Геометрия Лобачевского и её приложения

Обозначим через точку D, точку пересечения отрезков ВС и B C . Так как C = C' и C' = С , то C= С , что невозможно, поскольку угол С — внешний относительно треугольника CC D.

Аналогично трактуются и другие возможные случаи.

Теорема доказана, поскольку сделанное допущение привело к противоречию.

Из теоремы вытекает, что в геометрии Лобачевского не существует треугольника, подобного данному треугольнику, но не равного ему. [9]

Таким образом, в геометрии Лобачевского подобных фигур не существует, треугольник вполне определяется своими тремя углами, для определения отрезка не надо задавать другого отрезка, достаточно указать только геометрическое построение, при помощи которого может быть получен определяемый отрезок (например, как сторона равностороннего треугольника с углом, получаемым из прямого угла при помощи того или иного построения), единица длины может быть задана некоторым геометрическим построением.

Следовательно в геометрии Лобачевского мы имеем более тесную аналогию в вопросах измерения отрезков и углов, чем в евклидовой геометрии.

 

 

2.5 Области применения геометрии Лобачевского

Н.И. Лобачевский уже в первой работе по геометрии показал, опираясь на впервые измеренные астрономами в те годы годичные параллаксы звезд, что если в физическом пространстве реализуется его геометрия, то в пределах Солнечной системы отклонения от евклидовой геометрии будут на несколько порядков меньше возможных ошибок измерений. Таким образом, первым приложением геометрии Лобачевского явилось обоснование практической точности евклидовой геометрии.

Н. И. Лобачевский применял свою геометрию в математическом анализе. Переходя от одной системы координат к другой в своем пространстве, он нашел значения около 200 различных определенных интегралов. Другие математические приложения были найдены А. Пуанкаре, который успешно применял геометрию Лобачевского при разработке теории автоморфных функций.

Значение геометрии Лобачевского для космологии было выявлено А. А. Фридманом. В 1922 он нашел решение уравнения Эйнштейна, из которого следовало, что Вселенная расширяется с течением времени. Это заключение впоследствии было подтверждено наблюдениями Э. Хаббла, обнаружившего разбегание удаленных туманностей. Метрика, найденная А.А. Фридманом, дает при фиксированном времени пространство Лобачевского. Пространство скоростей специальной теории относительности является пространством Лобачевского.

Геометрия Лобачевского с успехом используется при изучении столкновений элементарных частиц и при разработке других вопросов ядерных исследований.

Зрительное (перцептивное) восприятие близких областей пространства человеком порождает эффект обратной перспективы, объясняемый тем, что геометрия этих областей перцептивного пространства близка к геометрии Лобачевского с радиусом кривизны около 15 м.

Создание геометрии Лобачевского явилось важным этапом в развитии учения о возможных свойствах пространства. Особенное значение это имело для оснований математики, т. к. принципы современного аксиоматического метода вырабатывались в значительной степени благодаря появлению геометрии Лобачевского.

Геометрия Лобачевского находит применение также в теории чисел, в её геометрических методах, объединённых под названием «геометрия чисел». Была установлена тесная связь геометрии Лобачевского с кинематикой специальной (частной) теории относительности. Эта связь основана на том, что равенство, выражающее закон распространения света:

 

x + y + z = c t ,         (10)

 

при делении на t , даёт:

vx + vy + vz = c — уравнение сферы в пространстве с координатами vx, vy, vz — составляющими скорости по осям х, у, z (в «пространстве скоростей»). Преобразования Лоренца сохраняют эту сферу и, т. к. они линейны, переводят прямые пространства скоростей в прямые. Следовательно, согласно модели Клейна, в пространстве скоростей внутри сферы радиуса с, т. е. для скоростей, меньших скорости света, имеет место геометрия Лобачевского.

 Замечательное приложение геометрия  Лобачевского нашла в общей  теории относительности. Если считать  распределение масс материи во  Вселенной равномерным (это приближение  в космических масштабах допустимо), то оказывается, что при определённых  условиях пространство имеет  геометрия Лобачевского. Таким образом, предположение Лобачевского о  его геометрии как возможной  теории реального пространства  оправдалось. [11]

Таким образом можно сделать вывод о том, что неевклидова геометрия представляет большой интерес не только благодаря толкованиям систематической и аксиоматической природы, которые она допускает, но также и из-за того, что она тесно связана с другими областями наук, в частности с экономической сферой общества, так, что при их рассмотрении она является полезным орудием исследования и находит себе в этих областях плодотворные применения [3].

 

3 Применение геометрии Лобачевского

3.1 Практическое применение геометрии Лобачевского

Задача 1. Доказать, что сумма углов треугольника не может быть больше двух прямых.

