Применение метода координат к решению евклидовых задач на плоскости

 

 

                                                              Содержание

 

1.Метод координат на плоскости 4

  1.1 Числовая ось. Величина направленного отрезка…………………………….………….4-6

  1.2 Проекция точки на ось 6-7

  1.3 Декартова система координат на плоскости 7-8

  1.4 Расстояние между точками на плоскости 8-9

  1.5 Деление отрезка в данном отношении на плоскости 9-10

  1.6 Уравнение прямой на плоскости 10-12

  1.7 Уравнения кривых на плоскости………………………………………………………….12

2.Применение метода координат к решению задач на плоскости……………………….….…..13

Литература …….15

 

 

1. Метод координат на  плоскости

1. Числовая ось. Величина направленного отрезка

 

Положение точки на прямой можно  задать действительным числом – координатой точки. Для этого нужно выбрать на прямой произвольную точку (начало координат), положительное направление и единицу длины, т.е. задать систему координат на прямой.

Прямая, на которой выбрано определенное направление, называется осью. Числовая ось – это прямая, на которой  выбрано начало координат, положительное направление и единица длины.

Начало координат обычно обозначатся  буквой  (первая буква латинского слова  – начало). Точка  делит прямую на две полупрямых. Одна из них (произвольно выбранная) называется положительной полуосью, другая – отрицательной полуосью. Положительная полуось отмечается стрелкой. Обозначим через  положительную полуось, через  – отрицательную полуось. Положительная полуось задает положительное направление на прямой.

Координатой (абсциссой) точки   на числовой оси называется число , которое определяется следующим образом:

, если    ;

, если    .

, если   совпадает с .

Здесь  – расстояние точки  от начала координат . При этом пишут Если координату обозначают буквой , то числовая ось обозначается .Система координат на прямой устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками прямой и действительными числами. Для установления такого соответствия необходимо использовать все действительные числа, в том числе и иррациональные. Рассмотрим, например, окружность с центром в начале координат и радиусом, равным стороне квадрата со стороной 1. Она пересечет ось координат в точках , , т.е. в точках с иррациональными координатами.

Действительными числами можно  задавать не только точки, на и векторы (направленные отрезки) оси.

Рассмотрим вектор  на оси .

Величиной вектора   на оси  называется число , которое определяется следующим образом:

        , если направление  совпадает с направлением оси ;

, если направление   противоположно направлению оси .

Здесь  – модуль (длина) вектора .

Величину вектора можно выразить через координаты его начала и  конца.

Если вектор  на оси  задан координатами начала  и конца , то его величина равна разности координат конца и начала: .

Доказательство:

   Существует 6 порядков, в которых могут быть расположены точки ,  и  на оси  (не считая случаев, когда две или все три точки совпадают):

, , , , , .

Рассмотрим, например, случаи  и .

1)случай: точки расположены в порядке . Тогда

.

2)случай: точки расположены в порядке . Тогда

.

Но  , . Следовательно, .

Аналогичным способом можно доказать формулу в остальных четырех  случаях.Зная величину вектора , можно найти расстояние  между точками  и , .

1.2 Проекция точки на ось

Для того, чтобы ввести понятие  координат точек и координат  векторов на плоскости, нужно сначала  дать определение проекции точки  на ось.

Проекцией точки   на ось  называется точка  пересечения оси с прямой , перпендикулярной  (рис. 1).

Рис. 1.

Рис. 2.

 

Рассмотрим вектор  и ось , расположенные в одной плоскости (рис. 2). Проекцией вектора  на ось  называется величина вектора  от проекции  точки  до проекции  точки  на ось : Пр_l , если направление  совпадает с направлением , Пр_l , если направление  противоположно направлению .

Проекцию вектора   на ось  обозначают .

Вектор   называют составляющей вектора  в направлении оси . Поэтому можно сказать, что проекция вектора на ось – это величина его составляющей в направлении данной оси.

1.3 Декартова система координат  на плоскости

Декартова прямоугольная система  координат   на плоскости задается двумя взаимно перпендикулярными осями координат с общим началом:  – ось абсцисс,  – ось ординат (рис. 3).Радиус-вектором точки  относительно декартовой прямоугольной систмы координат  называют вектор .

Координатами точки   относительно декартовой прямоугольной системы координат  называют проекции ее радиус-вектора на оси координат:

,  или , ,где  – проекция точки  на ось ,  – проекция точки  на ось .Координаты точки  можно определить также как координаты ее проекций  на оси координат , .

Действительно,  – это величина вектора  на оси , т.е. , если  принадлежит положительной полуоси , или  в противоположном случае. Аналогично,  – величина вектора  на оси . Следовательно, , .

Рис. 3.

Координаты точки записывают рядом  с ее обозначениями в скобках: . Координата  называется абсциссой, координата  – ординатой точки . Задать точку – значит задать ее координаты, найти точку – значит найти ее координаты. Координатами вектора  относительно декартовой прямоугольной системы координат Оху называют его проекции на оси координат:

= Пр_х , = Пр_у  или , .

При этом пишут  = . Можно сказать также, что координаты вектора – это его составляющие в направлении осей координат.

Из определения вектора на ось  и теоремы Пифагора следует, что  модуль вектора выражается через  его координаты формулой

1.4 Расстояние между точками  на плоскости

Найдем расстояние d между точками М₁ (х₁, у₁) и М₂ (х₂, у₂), заданными своими координатами относительно декартовой прямоугольной системы координат Оху.

Пусть . Тогда . Но а_х = х₂–х₁, а_у = у₂–у₁. Используя формулу для модуля вектора, получаем

Таким образом

расстояние между точками на плоскости.

