Дискретизация сигналов

Так как частотный  характер искажений, возникающих при  усечении сигнала, определяется весовой функцией П_T(t) Û Т×sinc(pfT), то допустимый уровень и форму искажения сигнала можно устанавливать не только подбором интервала Т, но и применением других весовых функций. Так, для исключения появления отрицательных значений в спектрах мощности усечение функций автокорреляции целесообразно выполнять весовыми функциями, которые не имеют отрицательных значений в своих спектрах. Одной из таких функций является, например, треугольная весовая функция (окно Бартлетта).

Соотношение спектров одиночного и периодического сигналов. Спектр S_T(f) = S(kDf) периодического сигнала s_T(t) с периодом Т дискретен (Df = 1/T). Спектр S(f) одиночного сигнала s(t), заданного на интервале Т, непрерывен и представляет собой спектральную плотность сигнала при T Þ ¥. Но периодический сигнал можно представить и в виде свертки одного периода с гребневой функцией Дирака:

s_T(t) = s(t) _* Ш_T(t).

При переходе в частотную  область получаем:

S_T(f) = (1/T)×S(f)×Ш_1/T(f) = S(kDf),

S_T(f) = (1/T) S(f)d(f-k/T).                                   (7.2.21)

Отсюда следует, что  спектр периодического сигнала представляет собой дискретизированный спектр одиночного сигнала, нормированный на длительность периода.

С другой стороны, одиночный  сигнал s(t) может быть получен из периодического сигнала s_T(t) умножением на селектирующий прямоугольный импульс П_T(t):

s(t) = s_T(t)×П_T(t).

Спектр одиночного сигнала:

S(f) = T×S_T(f) _* П_T(f) = Т S(kDf)×sinc[pT(f-k/T)],                 (7.2.22)

т.е. непрерывный спектр одиночного сигнала однозначно устанавливается  по спектру периодического сигнала (интерполяция рядом Котельникова-Шеннона в частотной области).

7.3. Дискретизация по критерию наибольшего отклонения    [10].

Задача абсолютно точного восстановления сигнала на практике обычно не ставится, в отличие от задачи минимального физического объема информации, при котором сохраняется возможность ее восстановления в непрерывной форме с определенным допустимым значением погрешности. Такая задача актуальна всегда, и особенно при дистанционных методах регистрации и обработки информации, передаче сигналов по каналам связи и при подготовке информации к длительному хранению. Одним из методов решения этой задачи является дискретизация сигналов по критерию наибольшего отклонения.

В процессе дискретизации  по критерию наибольшего отклонения задается допустимое значение погрешности  восстановления сигнала s. При восстановлении сигнала непрерывная функция s(t) аппроксимируется, как правило, степенными полиномами n-го порядка. Погрешность восстановления функции s(t) полиномом s_a(t) определяется остаточным членом L(t):

L(t) = s(t) - s_a(t) = s(t).

Шаг дискретизации выбирается из условия обеспечения L(t) < s по всему интервалу определения функции s(t). Как правило, динамика функции s(t) может существенно изменяться в различные моменты времени по интервалу регистрации, при этом шаг дискретизации также может изменяться, при условии не превышения заданной погрешности на каждом шаге. При установленном значении s уменьшение числа отсчетов обеспечивается повышением степени аппроксимирующего многочлена. На практике обычно ограничиваются ступенчатой, линейной и параболической аппроксимацией полиномами соответственно нулевой, первой и второй степеней.

В качестве интерполирующих  многочленов используют многочлены Лагранжа. Для многочленов Лагранжа нулевой степени значение s_a(t) в момент времени t на интервале t_i<t<t_i+1 между двумя последовательными отсчетами функции принимается равным отсчету s(t_i+1). Если восстановление сигнала s(t) проводить по двум отсчетам: s_a(t_i) = [s(t_i+1)-s(t_i)]/2, то при том же шаге дискретизации погрешность восстановления сигнала уменьшается вдвое. Но при использовании двух последовательных отсчетов лучше использовать многочлены Лагранжа первой степени, т.е. соединение двух последовательных отсчетов прямой линией, что дает еще большее уменьшение погрешности восстановления аналоговой формы сигнала.

