Стационарная и нестационарная фильтрация. Расчет ОФП по данным нестационарной фильтрации

где l _ глубина водоема  в рассматриваемой точке границы.

Отметим, что в некоторых  задачах могут встречаться и  другие типы граничных условий.

Нестационарная  фильтрация. Соотношения (1) и (2) образуют

полную систему уравнений, описывающих стационарную фильтра-

цию несжимаемой жидкости. Функции u и p могут быть найдены из

этой системы с использованием соответствующих граничных усло-

вий. Опыт показывает, что  закон Дарси (2) остается справедливым

и для нестационарных фильтрационных процессов (если измене-

ния скорости фильтрации происходят не слишком резко), поэтому

система уравнений в  этом случае не меняется. Граничные  условия

(4), (5) и (6) в случае  медленно меняющихся фильтрационных про-

цессов также сохраняют  свой вид, с той лишь разницей, что  теперь

входящие в них величины (например, pатм или l) могут зависеть от

времени как от параметра.

Задача о  нестационарной фильтрации через слой пористого материала

Рассмотрим вертикальный цилиндрический канал 4, в котором находится слой пористого материала 2 толщиной L, выше которого налита несжимаемая жидкость или иными словами, мы не рассматриваем процесс заполнения пор в сухой среде (пропитку). Заметим, что математическое описание такого процесса требует более сложной модели, учитывающей, в частности, капиллярные силы и неполное заполнение пор. (рис. 1). Под действием силы тяжести жидкость просачивается сквозь пористый материал и собирается в находящемся снизу сосуде 5; при этом уровень жидкости над пористым материалом понижается. Слой пористого материала удерживается снизу горизонтальной проницаемой перегородкой 3, сопротивлением которой движению жидкости можно пренебречь.8

При решении задачи будет  предполагаться, что в начальный  момент

времени все поровое  пространство целиком заполнено  жидкостью1).Рис. 1.

Направим ось Oz вертикально  вверх, выбрав начало координат на уровне нижней границы проницаемого слоя. Если коэффициент фильтрации C постоянен, то вектор скорости фильтрации u, очевидно, направлен вертикально вниз, а давление p и проекция u скорости фильтрации на вертикальную ось могут зависеть только от времени и координаты z. Из уравнения неразрывности

следует, что скорость фильтрации зависит только от времени, причем u = dh

dt < 0, где h(t) _ координата свободной поверхности жидкости.

Закон Дарси (3) имеет вид

откуда после интегрирования по z получаем соотношение

где f(t) _ постоянная интегрирования, зависящая, вообще говоря, от времени.

Условие на боковой стенке канала _ условие непротекания (4) в рассматриваемой задаче выполняется автоматически. Нижняя граница z = 0 пористого материала является поверхностью высачивания, на которой выполнено условие (5), что позволяет найти постоянную интегрирования:

Наконец, верхняя граница z = L пористого материала является границей со свободной жидкостью. Подстановка граничного условия (6), в данной задаче принимающего вид p = p_атм +рg(h − L), в соотношение (7) дает уравнение

откуда

где h(0) координата свободной  поверхности жидкости в начальный момент времени. Последнее соотношение можно переписать в виде линейной зависимости между логарифмом безразмерной координаты поверхности (−п) и временем t:

Таким образом, определив  в эксперименте координаты свободной

поверхности жидкости для  нескольких моментов времени, можно найти коэффициент пропорциональности в зависимости (8) и определить значение коэффициента фильтрации C.

Выполнение  эксперимента и обработка результатов

Установка для проведения эксперимента представляет собой вер-тикальную прозрачную трубу, в нижней части которой между двумя мелкоячеистыми сетками находится слой пористого материала. Свободная жидкость, находящаяся в верхней части установки, просачивается через пористый материал и стекает в сосуд, установленный в нижней части установки.

