Моделирование и оптимизация технологических процессов в отрасли

      (13)

2. сумму квадратов регрессии:

     (14)

3. остаточную сумму квадратов:

     (15)

Выполняем обязательную проверку a = b+c.

Нулевая гипотеза H₀ состоит в предположении того, что линейной зависимости между переменными X и Y не существует. Конкурирующей с ней гипотезой является H₁, которая предполагает, что линейная зависимость между переменными X и Y существует. Необходимо подтвердить или опровергнуть гипотезы. Поэтому находим статистический критерий – величину F_набл, который сравниваем с коэффициентом Фишера, найденным по таблице распределения. Если F_набл < F_{α; ν1; ν2}, то нулевая гипотеза H₀ подтверждается, в обратном случае, т.е. если F_набл > F_{α; ν1; ν2}, то нулевая гипотеза H₀ отвергается и принимается альтернативная гипотеза H₁.

Предположим, что нулевая  гипотеза H₀ верна, т.е. ρ = 0.

Для удобства вычислений построим таблицу 6 дисперсионного анализа:

Таблица 6

Источник изменчивости	Суммы квадратов	Число степеней свободы	Средние квадраты	Fнабл
Линейная регерессия	b	1	M1 = b	= M1/M2
Остаток	c	n –  2	M2 = c/(n – 2)
Полная изменчивость	a	n –  1

 

Результаты  вычислений представлены в таблице 7:

Таблица 7

Источник изменчивости	Суммы квадратов	Число степеней свободы	Средние квадраты	Fнабл
Линейная регерессия	0.515047619	1	0.515047619	35.34641
Остаток	0.058285714	4	0.014571
Полная изменчивость	0.573333333	5

 

Контроль: a = 0.573333333; b+c = 0.515047619+0.058285714 = 0.573333333.

Определим табличный  критерий Фишера F_{α; ν1; ν2}. Он определяется по трем параметрам α = 0.05; ν1 = 1 (n – количество опытов, d – число значимых коэффициентов), ν2 = n – 2 (n – количество опытов).

Для нахождения коэффициента Фишера в Excel существует встроенная статистическая функция FРАСПОБР (вероятность; степени_свободы1; степени_ свободы2). Для нашего случая функция имеет следующий вид: FРАСПОБР (0.05; 4; 6) = 4.53367695

В нашем случае имеем: 35.34641 > 4.53367695, т.е. F_набл > F_{α; ν1; ν2}. Это значит, что гипотеза H₀ отсутствия линейной связи между переменными X и Y отвергается, т.е. между переменными X и Y существует линейная связь.

6. Проведем анализ исходных данных при помощи встроенных функций EXCEL. Для этого будем использовать встроенный пакет Анализ данных. В нашем случае: Сервис \ Анализ данных \ Регрессия.

Сравнивая значения статистических величин, рассчитанных Excel с помощью пакета Анализ данных и рассчитанными нами заранее, видим, что полученные данные совпадают.

7. Подберем математическую модель с использованием линий тренда в электронных таблицах Excel .

Рисунок 2 – Линии тренда

Остальные линии  тренда для данной модели не существуют.

Анализ математической модели с помощью линий тренда проводится по значению коэффициента детерминации R². Необходимо, чтобы:

− R²>0,7; т.е. модель должна быть работоспособной;

− R² должен быть максимально приближен к 1.

В нашем случае наиболее близок к 1 коэффициент детерминации полиномиальной модели (R²=0.9988). Но, т.к. разность между коэффициентами детерминации линейной, экспоненциальной и полиномиальной моделей невелика, то для расчетов можно принять линейную и экспоненциальную модель, а для более точных вычислений использовать полиномиальную модель

 

2. Дисперсионный анализ.

Задача 43. При исследовании влияния различных видов перца на снижение показателей рН при производстве сырокопченых колбас получены результаты, представленные в таблице:

Продолжительность созревания, сутки	Вид перца, уровень  рН
	Высшего качества	Менее качественный	Перечный олеорозин
0	5,7	5,7	5,75
1	5,4	5,69	5,71
2	4,9	5,2	5,33
3	4,8	5,2	5,34

Требуется установить, влияет ли вид перца на уровень  рН. Уровень значимости α = 0,05. Правильность расчетов проверить с помощью встроенных процедур Excel.