В качестве экстраполирующих многочленов используется многочлены Тейлора. Для многочлена Тейлора нулевой степени условия восстановления сигнала практически не отличаются от многочлена Лагранжа, за исключением направления (от текущего зарегистрированного отсчета и вперед по t). Для многочленов Тейлора более высоких степеней при восстановлении сигнала помимо отсчета s(t_i) используется также соответствующие значения производных в точке отсчета. Восстановление сигнала многочленами Тейлора происходит без задержки во времени. Однако при использовании многочленов выше нулевой степени для точного восстановления сигнала по сравнению с интерполяционными методами требуется в два раза более высокая частота дискретизации.

7.4. Адаптивная дискретизация   [10].

Частота равномерной дискретизации информации рассчитывается по предельным значениям частотных характеристик сигналов. Адаптивная дискретизация ориентирована на динамические характеристики сигнала, что позволяет обеспечивать его восстановление при минимальном числе выборок. В основе принципов адаптивной дискретизации лежит слежение за текущей погрешностью восстановления сигнала. Наиболее широкое применение получили алгоритмы дискретизации с адаптацией по длине интервала аппроксимации. Сущность дискретизации заключается в последовательном наращивании интервала аппроксимации с непрерывным сравнением сигнала s(t) с воспроизводящей функцией s_a(t). При достижении заданного значения s наращивание интервала прекращается, и производится отсчет значения s(t_i), т.е. дискретизация является неравномерной. Для воспроизведения  сигналов  нерегулярной дискретизации обычно используются степенные алгебраические полиномы нулевой и первой степени в интерполяционном или в экстраполяционном вариантах.

Наиболее простой является техника адаптивной дискретизации с использованием многочлена нулевой степени. На момент t_i начала каждого интервала аппроксимирующий полином s_a(t) принимается равным s(t_i), вычисляется текущая разность L(t) = s(t)-s_a(t) и производится сравнение ее значения с заданным значением s. При фиксировании равенства L(t) = s производится очередной отсчет и начинается следующий интервал.

При использовании аппроксимирующего  многочлена первой степени вычисляется  значение s_a(t) = s(t_i)+s'(t_i), где s'(t) - производная сигнала. Момент очередного отсчета определяется выполнением равенства s(t)-s(t_i)-s'(t_i) = s. Следует иметь в виду, что данный алгоритм неэффективен при наличии высокочастотных помех, к которым весьма чувствительна операция дифференцирования.

Курсовая работа 2 – Исследовать и разработать программу оценки спектра дискретного сигнала при неравномерном шаге дискретизации.

Самыми простыми способами  восстановления сигналов при адаптивной дискретизации являются линейная и  квадратичная интерполяции, которые  выполняются по уравнениям:

f(x)_лин = а₀ + а₁х.         f(x)_кв = а₀ + а₁х + а₂х².

Эти уравнения являются частным случаем полиномиальной интерполяции с помощью аппроксимирующего  полинома:

f(x) = а₀ + а₁х + а₂х² + … + a_nxⁿ = a_i·xⁱ.                             (7.4.1)

Рис. 7.4.1. Интерполяция данных.

Для выполнения полиномиальной интерполяции достаточно по выражению (7.4.1) составить систему линейных уравнений для n последовательных отсчетов и определить n значений коэффициентов a_i. При глобальной интерполяции, по всем N точкам задания функции, степень полинома равна N-1. Глобальная интерполяция обычно выполняется для достаточно коротких (не более 8-10 отсчетов) массивов данных. Пример выполнения глобальной интерполяции приведен на рис. 7.4.1.

Большие массивы данных интерполируются последовательными локальными частями или в скользящем по массиву данных окне интерполяции, как правило, с нечетным значением N и вычислением требуемых значений сигнала в определенном интервале центральной части окна.

Курсовая работа 3 – Исследовать и обосновать оптимальный метод полиномиальной интерполяции произвольных данных с равномерным шагом дискретизации. Разработать программу интерполяции.

Курсовая работа 4 – Исследовать и обосновать оптимальный метод полиномиальной интерполяции произвольных данных с неравномерным шагом дискретизации. Разработать программу интерполяции.

Рис. 7.4.2. Интерполяция по Лагранжу.

Для практического использования более удобны формулы аппроксимации, не требующие предварительного определения коэффициентов аппроксимирующих полиномов. К числу таких формул относится интерполяционных многочлен по Лагранжу /30/. При аппроксимации функции у(х) многочленом n-ой степени f(x):

f(x) =

+ +…

…+ .                                    (7.4.2)

Пример интерполяции по Лагранжу приведен на рис. 7.4.2.