Если отрезок М₁М₂ параллелен оси Ох, то у₁ = у₂, откуда следует, что .

 

1.5 Деление отрезка в данном  отношении на плоскости

Пусть  – начало отрезка;  – конец отрезка;  – ось, проходящая через , ;  – точка оси , отличная от .Отношением, в котором точка  делит отрезок с началом в точке  и концом в точке , называется число , которое определяется следующим образом:

, где

– величина направленного отрезка   оси ,

– величина направленного отрезка   оси .

       Число положительно  в том, и только в том случае, когда точка  лежит между  и . В этом случае  является отношением расстояния точки  от  к ее расстоянию от .

Предположим, что известны координаты начала отрезка  , координаты конца отрезка  и отношение , в котором точка  делит отрезок. Найдем координаты точки .

Пусть  – проекция ,  – проекция ,  – проекция  на ось . По теореме Фалеса, параллельные прямые, пересекающие стороны угла, делят их на пропорциональные части: .

Равенство сохранится, если заменить длины отрезков величинами соответствующих направленных отрезков: .Действительно,  лежит между ,  в том, и только в том случае, когда  лежит между , .

                    Но , .

 

Таким образом,

; аналогично, .

Из полученных уравнений можно  найти  :

, .

Если  , то  – середина отрезка . Обозначим ее координаты . Тогда

, .

1.6 Уравнения прямой на плоскости

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого  порядка Ах + Ву + С = 0 ,причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

     В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

•  C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

•  А = 0, В ≠0, С ≠0  { By + C = 0} – прямая параллельна оси Ох

•  В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

•  В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

•  А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

    Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

 

 

1.6.1.Уравнение  прямой по точке и вектору  нормали

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.

Если  общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить  , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом .

1.6.3.Уравнение прямой по точке  и направляющему вектору

        По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.

Определение. Каждый ненулевой вектор  ( α₁ , α₂ ), компоненты которого удовлетворяют условию А α₁ + В α₂ = 0 называется направляющим вектором прямой.

1.6.4.Уравнение прямой в отрезках

    Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С,   получим:   или , где

     Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

1.6.5.Нормальное уравнение прямой

       Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на чло  , которое называется нормирующем множителем , то получим

xcosφ + ysinφ - p = 0 –нормальное уравнение  прямой. Знак ± нормирующего множителя  надо выбирать так, чтобы μ  * С < 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

1.6.6.Угол между прямыми на  плоскости

 

Определение. Если заданы две прямые y = k₁ x + b₁ , y = k ₂x + b₂ , то острый угол между этими прямыми будет определяться как .Две прямые параллельны, если k₁ = k₂ . Две прямые перпендикулярны, если k₁ = -1/ k₂ .

 

Теорема. 

     Прямые Ах + Ву + С = 0 и А ₁ х + В₁ у + С₁ = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А₁ = λА, В₁ = λВ. Если еще и С₁ = λС, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.

 

 

1.6.7.Уравнение  прямой, проходящей через данную  точку перпендикулярно данной  прямой

Определение. Прямая, проходящая через точку М₁ (х₁ , у₁ ) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:

1.6.8.Расстояние от точки до  прямой

Теорема. Если задана точка М(х₀ , у₀ ), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

.

Доказательство. Пусть точка М ₁(х ₁, у ₁) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М₁ :

(1)

Координаты x₁ и у₁ могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы –  это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М ₀ перпендикулярно заданной прямой. Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x ₀ ) + B(y – y₀ ) + Ax₀ + By₀ + C = 0,то, решая, получим:

 

 

Подставляя эти выражения в  уравнение (1), находим:

Теорема доказана.

1.7 Уравнения кривых на плоскости

Рассмотрим кривую L на плоскости, на которой выбрана декартова прямоугольная система координат Oxy.

Уравнение f(x, y) = 0 относительно декартовых прямоугольных координат x, y называется уравнением кривой L, если ему удовлетворяют координаты тех, и только тех точек, которые принадлежат кривой L.

Параметрические уравнения  кривой.

Если x, y заданы как функции одной и той же переменной , определенные в некотором промежутке :

,

, ,

то при изменении t в этом промежутке точка M(x, y) описывает кривую. (Условия, которым должны удовлетворять функции x(t), y(t), формулируются в математическом анализе). Переменная t называется параметром, а уравнения, выражающие x, y через t – параметрическими уравнениями кривой. В механике роль параметра t часто играет время, а уравнения являются уравнениями движения точки.

Так как x, y заданы как функции одной переменной t, они должны удовлетворять одному уравнению с двумя переменными. Для того, чтобы его найти, нужно исключить t из параметрических уравнений. Если, например, первое из уравнений можно решить относительно t, то, подставляя выражение t через x во второе уравнение, получим .

 

2.Применение метода  координат к решению  задач  на плоскости.

 

Задание 1.

На координатной плоскости  даны точки  А(-6;0)  и  В(-2;0).Найти  координаты точки С ,если известно, что точка С является серединой  отрезка АВ.

           Решение:

   Так точка С является серединой отрезка АВ, справедливы соотношение

. Тогда точка С имеет координаты  при подстановки в    наше  соотношение: С(-4,0).

Ответ:С(-4,0).

 

Задание 2.

На координатной плоскости даны точки  А(-1;3)  и В(-2;5).Найти расстояние от точки А до точки В.

          Решение:

    По формуле  расстояния между двумя точками   d =

Найдем что p(A;B) = = .

Ответ: p(A;B) = .