Решение

Представим  вычисленные групповые средние  в виде таблицы 8.

В последней  строке таблицы 8 вычисляются групповые  средние значения y_ij полученных наблюдений для каждого из уровней фактора:

(16)

Таблица 8

Продолжительность созревания, сутки	Вид перца, уровень  рН
	Высшего качества	Менее качественный	Перечный олеорозин
0	5,7	5,7	5,75
1	5,4	5,69	5,71
2	4,9	5,2	5,33
3	4,8	5,2	5,34
Групповое среднее yi	5.2	5.4475	5.5325

Далее вычисляем общее выборочное среднее  признака Y по формуле:

(17)

В нашем случае общее выборочное среднее  .

Далее находим  общую сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений от общего выборочного среднего по формуле (18):

(18)

Для удобства вычислений строим таблицу 9 и производим вычисления.

Таблица 9

№
1	5.7	0.0940444	5.7	0.0940444	5.75	0.1272111
2	5.4	4.444E-05	5.69	0.0880111	5.71	0.1002778
3	4.9	0.2433778	5.2	0.0373778	5.33	0.0040111
4	4.8	0.3520444	5.2	0.0373778	5.34	0.0028444
сумма	20.8	0.68951111	21.79	0.25681111	22.13	0.23434444

С учетом табличных  данных имеем:

.

Далее находим  факторную сумму квадратов отклонений групповых средних от общей средней, которая характеризует рассеяние «между группами» по формуле (19):

(19)

Составим таблицу 10:

Таблица 10

0.037377778	0.00293403	0.01936736

С учетом табличных  данных имеем:

Найдем остаточную сумму квадратов отклонений значений y_ij от своей групповой средней по формуле (20):

(20)

Для упрощения  вычислений составим таблицу 11:

Таблица 11

№
1	5.7	0.25	5.7	0.06375625	5.75	0.04730625
2	5.4	0.04	5.69	0.05880625	5.71	0.03150625
3	4.9	0.09	5.2	0.06125625	5.33	0.04100625
4	4.8	0.16	5.2	0.06125625	5.34	0.03705625
сумма	20.8	0.54	21.79	0.245075	22.13	0.156875

Получаем

.

Правильность  вычислений проверяется из условия SS_общ = SS_факт + SS_ост.

В нашем случае контроль верен 1.180666667 = 0.238716667 + 0.94195

На основе полученных значений квадратов отклонений вычисляем общую, факторную и остаточную дисперсии. Для этого суммы квадратов отклонений нужно разделить на соответствующее количество степеней свободы:

	(21)
	(22)
	(23)

В нашем случае имеем:

Для проверки влияния уровней  факторов на показатель изучаемого процесса воспользуемся критерием Фишера. Вычисляется F-отношение, т. е. отношение

(24)

По уровню значимости a=0,05 и числу степеней свободы u₁ и u₂, где u₁- число степеней свободы большей дисперсии , найдем границу критической области F_крит(a,u₁, u₂).

Проверим нулевую  гипотезу Н₀ против альтернативной гипотезы Н₁, т.е. Н₀: влияние фактора признается несущественным, против Н₁: влияние фактора признается существенным.

Если F_эксп < F_крит, то Н₀ принимается, то есть влияние фактора Х признается несущественным.

Если же F_эксп > F_крит, то Н₀ отвергается, принимается гипотеза Н₁: влияние фактора Х на признак У признается существенным. В этом случае задача дисперсионного анализа может быть продолжена с использованием положений регрессионно-корреляционного анализа.

Рассчитываем F_эксп по формуле:

.

Найдем F_крит(a,u₁, u₂). В нашем случае a=0,05, u₁ – число степеней свободы факторной дисперсии, т.е.

u₁= m – 1 = 3 – 1 = 2.

u₂= m∙(n – 1) = 3∙(4 – 1) = 9

По таблицам Фишера находим F_крит= 4.26.

В нашем случае F_эксп < F_крит, т.к. 1.14 < 4.26.

Следовательно, влияние фактора признается несущественным, т.е. влияние некоторых видов перца на снижение показателей рН при производстве сырокопченых колбас.

Проверим правильность расчетов с помощью встроенных процедур Excel.

Анализ данных в электронных таблицах позволяет быстро провести однофакторный и двухфакторный дисперсионный анализ [1, c. 27].