Курсовая работа 5 – Исследовать и обосновать оптимальный метод интерполяции по Лагранжу произвольных данных с неравномерным шагом дискретизации. Разработать программу интерполяции.

7.5. Квантование сигналов   [5,21].

Дискретизация аналоговых сигналов с преобразованием в  цифровую форму связана с квантованием сигналов. Сущность квантования состоит в замене несчетного множества возможных значений функции, в общем случае случайных, конечным множеством цифровых отсчетов, и выполняется округлением мгновенных значений входной функции s(t_i) в моменты времени t_i до ближайших значений s_i(t_i) = n_iDs, где Ds- шаг квантования шкалы цифровых отсчетов. Квантование с постоянным шагом Ds называется равномерным. Математически операция квантования может быть выражена формулой:

s_i(t_i) =

,

где скобки [..] означают целую часть значения в скобках.

При квантовании сигналов в большом динамическом диапазоне  значений шаг квантования может быть и неравномерным, например, логарифмическим, т.е. пропорциональным логарифму значений входного сигнала. Установленный диапазон шкалы квантования от s_min до s_max и шаг квантования Ds определяют число делений шкалы N_s = (s_max-s_min)/Ds и соответственно цифровую разрядность квантования. В результате дискретизации и квантования непрерывная функция s(t) заменяется числовой последовательностью {s(kDt)}. Погрешность округления e_i = s(t_i)-s_i(kDt) заключена в пределах -Ds/2<e<Ds/2 и называется шумом квантования. Требуемая точность квантования оценивается по влиянию возникающего шума квантования на последующую обработку сигналов.

При достаточно малом  шаге квантования любое значение в его пределах можно считать  равновероятным, при этом значения e распределены по равномерному закону:

p(e) = 1/Ds,  -Ds/2 £ e £ Ds/2.

Соответственно, дисперсия  и среднее квадратическое значение шума квантования:

e² = Ds²/12,        » 0.3 Ds.                                       (7.5.1)

При задании уровня шума квантования с использованием выражения (7.5.1) нетрудно определить допустимое значение шага квантования.

Входной сигнал содержит, как правило, аддитивную смесь собственно сигнала s(t) и помехи q(t) с дисперсией соответственно s_q². Если помехи не коррелированны с сигналом, то после квантования суммарная дисперсия шумов:

s² = s_q²+e².

На практике шаг квантования  выбирают обычно таким, чтобы не происходило  заметного изменения отношения сигнал/шум, т.е. e²<<s_q².

7.6. Децимация и интерполяция данных  [4,5,17].

Децимацией (прореживанием, сокращением) цифровых данных принято  называть уплотнение данных с удалением избыточной информации. Последнее имеет место, если шаг дискретизации данных был установлен излишне подробным и f_N = 1/2Dt >> f_max сигнала. Информация высокочастотной части сигнала может быть ненужной, если основная энергия полезной части сигнала заключена в низкочастотной области. Децимация может потребоваться и в том случае, если массивы данных представлены с разным шагом дискретизации.

Децимации должна предшествовать низкочастотная фильтрация данных. Это  связано с тем, что в процессе децимации шаг дискретизации Dt заменяется на новый шаг Dt' = pDt, где p>1, с соответствующим сжатием главного частотного диапазона, при этом появляется опасность отражения отбрасываемых частотных составляющих и высокочастотных шумов в главный диапазон (как и при неправильном выборе шага дискретизации). Точка отсечки низкочастотного фильтра устанавливается по новой частоте Найквиста: f_N'=1/(2pDt).

Значение коэффициента р при децимации может быть произвольным, но, как правило, используются целочисленные значения, и децимация выливается в простое прореживание данных. При нецелочисленном значении р децимация может проводиться с использованием интерполяционного ряда Котельникова-Шеннона (равно как и любого другого интерполяционного многочлена) или преобразования Фурье. Последнее выполняется путем перевода сигнала в частотную форму и возвращением в координатную форму с новым шагом Dt' = pDt, при этом низкочастотная фильтрация может производиться непосредственно в частотном диапазоне. Возможно также и прямое усечение главного частотного диапазона с N точек до N' = N/p с возвратом из нового частотного диапазона в координатную форму с количеством точек N', но при этом следует учитывать последствия усечения спектральной функции (умножения на прямоугольное селектирующее окно) на форму восстанавливаемого по ней сигнала (свертка исходного сигнала с фурье-образом прямоугольного селектирующего окна).