Перед началом эксперимента измеряется толщина слоя пористого материала L. Через верхний конец трубы в установку наливается жидкость. После того как колебания свободной поверхности прекратятся, а пористый материал полностью заполнится жидкостью (при этом некоторое количество жидкости профильтруется через

пористый материал и  соберется в сосуде под установкой), включается секундомер и одновременно фиксируется начальная координата свободной поверхности h(0) по шкале, укрепленной на установке.10

По мере опускания свободной поверхности определяются ее коорди-

наты h для нескольких моментов времени t. При оформлении работы необходимо изложить цель работы, постановку и решение задачи о нестационарной фильтрации через слой пористого материала, а также дать схему экспериментальной установки. Следует привести значения всех измеренных и вычисленных параметров; результаты удобно заносить в следующую таб-

лицу.

Кроме того, необходимо представить  график линейной зависимо-

сти п (ню) от t, построенной по экспериментальным точкам, которые

также указываются на графике. Коэффициент фильтрации C опре-

деляется по углу наклона  аппроксимирующей прямой на графике

или методом наименьших квадратов.

 

 Упругий режим фильтрации

 

Рассмотрим баланс массы жидкости в произвольном элементе объема пористой среды V, ограниченном поверхностью S. За бесконечно малое время dt приток жидкости внутрь элемента равен согласно определению скорости фильтрации

 

(24)

 

( единичный вектор нормали; за положительное направление нормали принято направление внешней нормали к поверхности; u_n - нормальная к поверхности составляющая скорости фильтрации). Приращение массы жидкости внутри этого элемента равняется

(25)

 

Приравнивая выражения (24) и (25) и используя формулу преобразования поверхностного интеграла в объёмный

 

 

находим

 

откуда в силу произвольности элемента V и вытекает уравнение неразрывности

(26)

 

 

 1. Самым простым и наиболее  изученным случаем нестационарной фильтрации является фильтрации слабосжимаемой жидкости в упругодеформируемом пласте (в технических приложениях эти задачи получили название задач упругого режима фильтрации). В основу исследования кладется система уравнений закона фильтрации и уравнения неразрывности:

(27)

 

 

Для того чтобы получить замкнутую  систему уравнений, нужно воспользоваться тем, что свойства жидкости (плотность r и вязкость m), так же как и пористость и проницаемость пористой среды, являются функциями давления (мы предполагаем движение изотермическим).

 В силу (23) имеем

 

 

исходя из предположения о слабой сжимаемости жидкости и пористой среды, можно считать относительные изменения величин r и m малыми и коэффициенты при dp/dt в предыдущих формулах постоянными:

(28)

 

 

Опытные данные показывают, что в реальных случаях 

 

(p-p₀)/К_m <<1;  (p-p₀)/К_r<<1 и т. д.

 

Подставляя второе уравнение (27) в первое и преобразуя получающее соотношение с учетом (28), находим, пренебрегая малыми величинами,

 

 

Если dp - характерное изменение давления, а L - характерная длина, то первый член в скобках имеет, очевидно, порядок dp/L², а второй (dp)²/L²К. Отсюда следует, что вторым членом в принятом приближении также следует пренебречь. Таким образом, имеем

(29)

 

где коэффициент

(30)

 

носит название коэффициента пьезопроводности. Уравнение (29) обычно называется уравнением упругого режима или, по предложению В.Н.Щелкачева, уравнением пьезопроводности. Оно совпадает с хорошо известным классическим уравнением теплопроводности.

2. Рассмотрим постановку  основных задач теории упругого  режима. Определим распределение  давления р в некоторой замкнутой области пространства D на протяжении промежутка времени 0 £ t£ T. Из теории уравнения теплопроводности известно, что если задать на границе Г области D линейную комбинацию давления и его производной по нормали к границе области

(31)

и задать начальное распределение  давления в области D

 

p(x,y,z,0)=φ(x,y,z) (32)

то существует распределение давления p(x, y, z, t), и при том единственное, удовлетворяющее уравнению (29), непрерывное в замкнутой области D, включая границу, и удовлетворяющее условия (31) и (32).

Сформулированная задача охватывает почти все основные задачи теории упругого режима фильтрации.

Рассмотрим подробнее  физический смысл тех или иных дополнительных условий.