Доказательство – от противного: предположим, что сумма углов треугольника АВС равна 2d.

 

Рисунок 9 – Иллюстрация к задаче 1

 

 

Пусть ВАС - наименьший угол этого треугольника. (рис.9) Проводим медиану AD противоположной стороны и откладываем отрезок DB1, равный этой медиане. Из равенства треугольников ABD и B1DC выводим, что DB1C=DAB, DCB1=DBA. Таким образом, в треугольнике АВ1С (назовем его первым выводным треугольником) сумма трех углов равна также 2d. Из первого выводного треугольника получаем аналогичным построением второй выводной: берем наименьший угол, проводим медиану противолежащей стороны и т.д. В полученном таким образом втором выводном треугольнике сумма трех углов равна 2d. Продолжая этот процесс далее, получим ряд выводных треугольников; в n-м треугольнике сумма углов равна 2d. Если взять n достаточно большим, то. третий угол этого треугольника будет больше 2d; мы получаем противоречие.

Задача 2. Доказать, что если в каком-нибудь треугольнике сумма углов равна 2d, то это имеет место и во всяком другом треугольнике.

Доказательство. Обозначим сумму углов треугольника АВС через SАВС (рис.10). Пусть в треугольнике АВС сумма углов равна 2d; тогда два угла, например А и С, острые, и нетрудно показать, что высота ВD, опущенная из вершины В, пройдет внутри этого треугольника, т.е. разобьет его на два прямоугольных треугольника. Учитывая, что SABC=SABD+SDBC-2d, и принимая во внимание предыдущую теорему, выводим, что SABC=SABD=2d.

Покажем теперь, что в каждом прямоугольном треугольнике сумма углов равна 2d. Для этого возьмем треугольник ABD и дополним его до прямоугольника, пристроив к нему равный ему треугольник AEB с прямым углом в вершине Е и катетами АЕ=BD и EB=AD. В этом прямоугольнике AEBD сумма углов равна 4d. Откладывая сторону AD n раз прямой AY и прикладывая затем один к другому прямоугольники, равные AEBD, построим прямоугольник ALMK, составленный из n2 прямоугольников, равных AEBD. В прямоугольнике ALMK сумма углов равна 4d.

Рисунок 10 – Иллюстрация к задаче 2

 

Диагональ AM разбивает этот прямоугольник на два прямоугольных треугольника, в каждом из которых сумма углов равна 2d (на основании теоремы 1). Принимая n достаточно большим, получим прямоугольный треугольник AMK, у которого катеты будут больше некоторого заданного прямоугольного треугольника PQR. Откладывая отрезки QT=KM, QS=AK, получим прямоугольный треугольник STQ, равный прямоугольному треугольнику AMK и вмещающий в себе заданный прямоугольный треугольник PQR. Отрезок PT разбивает STQ на два треугольника, и так как SSQT=SSPT+SPTQ-2d, то SSPT+SPTQ=4d, откуда (на основании той же теоремы) SSPT=SPTQ=2d.

Применяя то же рассуждение к треугольнику PTQ и отрезку RP, устанавливаем, что SPQR=2d.

Итак, в каждом прямоугольном треугольнике сумма углов равна 2d. Но мы видели выше, что каждый треугольник может быть разбит на два прямоугольных. Учитывая соотношение SABC=SABD+SDBC-2d , получаем, что в любом треугольнике сумма углов равна 2d.

Итак, возможны только два предположения: или во всех треугольниках сумма углов равна 2d, или же во всех меньше 2d.

Теперь мы установим связь вопроса о сумме углов треугольника с постулатом параллельности.

Задача 3. Доказать, что прямая сохраняет признак параллельности во всех своих точках.

Доказательство. Пусть прямая ВВ’ параллельна в точке Р прямой АА’ (рис. 11). Рассмотрим точку Q, лежащую от точки Р в сторону параллельности, т.е. по ту же сторону от прямой PR, соединяющей Р с некоторой точкой R на АА’, что луч RA’. Возьмем какой-нибудь луч QQ’, проходящий внутри угла B’QR, обращенного своим отверстием в сторону параллельности, и докажем, что он пересекает луч RA’. Для этого соединим какую-нибудь его точку Q’ c P; луч PQ’ пересечет RA’ в некоторой точке S ( так как прямая ВВ’ параллельна прямой АА’ в точке Р). Луч QQ’, пересекающий сторону PS треугольника RPS, не может пересечь отрезка PR (так как тогда он проходил бы внутри смежного угла PQR) и не проходит ни через одну из вершин этого треугольника. Поэтому он должен пересечь отрезок PS. Таким образом, теорема доказана для того случая, когда точка Q расположена от точки Р в сторону параллельности.

