Моделирование и оптимизация технологических процессов в отрасли

Министерство  образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Могилевский государственный  университет продовольствия»

 

Кафедра информатики и  вычислительной техники

 

 

МОДЕЛИРОВАНИЕ И  ОПТИМИЗАЦИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ  В ОТРАСЛИ

 

Контрольная работа №1

по дисциплине «Моделирование и оптимизация технологических 

процессов в отрасли»

 

Специальность 1-49 01 02 Технология хранения и переработки животного  сырья

Специализация 1-49 01 02 01 Технология мяса и мясных продуктов

 

 

Выполнил 

студент группы ТЖМПЗ-081

 Костюкевич Галина Александровна                             

«____»______________ 2012 г.

 

212027 г. Могилев

ул. Островского, д. 34, кв. 78

номер зачетной книжки – 080345

 

Могилев 2012

 

 

1 Корреляционно-регрессионный  анализ

 

Задача 37. Изучалась кинетика процесса изменения содержания влаги в мясной эмульсии с использованием кавитационной воды. Данные представлены в таблице:

Продолжительность сушки при температуре 313 К, с	0	200	400	600	800	1200
Влажность материала, г/г	3,4	3,1	2,9	2,7	2,6	2,5

Требуется:

- представить  результаты эксперимента графически  в виде корреляционного поля  и сделать предположение о  форме модели;

- найти коэффициенты модели  методом наименьших квадратов;

- определить 95 %-е доверительные  интервалы для коэффициентов модели;

- найти средние квадратические ошибки и оценок коэффициентов модели;

- вычислить коэффициенты  корреляции и детерминации;

- оценить значимость модели  методом дисперсионного анализа,  приняв уровень значимости α = 0,05;

- провести анализ исходных  данных при помощи встроенных функций EXCEL. Сравнить полученные данные.

- подобрать математическую  модель с использованием линий тренда в электронных таблицах EXCEL.

Решение

1. Представим результаты эксперимента графически на рисунке 1

Рисунок 1 – Корреляционное поле

По расположению точек на корреляционном поле предположим, что точки группируются вокруг прямой линии, т.е. уравнение регрессии имеет  линейный характер. Таким образом, уравнение  модели имеет вид: . 

2. Найдем коэффициенты модели b₀ и b₁. Для этого используем метод наименьших квадратов. Создадим вспомогательную таблицу 1 для удобства вычислений:

Таблица 1

хi	yi	xi2	yi2	хi* yi	хi+ yi	(хi+ yi)2
0	3.4	0	11.56	0	3.4	11.56
200	3.1	40000	9.61	620	203.1	41249.61
400	2.9	160000	8.41	1160	402.9	162328.41
600	2.7	360000	7.29	1620	602.7	363247.29
800	2.6	640000	6.76	2080	802.6	644166.76
1200	2.5	1440000	6.25	3000	1202.5	1446006.25
3200	17.2	2640000	49.88	8480	3217.2	2657009.88

Контроль произведенных вычислений осуществлялся по формуле 1:

 (1)

В нашем случае, воспользовавшись данными из последней строки таблицы 1, имеем:

2657009.88 = 2640000+2∙8480+49.88 = 2657009.88 

Для нахождения коэффициентов b₀ и b₁ уравнения запишем систему нормальных уравнений (2):

   (2)

В нашем случае:

 

Решаем полученную систему уравнений методом Крамера. Для этого составляются определители (3):

 (3)

Данные определители являются определителями второго порядка, раскрывающиеся по формуле: разность произведения элементов главной и побочной диагоналей. Коэффициенты модели b₀ и b₁ найдем по формулам (4):

     (4)

Для удобства вычислений создадим таблицу 2:

 

 

Таблица 2

N	∆	∆b0	∆b1	b0	b1
6	5600000	18272000	-4160	3.26285714	-0.0007429

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид:

3. Найдем средние квадратические ошибки коэффициентов полученного эмпирического уравнения регрессии. Для этого составим таблицу 3:

Таблица 3

хi	yi
0	3.4	3.262857143	0.137142857	0.018808163
200	3.1	3.114285714	-0.014285714	0.000204082
400	2.9	2.965714286	-0.065714286	0.004318367
600	2.7	2.817142857	-0.117142857	0.013722449
800	2.6	2.668571429	-0.068571429	0.004702041
1200	2.5	2.371428571	0.128571429	0.016530612
3200	17.2	17.2		0.058285714

В 1-м и 2-м  столбцах – исходные значения x и y . В 3-м столбце – условные средние y_i расч, которые рассчитываются по формуле , для которых значения b₀ и b₁ берутся из таблицы 2. В 4-м столбце определяется – случайное слагаемое, характеризующее влияние на переменную y неучтенных в формуле переменных х_i и влияние неконтролируемых изменений условий эксперимента. В 5-м столбце – величина , возведенная во вторую степень.

