Золотое сечение

 Звездчатый  пятиугольник называется пентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком.

В настоящее  время существует гипотеза, что пентаграмма  – первичное понятие, а «золотое сечение» вторично. Пентаграмму никто не изобретал, ее только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пяти-лепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды. Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Поэтому естественно предположить, что геометрический образ этих объектов – пентаграмма – стала известна раньше, чем «золотая» пропорция.

 

 

 

                        

 

 

 

                    4.Второе золотое сечение.

Болгарский  журнал «Отечество» (№10, 1983 г.) опубликовал  статью Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», которое вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44 : 56.

Такая пропорция  обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтального формата.

Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр СD. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией AD. Точка Е делит отрезок AD в отношении 56 : 44.

 

 

 

 

На рисунке  показано положение линии второго  золотого сечения. Она находится  посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом было доказано, что разделить отрезок в крайнем и среднем отношении можно не единственным способом.

 

 

                    5. "Золотые" фигуры.

 

5.1.Золотой прямоугольник:

 Если построить квадрат  со стороной АВ=а, найти середину М отрезка АВ и провести дугу окружности радиусом МС с центром в точке М до пересечения с продолжением стороны АВ в точке Е, то точка В разделит отрезок АЕ в крайнем и среднем отношении.

 Чтобы убедиться в  этом, заметим, что по теореме  Пифагора

                     МС²=а²+(а/2)²=5а²/4

                                                                                          

 В силу  чего

                     АЕ=а/2 +МЕ=(√5+1)а/2=φАВ

 

Прямоугольник АЕFD со сторонами АЕ=φАD называется золотым прямоугольником. Четырехугольник АВСD - квадрат. Нетрудно видеть, что прямоугольник ВЕFС также золотой, поскольку BC=a=φВЕ. Это обстоятельство сразу наводит на мысль о дальнейшем разбиении прямоугольника ВЕFС.

Можно ли считать, что прямоугольник  с отношением сторон, равным φ, выглядит изящнее, чем прямоугольники с отношением сторон, скажем, 2:1, 3:2 или 5:7? Чтобы ответить на этот вопрос, были проведены специальные эксперименты. Результаты их не вполне  убедительны, но все же свидетельствуют о некотором предпочтении, отдаваемом золотому сечению. Впрочем, может ли прямоугольник сам по себе быть захватывающе прекрасным или отталкивающе безобразным?

 

5.2.Золотой треугольник:

Проводим прямую АВ. От точки А

  откладываем на ней три раза отрезок О

 произвольной  величины, через

 полученную  точку Р проводим     перпендикуляр  к линии

 АВ, на перпендикуляре  вправо и влево от точки  Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d₁ соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd₁

откладываем на линию Ad₁, получая точку С. Она разделила линию Ad₁ в пропорции золотого сечения. Линиями Ad₁ и dd₁ пользуются для построения «золотого»

прямоугольника.

 

 

 

      

       5.3. Золотой пятиугольник; построение Евклида.

Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой правильный пятиугольник – выпуклый и звездчатый (рис. 5).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для построения пентаграммы  необходимо построить  правильный пятиугольник.

 Пусть О - центр окружности, А - точка на окружности и  Е - середина отрезка ОА. Перпендикуляр  к радиусу ОА, восстановленный  в точке О, пересекается с  окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

 Каждый конец пятиугольной  звезды представляет собой золотой  треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

 Есть и  золотой кубоид- это прямоугольный  параллелепипед с ребрами,   имеющими длины 1.618, 1 и 0.618.

 Теперь рассмотрим доказательство, предложенное Евклидом в «Началах».

Посмотрим теперь, как Евклид использует золотое сечение для того, чтобы построить угол в 72 градуса – именно под таким углом видна сторона правильного пятиугольника

из центра описанной окружности. Начнем с

 отрезка АВЕ, разделенного в среднем и

крайнем отношении точкой В. Проведем далее дуги окружностей с центрами в точках В и Е и радиусах АВ, пересекающиеся в точке С. Чуть ниже докажем, что АС=АЕ, а пока примем это на веру.

Итак, пусть АС=АЕ. Обозначим через a равные углы ЕВС и СЕВ. Так как АС=АЕ, то угол АСЕ также равен a. Теорема о том, что сумма углов треугольника равна 180 градусов, позволяет найти угол ВСЕ: он равен 180-2a, а угол ЕАС - 3a - 180. Но тогда угол АВС равен 180-a. Суммируя углы треугольника АВС получаем,

    180=(3a -180) + (3a-180) + (180 - a)

                   Откуда 5a=360, значит a=72.

Итак, каждый из углов при основании треугольника ВЕС вдвое больше угла при вершине, равного 36 градусов. Следовательно, чтобы построить правильный пятиугольник, необходимо лишь провести любую окружность с центром в точке Е, пересекающую ЕС в точке Х и сторону ЕВ в точке Y: отрезок XY служит одной из сторон вписанного в окружность правильного пятиугольника; Обойдя вокруг всей окружности, можно найти и все остальные стороны.