 

 

Рисунок 11 – Иллюстрация к задаче 3

 

Рассмотрим теперь тот случай, когда Q лежит в обратном направлении от точки Р. Соединим луч QQ’, проходящий внутри угла BQR. Этот луч пересечет отрезок РR в некоторой точке S. Продолжая луч QQ’ по другую сторону точки Q, берем на этом продолжении точку Т. Прямая ТР проходит внутри угла RPB’, т.е. пересекает RА’ в точке U. Итак, луч QQ’ пересекает сторону RP треугольника RPU, не пересекает отрезок PU и не проходит ни через одну из его вершин, т.е. пересекает отрезок RU. Таким образом, признак параллельности имеется в точке Q.

После того как доказана эта теорема, мы можем внести упрощение в терминологию теории параллельности: при указании. что прямая ВВ’ параллельна АА’, не надо задавать той точки прямой ВВ’, в которой имеется факт параллелизма.

Задача 4. Доказать, что для каждого острого угла существует прямая, перпендикулярная к одной его стороне и параллельна другой.

Доказательство. Рассмотрим перпендикуляры, поставленные к стороне OQ острого угла POQ; среди них, конечно, найдутся такие, которые пересекают сторону ОР (достаточно опустить из какой-нибудь точки луча ОР перпендикуляр на OQ)(рис.12а). Покажем, что существует бесчисленное множество перпендикуляров, не пересекающих ОР.

Докажем это от противного, предполагая, что все перпендикуляры к стороне OQ пересекают ОР

Рисунок 12а – Иллюстрация к задаче 4(все перпендикуляры к ОQ пересекают ОР)

 

Рассмотрим на луче OQ ряд точек А, А1, А2,…, Аn такой, что:

АА1 =ОА, А1 А2 =ОА1, А2 А3 =ОА2, …, Аn-1An=OAn-1. Перпендикуляры, поставленные в точках А1, А2, …, Аn к стороне OQ, согласно предположению, пересекут луч ОР в точках В1,В2,В2, …,Вn. Обозначая дефект треугольника ОАВ через D, имеем:

 

DOA1B1 =DOBA1 +DBA1B1 =2DOAB+DBA1B1>2D,

DOA2B2 =DOB1A2 +DB1A2B2 =2DOA1B1 +DB1A2B1 >22D,

.....................................................................,

DОАnВn=DOBn-1An+DBn-1AnBn=2DOAn-1Bn-1+DBn-1AnBn >2nD.

 

Таким образом, увеличивая n, мы можем получить треугольник ОАnВn, у которого дефект превышает любое число, а это невозможно, так как дефект любого треугольника <2d.

Среди перпендикуляров к стороне OQ существуют не пересекающие сторону ОР. Рассмотрим один из них – MN.(рис. 12б)

 

Рисунок 12б - Иллюстрация к задаче 4(не все перпендикуляры к ОQ пересекают ОР)

 

 

Если он параллелен ОР, теорема доказана. В противном случае разбиваем точки отрезка ОМ на два класса: к первому классу отнесем те точки, в которых перпендикуляры пересекают ОР, ко второму – те, в которых перпендикуляры не пересекают ОР. Ясно, что левее каждой точки первого класса лежат только точки первого же класса, т.е. классы лежат раздельно: второй класс лежит правее первого; таким образом, это – классы Дедекинда. Применяя аксиому Дедекинда, получаем точку D, разделяющие эти классы.

Покажем,что перпендикуляр DE к OQ параллелен ОР. Прежде всего этот перпендикуляр не может пересечь ОР, так как, если бы он пересекал ОР в точке F, то, опуская из точки G, лежащей на ОР правее F, перпендикуляр GJ на OQ, мы получили бы точку J первого класса, лежащую правее точки D. Остается показать, что любой луч DK, проходящий внутри угла ODE, пересекает ОР. Опуская из какой-нибудь точки К этого луча DK на OQ перпендикуляр KL, получим точку L первого класса, т.е. KL пересекает ОР в некоторой точке R. Прямая DK, пересекающая сторону LR треугольника ORL, должна пересечь отрезок OR.

Таким образом, перпендикуляр DE действительно параллелен ОР.

 

 

3.2 Применение геометрии Лобачевского в экономической сфере

Геометрия Лобачевского нашла применение во многих областях наук. В том числе её используют в экономике, при вычислении расстояния перевозок товаров.

Задача 5.Товарный корабль отправляется из пункта А. Ему необходимо доставить часть груза в пункт В, а затем, изменив направление на 60 градусов, доставить оставшуюся часть товара в пункт С. Требуется найти расстояние от пункта А до пункта С, если известно, что от пункта А до пункта В корабль должен преодолеть расстояние в 1800 миль, а от пункта В до пункта С – 2700 миль (по поверхности земного шара).