₃ = 80 В – действующее напряжение между точками 1 и 3;

₃₄ = _R1 +  _Х1 +  _Х2 = 4,21 – j42,9 + (57,2 + j5,61) + (-7,45 + j14,9);

₃₄ = 54,0 – j22,4 = 58,5е^-j22,5° – комплексное напряжение между точками 3 и 4;

U₃₄ = 58,5 В – действующее напряжение между точками 3 и 4.

 

Для построения векторной диаграммы  тока и напряжений выбираем масштаб тока М_I = 2 А/см и напряжения М_U = 10 В/см. Тогда:

l_UR1 = U_R1/М_U = 43,1/10 = 4,31 см – длина вектора напряжения на резисторе R₁;

l_UХ1 = U_Х1/М_U = 57,5/10 = 5,75 см – длина вектора напряжения на катушке Х₁;

l_I1 = I₁/М_I = 4,79/2 = 2,40 см – длина вектора тока I₁.

На комплексной плоскости из начала координат под углом 84,4º  к действительной оси по ходу часовой  стрелки, откладываем в принятом масштабе вектор İ₁. Вектор _Х1 откладываем под углом 5,6º к действительной оси против хода часовой стрелки. Их конца _Х1 в направлении вектора İ₁ откладываем вектор _R1. Соединив начало вектора _Х1 с концом вектора _R1, получаем вектор напряжения между точками 2 и 3 – ₂₃.  Векторная диаграмма показана на рис. 2.3.2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вывод по работе:

Для электрической цепи переменного тока с частотой f = 50 Гц определили полные сопротивления Z ветвей, токи I в ветвях и напряжения U на элементах электрической цепи, составили баланс активных мощностей. Комплексные Ё или мгновенные е значения ЭДС источников питания, сопротивления R резисторов и реактивные сопротивления Х элементов электрической цепи.