Исследование одномерных фильтрационных потоков несжимаемой жидкости и газа в неоднородных пластах по закону Дарси

 

 

 

 

Таблица 2

 

 

 

Б. Зонально-неоднородный пласт

 

Рисунок 4: Распределение давления в плоскорадиальном потоке несжимаемой жидкости в зонально-неоднородном пласте.

 

Пусть имеется горизонтальный пласт толщиной h, состоящий из n кольцеобразных зон с различной проницаемостью k_i, и пористостью m_i, при этом граница каждой зоны имеет форму боковой поверхности цилиндра, соосного скважине. На внешней границе n-й зоны, являющейся контуром питания пласта (r = R_k), поддерживается постоянное давление p_k, на внутренней границе пласта (r = r_с). т. е. на забое совершенной скважины, поддерживается постоянное давление р_c. В пласте имеет место установившийся плоскорадиальный поток однородного флюида по закону Дарси.

Распределение функции Лейбензона в каждой i-й зоне подчиняется логарифмическому закону:

(12)

где P _i(r) - функция Лейбензона в любой точке i-й зоны с координатой r; r_i,;   r_i-1,_i - соответственно внешний и внутренний радиусы i-й зоны (r₀ = r_с,           r_n = R_k.);  P _i, P _i-1 - значения функции Лейбензона на внешней и внутренней границах i-й зоны соответственно.

Переходя от функции Лейбензона к давлению, найдем, что для несжимаемой жидкости давление в каждой зоне подчинено логарифмическому закону, а для газа - корню квадратному из логарифма радиуса (формулы приведены в табл.2). На рис.4 приведено распределение давления вдоль линии тока в плоскорадиальном потоке несжимаемой жидкости в зонально-неоднородном пласте.

Массовый дебит потока будет одним и тем же во всех зонах в силу установившегося движения:

(13)

Используя свойство производных  пропорций, найдем, перенеся k_i в знаменатели и сложив отдельно числители и знаменатели.

(14)

 

 

 

 

Среднее значение проницаемости  зонально-неоднородного пласта можно определить из равенства дебитов в неоднородном и однородном пластах:

(15)

В практике разработки нефтяных и газовых месторождений значительный интерес представляет задача о притоке к скважине при наличии вокруг забоя скважины кольцевой зоны с проницаемостью, отличной от проницаемости остальной части пласта, т.е. пласт состоит из двух зон различной проницаемости. Такая задача возникает, например, при торпедировании или кислотной обработке призабойной зоны, при установке гравийного фильтра, при глинизации или парафинизации призабойной зоны, выносе мелких фракций породы из этой зоны и т.д.

Очень важной при этом бывает необходимость установления влияния различия проницаемостей кольцевой призабойной зоны k₁ и остальной части пласта k₂ на продуктивность скважины.

Дебит скважины в таком  двухзональном пласте определяется по следующей формуле:

(16)

Последняя формула позволяют выяснить, как влияет изменение проницаемости призабойной зоны на дебит скважины. Таким обазом, установлено, что при рассмотрении фильтрационных потоков в неоднородных пластах по закону Дарси могут применяться основные расчетные формулы, полученные для однородных пластов. При этом для расчета усредненных характеристик неоднородного пласта следует воспользоваться средними значениями коэффициентов фильтрационного сопротивления, определяемыми в зависимости от геометрии движения. Это позволяет рассматривать фильтрационный поток в неоднородном пласте как эквивалентный ему поток в однородном пласте. Не рассмотренные здесь случаи радиально-сферического пласта, а также фильтрация в неоднородных пластах по нелинейному закону могут быть изучены студентами самостоятельно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОДНОМЕРНЫЕ  БЕЗНАПОРНЫЕ ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ

Безнапорное движение жидкости – это такое движение, в котором пьезометрическая поверхность совпадает со свободной поверхностью фильтрующейся жидкости, над которой давление постоянно.

При неподвижном состоянии  жидкости ее свободная поверхность горизонтальна, в процессе движения она искривляется, понижаясь вдоль потока.

