Геометрическая интерпретация произвольных решений уравнения синус-гордона

         Замечание. Если в пространстве задан начальный репер Френе , , , то существует лишь одна полоса, удовлетворяющая условию леммы 2, для которой векторы , , , отвечающие значению s=s₀, совпадают с репером , , .

Л е м м  а 3. Если поверхность Ф, заданная уравнением = (x,y), имеет первую квадратичную форму вида:

I=ds²= dx²+2 cos z dx dy +dy²,

то асимптотические линии  на поверхности Ф образуют  чебышевскую сеть, сетевой угол z(x,y) которой удовлетворяет уравнению (1) и условию z(x,y) ≠ mπ,  m Z.

           В дальнейшем с асимптотическими  линиями поверхности будем связывать асимптотические полосы, площадки которых совпадают с касательными плоскостями к поверхности Ф в точках рассматриваемой асимптотической линии.

          Возникает вопрос: Можно ли найти в пространстве Е³ такую поверхность постоянной отрицательной кривизны К= -1, у которой сетевой угол z(x,y) сети асимптотических линий совпадает с регулярным решением уравнения (1), заданным на всей плоскости? Если это так, то найденную поверхность  вместе с сетью асимптотических линий и сетевым углом можно рассматривать как одну из возможных геометрических интерпретаций решений  уравнения синус-Гордона.

        Ответ на данный вопрос дает теорема 1.

        Теорема 1. Пусть функция  z=z(x,y) С⁴,где x,y R,   является  решении                                                ем уравнения (1).   Тогда   существует такая векторная функция  = (x,y)        С³, где x,y R,  что график этой  функции в области, где z≠ mπ,  m Z,     представляет собой поверхность постоянной отрицательной кривизны К=-1. Координатные  линии на указанной поверхности образуют асимптотическую сеть с сетевым углом z(x,y).

 

         Доказательство:

Пусть z(x,y) С⁴, где x,y R, ─ решение уравнения (1). Рассмотрим на оси Оy  функции k*₁(y)=z_y(0,y) и k*₂(y)= -1, соответственно. Согласно лемме 2, существует асимптотическая полоса А c базовой кривой λ₁, кривизна и кручение которой  равны k*₁(y) и k*₂(y). Эту полосу зафиксируем в пространстве.  Обозначим  через Т=( (у), (у), (у)) основной репер Френе полосы А. В каждой точке базовой кривой λ₁ полосы А построим следующим образом начальный репер Френе Т₀=( (y), (y), (y)): вектор  (y) располагается  в площадке полосы А и составляет с вектором (у) угол, равный z(0,y) (отсчет углов производится от вектора (у) по часовой стрелке, если смотреть с конца вектора (y)); вектор (y)= (у); вектор (y) определяется так, чтобы  ортонормированная тройка  , , была правой.

Рассмотрим теперь следующие функции :

                                 k₁(x,y)=-z_x(x,y), k₂(x,y)=1.

Согласно лемме 2 и  замечанию, при любом фиксированном y однозначно определена асимптотическая полоса В, k₁(x,y) и k₂(x,y) будут соответственно кривизной и кручением базовой кривой λ₂, длина дуги которой равна x. Основной репер Френе  полосы В при x=0 и заданном y совпадает с начальным репером Френе Т₀=( (y), (y), (y)).

Обозначим через = (x,у), = (x,у), = (x,у) реперы Френе полос A, B с базовыми  кривыми λ₁, λ₂.

Совокупность базовых кривых λ₁, λ₂ построенных полос А и В при специально введенной параметризации образует поверхность Ф, заданную векторной функцией = (x,y). При этом параметризация строится следующим образом: базовые линии λ₁, λ₂ являются  координатными линиями.

Осталось доказать, что  найденная поверхность Ф представляет собой поверхность постоянной отрицательной кривизны К= -1. Для этого  найдем первую квадратичную форму  поверхности Ф .

Так как базовая кривая λ₂ является координатной линией поверхности Ф, заданной векторной функцией = (x,y)  и x ─ длина дуги кривой λ₂, то согласно первой формуле Френе:

                                                 =                                                               (24)

Найдем выражение для  _y. Существование  _y  следует из  представления и возможности дифференцирования интеграла по параметру под знаком интеграла. Согласно лемме 1, для рассматриваемых асимптотических полос и базовой кривой λ₂, длина дуги которой равна x, формулы (23) примут вид

                                   ,     ,    .                              (25)

Дифференцируя эти соотношения  по y, учитывая при этом, что z(x,y) ─ решение уравнения (1), т.е. получаем

                                                                            (26)

        Система (26) может рассматриваться как система обыкновенных дифференциальных уравнений  относительно неизвестных функций  , , .

       Функции 

                       ,  ,                    (27)

образуют решение системы (26).

        Так как , то из формул (24) и (27) следует, что при фиксированном у функция _y удовлетворяет следующему обыкновенному дифференциальному уравнению:

.

  Этому  уравнению  удовлетворяет функция

                                                                                          (28)

 

Из (24) и (28) следует, что для построенной векторной функции  = (x,y) справедливы соотношения

                                                      

                                                                                                       (29)

                                            

Тогда первая квадратичная форма поверхности Ф, заданная векторной функцией = (x,y), примет вид:

         I=                   (30)

Из формул (29) вытекает,  что гауссова кривизна поверхности Ф равна -1.

Согласно лемме 3, базовые кривые λ₁, λ₂ асимптотических полос А и В на поверхности Ф   образуют  чебышевскую сеть, сетевой угол z(x,y) которой удовлетворяет уравнению (1) и условию z(x,y) ≠ mπ,  m Z.

Теорема доказана.

Данная теорема показывает, что 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература

 

1.Ефимов Н.В. Высшая  геометрия/Н.В. Ефимов. – М.: Наука,1971.– с.576

2.Курант Р. Методы математической физики/Р.Курант, Д.Гильберт.  –   

   М.: Наука, 1951. –  с.620

3.Погорелов А.В. Дифференциальная  геометрия/А.В.Погорелов. –  

   М.: Наука,1974. –  с.176

4.Позняк Э.Г. Дифференциальная геометрия: первое знакомство/

   Э.Г. Позняк, Е.В.  Шикин – М.: Едитотриал УРСС, 2003. – с.408

 5.Позняк Э.Г. Уравнение синус-Гордона: геометрия и физика/

   Э.Г.Позняк, А.Г.Попов. – М.: Знание, 1991. – с.48

6.Позняк Э.Г. Геометрическая интерпретация регулярных решений

   уравнения z_xy = sin z// Дифференциальные уравнения. Т.15. – 1979.

   – № 7. –  с.1332-1336.