Так как суммы  значений 2-го и 3-го столбцов равны, наши вычисления проведены верно.

Еще одной характеристикой  степени тесноты служит несмещенная  оценка дисперсии  , характеризующая рассеивание экспериментальных точек относительно линии регрессии (5).

      (5)

Эмпирические дисперсии точечных оценок коэффициентов регрессии определяются по формуле (6):

 (6)

Вычисления  представим в таблице 4:

Таблица 4

0.011657143	0.00549551	1.24898E-08

4. Для построения 95 %-ных интервалов воспользуемся следующими формулами (7) и (8):

95 %-й доверительный интервал для коэффициента b₀ :

   (7)

95 %-й доверительный интервал для коэффициента b₁ :

   (8)

где b₀ и b₁ – коэффициенты модели, а - коэффициенты Стьюдента, и - квадратные корни из соответствующих дисперсий точечных оценок (таблица 4).

Коэффициенты Стьюдента найдем используя встроенную статистическую функцию = СТЬЮДРАСПОБР(вероятность; степени_свободы). В нашем случае функция имеет вид: = СТЬЮДРАСПОБР(0.05;5) = 2.57. Тогда доверительные интервалы в нашем случае имеют вид:

5. Вычислим коэффициенты корреляции и детерминации.

Коэффициенты  корреляции определим по формуле (9):

   (9)

Чем ближе коэффициент  корреляции к единице, тем теснее линейная зависимость между переменными х и у.

В нашем случае r = -0.9478074. Так как коэффициент корреляции r находится в интервале [-1; 1], то делаем вывод, что в данном случае линейная зависимость может существовать, а может и не существовать. Для точного ответа на вопрос необходим дополнительный дисперсионный анализ.

Осуществим статистическое оценивание коэффициентов регрессии, т.е. проверим, отличается ли значимо  оценка коэффициента регрессии от нуля. Граница значимости устанавливается  на основании распределения Стьюдента. Для этого по формуле (10) вычисляем статистику t_наблюд.

     (10)

В нашем случае имеем: t_наблюд. = -5.94528. Далее сравниваем t_наблюд. с . Необходимо, чтобы . В этом случае регрессионная модель выбрана удачно, т.е она согласуется с экспериментальными данными и значение коэффициента r значимо отличается от нуля. В противном случае, регрессионная модель не согласуется с экспериментальными данными, т.е. она выбрана неудачно.

В нашем случае │- 5.94528│> 2.57, следовательно, регрессионная модель выбрана удачно, т.е она согласуется с экспериментальными данными и значение коэффициента r значимо отличается от нуля.

Коэффициент детерминации R² характеризует степень совпадения экспериментальных данных модельным (рассчитанным по уравнению регрессии). Чем выше значение коэффициента детерминации, тем выше точность значений, рассчитанных по уравнению регрессии. Коэффициент детерминации изменяется от 0 до 1. Вычисляется коэффициент детерминации по формуле (11):

     (11)

Значение  найдем по формуле (12):

       (12)

Если R² > 0.7, то говорят, что выбранная модель работоспособна.

Для удобства вычислений создадим таблицу 5:

Таблица 5

2.866667	0.156966893	0.284444444
	0.061315193	0.054444444
	0.009810431	0.001111111
	0.002452608	0.027777778
	0.039241723	0.071111111
	0.245260771	0.134444444

В нашем случае R² = 0.898339. Так как 0.898339 > 0.7, то выбранная модель работоспособна.

Далее, для проверки соответствия линейной регрессионной  модели экспериментальным данным, используют статистически критерий проверки нулевой  гипотезы, критерий Фишера.

Для этого рассчитаем:

1. полную сумму квадратов (общую дисперсию):