Безнапорное движение в добыче нефти встречается при шахтной и карьерной разработке нефтяных месторождений. Задачи безнапорного движения интересуют в большей степени гидротехников, например при фильтрации воды через земляные плотины, притоке грунтовой воды к скважинам и колодцам и др. Кроме того, задачи безнапорной фильтрации представляют большой теоретический интерес. Они значительно труднее, чем аналогичные задачи напорного движения. Главная трудность точного решения задач безнапорной фильтрации заключается в том, что неизвестна форма области, занятой грунтовым потоком. В напорной фильтрации форма области потока известна, так как непроницаемые кровля и подошва пласта фиксированы.

В книге П. Я. Полубариновой - Кочиной приведены некоторые точные решения задачи о движении через прямоугольную перемычку и дается подробная библиография по этому вопросу.

Рассмотрим приближенную теорию безнапорного установившегося движения жидкости по закону Дарси, которая известна под названием гидравлической теории Дюпюи Форхгеймера.

Рассмотрим прямоугольную  перемычку (плотину), через которую происходит фильтрация жидкости.

Уровень жидкости H₁, называется верхним бьефом, уровень H₂ -нижним бьефом. Свободная поверхность жидкости, фильтрующейся через тело плотины, называется депрессионной (пьезометрической) поверхностью (кривая ABC). Свободная поверхность выходит на правую грань всегда выше нижнего бьефа. Величина ВС называется промежутком высачивания. Гидравлическая теория безнапорного движения основывается на следующих допущениях:

1) горизонтальные компоненты  скорости фильтрации распределены равномерно в любом поперечном сечении потока;

2) давление вдоль вертикали  распределено по гидростатическому закону, т. е. напор

(17)

 

Рисунок 5: Схема безнапорного течения через прямоугольную перемычку.

 

 

 

Таким образом, напор вдоль  каждой вертикали предполагается постоянным.

Считая давление на свободной  поверхности атмосферным (т.е. избыточное давление равно нулю), получим, что напор равен глубине потока h:

H = h.

Горизонтальная компонента скорости фильтрации постоянна вдоль вертикали и равна:

(18)

Вертикальная компонента скорости фильтрации равна нулю.

Расход жидкости на единицу  ширины потока q, т.е. через прямоугольник высотой h и единичной шириной равен:

(19)

Разделив переменные и  проинтегрировав, получим:

(20)

Здесь постоянная интегрирования С находится из граничного условия h  = Н₁ при х = 0 и равна k_фН²₁/2.

Тогда уравнение свободной поверхности принимает вид

(21)

Отсюда легко найти глубину потока h в любом сечении х. Предварительно найдем расход жидкости q. Подставив в прадыдущем уравнении второе граничное условие h = H₂ при х = l, получим:

(22)

и расход жидкости Q через плотину шириной В будет равен:

(23)

Форму депрессионной поверхности (пьезометрической линии АС) найдем из формулы (21). Подставив в нее выражение (22) для расхода q, получим:

(24)

Таким образом, согласно гидравлической теории безнапорного движения, пьезометрическая линия АС является параболой, что, строго говоря, не отражает реальную картину течения.

Это ясно из следующих соображений. Из формулы (24) при Н₂ = 0 у выхода в нижний бьеф (при х =l ) получим h = 0 и, следовательно, бесконечную скорость фильтрации w_x = q/h, что физически невозможно. Следовательно, в действительности должно быть h(l) > H₂, т.е. должен существовать промежуток высачивания ВС и пьезометрическая кривая будет иметь вид ABC, а не АС.

Формула же для дебита (22), хотя и выведена на основании приближенных допущений, тем не менее является точной, как было доказано И. А . Чарным.

Рассмотрим теперь схему  установившегося безнапорного притока жидкости к совершенной скважине (или колодцу) (рис.6).

 

Рисунок 6: Схема безнапорного притока к совершенной скважине.