Область, в которой  ищется распределение давления жидкости, обычно представляет собой пористый пласт, частично имеющий непроницаемые границы, а частично сообщающиеся с другими пластами и вскрывающими его скважинами. На непроницаемых границах должно удовлетворятся очевидное условие отсутствия потока - равенство нормальной компоненты скорости фильтрации нулю:

u_n=0,

откуда, используя закон Дарси, получаем 

(33)

 

На участках границы  с областями, в которых перераспределения  давления практически не происходит (“области питания”), давление можно считать постоянным и известным, так что

 

р|_Г = f(x, y , z). (34)

 

Такое условие справедливо, если, например, рассматриваемый пласт  граничит с высокопроницаемой областью, запас жидкости в которой весьма велик. Давление на границе такой области близко к среднему давлению в ней и ввиду ее большого объема мало зависит от процессов, происходящих в исследуемой области. Характерным примером является нефтяная залежь, окруженная со все сторон обширной водоносной областью.

При рассмотрении нестационарных процессов в залежи давление в  водоносной области можно считать постоянным. Следует, однако, отчетливо представлять себе, что понятие области постоянного давления не является абсолютным. Чем более длительный характер носят изменения давления, тем на большую область они распространяются.

Часть границы области фильтрации обычно образована стенками скважины или дренажных галерей. На этой части границы чаще всего задается либо давление жидкости, либо поток ее через стенки скважины. Выбор того или иного условия зависит от режима работы скважины или галереи. Могут быть и более сложные условия, когда задается связь с расходом жидкости. Задание потока жидкости согласно закону Дарси эквивалентно заданию нормальной производной от давления.

Условия этого типа выполняются  на тех участках границы, через которые может происходить обмен жидкости с соседними пластами через сравнительно слабопроницаемые перемычки. Если толщина перемычки D мала, а давление р¢ за ней можно считать постоянным, то расход вытекающей жидкости через участок перемычки площадью ds составит. Это количество жидкости должно быть равно

 

 

где u_n - нормальная проекция скорости фильтрации на рассматриваемом участке границы. Отсюда имеем

(35)

 

т.е. условия третьего рода.

Все три типа условий  являются частными случаями общего условия (31). Таким образом, задавая начальное распределение давления  указанные условия на границе, получаем однозначно разрешимую задачу.

Фазовые проницаемости  для нефти и воды 

    В породах нефтяных месторождений одновременно присутствуют две или три фазы. При фильтрации проницаемость породы для одной какой-либо фазы ниже ее абсолютной проницаемости. В основном фазовая проницаемость является функцией насыщенности пористой cреды. При этом на фильтрационные характеристики породы существенное влияние оказывают: строение порового пространства, смачиваемость поверхности каналов фильтрации, химический состав и свойства жидкости на границах раздела фаз. Совместное двух- или трехфазное течение изучают экспериментально и представляют в виде зависимостей относительных фазовых проницаемостей от водонасыщенности. Для определения значений эффективной проницаемости для нефти и воды при движении многофазных систем пользуются следующими соотношениями:

 

Эксперименты показали, что  фазовые проницаемости всегда меньше, чем абсолютные, даже если в пористой среде осуществляется однофазная фильтрация. Например, при остаточной водонасыщенности фазовая проницаемость для нефти ниже абсолютной. То же самое относится и к фазовой проницаемости для воды при остаточной нефтенасыщенности. 

    Существует несколько методов измерения относительных фазовых проницаемостей. Наиболее точным считается измерение фазовых проницаемостей при стационарной фильтрации нефти и воды. При этом воду и нефть (или ее аналог) нагнетают в образец с определенным соотношением расходов, добиваясь равенства их на входе и выходе при стабилизации перепада давления. Водонасыщенность пористой среды рассчитывают по формуле, предложенной специалистами ВНИИнефть:

 

или, если фазовые проницаемости  выразить через долю воды в потоке жидкости:

где f_в ,DP - текущие значения доли воды в потоке и перепад давления. Кроме того, водонасыщенность пористой среды можно определить, измеряя электрическое сопротивление, если предварительно для изучаемых образцов установлена зависимость параметра насыщения (отношение электрического сопротивления частично водонасыщенной породы к сопротивлению ее при 100%-ной водонасыщенности) от коэффициента водонасыщенности и, если, минерализация воды не меняется в процессе эксперимента.