Докажем теперь, что АС=АЕ. Предположим, что вершина С соединена отрезком прямой с серединой N отрезка ВЕ. Заметим, что поскольку СВ=СЕ, то угол СNЕ прямой. По теореме Пифагора:

                               CN²      = а² – (а/2j) ²= а² (1-4j ²)

Отсюда имеем (АС/а) ²  = (1+1/2j) ²  + (1-1/4j ²) = 2+1/j = 1 + j =j ²

Итак, АС =  jа = jАВ = АЕ, что и требовалось доказать            

5.4.Спираль Архимеда.

 

Последовательно отсекая  от золотых прямоугольников квадраты до бесконечности, каждый раз соединяя противоположные точки четвертью  окружности, мы получим довольно изящную  кривую. Первым внимание на неё обратил  древнегреческий ученый Архимед, имя которого она и носит. Он изучал её и вывел уравнение этой спирали.

 

 

 

 

В настоящее  время спираль Архимеда широко используется в технике.

                       

                              6.Числа Фибоначчи.

 

С золотым сечением косвенно связано имя итальянского математика Леонардо из Пизы, который известен больше по своему прозвищу Фибоначчи (Fibonacci - сокращенное filius Bonacci, то есть сын Боначчи)

 В 1202г. им была  написана книга "Liber abacci", то есть "Книга об абаке" . "Liber abacci" представляет собой объемистый труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший заметную роль в развитии математики в Западной Европе в течение нескольких следующих столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с индусскими ("арабскими") цифрами.

 Сообщаемый в книге  материал поясняется на большом  числе задач, составляющих значительную  часть этого трактата.

 Рассмотрим одну такую  задачу:

    "Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается?

Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, дабы узнать, сколько пар кроликов родится в течение этого года, если природа кроликов такова, что  через месяц пара кроликов воспроизведет другую, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения"

 

Месяцы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Пары кроликов	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377

 

                                                

 

 

Перейдем теперь от кроликов к числам и рассмотрим следующую числовую последовательность:

 

                                            u₁, u₂ … u_n

 

в которой каждый член равен  сумме двух предыдущих, т.е. при всяком n>2

 

                                             u_n=u_n-1+u_n-2.

 

 Данная последовательность асимптотически (приближаясь все медленнее и медленнее) стремится к некоторому постоянному соотношению. Однако, это соотношение иррационально, то есть представляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно.

Если какой-либо член последовательности Фибоначчи  разделить на предшествующий ему (например, 13:8), результатом будет величина, колеблющаяся около иррационального  значения 1.61803398875... и через раз то превосходящая, то не достигающая его.

 

Асимптотическое поведение последовательности, затухающие колебания ее соотношения около  иррационального числа Ф могут стать

более понятными, если показать отношения нескольких пеpвых членов последовательности. В этом примере приведены отношения второго члена к первому, третьего ко второму, четвертого к третьему, и так далее:

 

1:1 = 1.0000, что меньше фи на 0.6180

 

2:1 = 2.0000, что больше фи на 0.3820

 

3:2 = 1.5000, что меньше фи на 0.1180

 

5:3 = 1.6667, что больше фи на 0.0486

 

8:5 = 1.6000, что меньше фи на 0.0180

 

По мере продвижения по суммационной последовательности Фибоначчи  каждый новый член будет делить следующий  со все большим и большим приближением к недостижимому Ф.

 

Человек подсознательно ищет Божественную пропорцию: она нужна для удовлетворения его потребности в комфорте.

 

Пpи делении любого члена  последовательности Фибоначчи на следующий  за ним получается просто обратная к 1.618 величина (1 : 1.618=0.618). Hо это тоже весьма необычное, даже замечательное явление. Поскольку пеpвоначальное соотношение – бесконечная дpобь, у этого соотношения также не должно быть конца.

 

При делении каждого числа  на следующее за ним через одно, получаем число 0.382

 

1:0.382=2.618

 

Подбирая таким образом  соотношения, получаем основной набор коэффициентов Фибоначчи: 4.235 ,2.618 ,1.618,0.618,0.382,0.236.Упомянем также 0.5.Все они играют особую роль в природе и в частности в техническом анализе.

 

Тут необходимо отметить, что  Фибоначчи лишь напомнил свою последовательность человечеству, так как она была известна еще в древнейшие времена под названием Золотое сечение.

Золотое сечение, как мы видели, возникает в связи с правильным пятиугольником, поэтому и числа  Фибоначчи играют роль во всем, что  имеет отношение к правильным пятиугольникам - выпуклым и звездчатым.

 Ряд Фибоначчи  мог бы остаться только математическим  казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого  деления в растительном и в  животном мире, не говоря уже  об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления.  Ученые продолжали активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого  сечения. Ю. Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10-ю проблему Гильберта (о решении Диофантовых уравнений). Возникают изящные методы решения ряда кибернетических задач (теории поиска, игр, программирования) с использованием чисел Фибоначчи и золотого сечения. В США создается даже Математическая Фибоначчи-ассоциация, которая с 1963 года выпускает специальный журнал.