 

Пусть на расстоянии R_k уровень грунтовых вод постоянен и равен H_к, в скважине установлен постоянный уровень H_с. Скорость фильтрации на расстоянии r от оси скважины:

(25)

а расход жидкости через боковую поверхность цилиндра:

(26)

Разделив в (26) переменные и проинтегрировав, получим:

(27)

где постоянная интегрирования С находится из граничного условия  на контуре питания: Н = H_k или r = R_k. Тогда имеем:

(28)

откуда найдем дебит жидкости подставив второе граничное условие на забое скважины: Н = Н_с при r = r_с. В результате получим:

(29)

Разрешив уравнение (28) относительно h, найдем уравнение депрессионной кривой АС:

(30)

Формулы (23) и (29) называются формулами Дюпюи. Аналогия теории безнапорного движения имеет место с задачей фильтрации газа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ЗАДАЧА 1.

Определить скорость фильтрации W и среднюю истиную скорость движения V нефти у стенки гидродинамически совершенной скважины и на расстоянии r от скважины, если известно, что проницаемость пласта k, расстояние до контура питания R_k, радиус скважины r_c, вязкость нефти , давление на контуре питания P_k, а на стенке P_c и пористость пласта m. 

Дано:

k=1,3мкм²=1,3х10^-12 м², R_k=1000 м, r_c=0.1 м, =7 сП=7*10^-3 Па*с, P_k= 115кгс/см²= 11274510Па, P_c=65 кгс/см²=6372549 Па, r=60 м, m=16%=0.16

Найти:

W₁, W₂, V₁, V₂.

Решение:

Для определения  скорости фильтрации W как у стенки скважины, так и на расстоянии r от скважинывоспользуемся формулой Дюпюи изависимостью скорости фильтрации W от дебита Q, т.к. в данной задаче рассматривается плоскорадиальный фильтрационный поток.

По формуле  Дюпюи дебит равен:

Q=

Q=W*S,

где S- площадь поперечного сечения S=2

Приравнивания расход жидкости по формуле Дюпюи и объемный расход жидкости получим

отсюда W=

Скорость фильтрации у стенки скважины:

W₁=

       W₁₌ ^-9     м/с

Средняя истиная  скорость движения у стенки скважины:

V₁=W₁/ m

V₁=0.000002321/0.16=1.451*10^-8 м/с

Скорость фильтрации на расстоянии r от скважины:

W₂=

       W₁₌ ^-11 м/с

Средняя истиная скорость движения на расстоянии r от скважины.

V₂=W₂/ m

V₂=3.8695*10^-11/ 0.16=2.423*10^-10 м/с

Ответ:   W₁=2.321*10^-9м/с

W₂=3.87*10^-11  м/с

V₁=1.451*10^-8 м/с

V₂=2.42*10^-10 м/с

С помощью решения  этой задачи мы практически доказали обратную зависимость скорости фильтрации от расстояния r до оси скважины, а также,что скорость фильтрации W меньше действительной средней скорости V течения флюида.

   

 

 

 

 

 

 

 

 ЗАДАЧА 2.

Определить  градиент давления на стенке скважины и на расстоянии r₀ от скважины, если известно, что расстояние до контура питания R_k, радиус скважины r_c, давление на контуре питания P_k и давление в скважине P_c.

Дано:

R_k=100 м, r₀=30 м, r_c=0.1 м, P_k=75 кгс/см²=7352941 Па, P_c=30 кгс/см²=2941176 Па.

Найти:

.

Решение:

Для определения  градиента давления воспользуемся  равенством расхода жидкости по формуле  Дюпюи и расходом жидкости записанный в соответствии с законом Дарси.

Получим: по формуле  Дюпюи 

Q₁=

По формуле  Дарси

Q₂=

  или Q=

Q₁=Q₂, тогда

Градиент давления на  стенке скважины:

 Па/м

На расстоянии r₀ от скважины градиент давления будет равен:

 Па/м

Ответ: Па/м

          Па/м

Как и скорость фильтрации градиент давления находится  в обратной зависимости от расстояния r до оси скважины и резко возрастает, достигая максимального значения на стенке скважины.