Леонард Эйлер

       "Письмо к Вам г. Эйлера доставило мне большое удовольствие, потому что я узнаю из него о желании его снова вступить в мою службу. Конечно, я нахожу его совершенно достойным желаемого звания вице-президента Академии наук, но для этого следует принять некоторые меры, прежде чем я установлю это звание — говорю установлю, так как доныне его не существовало. При настоящем положении дел там нет денег на жалование в 3000 рублей, но для человека с такими достоинствами, как г. Эйлер, я добавлю к академическому жалованию из государственных доходов, что вместе составит требуемые 3000 рублей… Я уверена, что моя Академия возродится из пепла от такого важного приобретения, и заранее поздравляю себя с тем, что возвратила России великого человека."

Эйлер подал королю прошение об увольнении со службы, но никакого ответа не получил, как и на повторную просьбу, Фридрих не желал даже обсуждать вопрос о его отъезде. В ответ на это Эйлер прекратил работать для Берлинской Академии.

       Решающую поддержку Эйлеру оказали настойчивые ходатайства российского представительства от имени императрицы. 30 апреля 1766 года Фридрих наконец-то разрешил великому учёному покинуть Пруссию, отпустив вдогонку  несколько злобных острот. Правда, Кристофа, младшего сына Эйлера, служившего подполковником артиллерии , король наотрез отказался отпустить из армии. Позднее благодаря заступничеству Екатерины II он всё же смог присоединиться к отцу; в русской армии он дослужился до генерал-лейтенанта.

       Эйлер вернулся  в Россию в 1766 году и на этот раз уже на всегда.

В июле 1766 года 60-летний Эйлер, его семья из 18 человек прибыли в российскую столицу. Сразу же по прибытии он был принят императрицей. Екатерина, теперь уже Вторая, встретила его как очень дорогую государству особу и осыпала милостями: пожаловала 8000 рублей на покупку дома на Васильевском острове, так как во время семилетней войны русская артиллерия разрушила дом Эйлера, так же деньги были дадены  и на приобретение обстановки. На первое время Екатерина  даже выделила одного из своих поваров, взамен на все эти блага она поручила подготовить соображения о реорганизации Академии.

       К несчастью, после возвращения в Петербург у Эйлера образовалась катаракта второго, левого глаза — он перестал видеть. Вероятно, по этой причине обещанный пост вице-президента Академии он так и не получил. Однако слепота не отразилась на его работоспособности. Эйлер диктовал свои труды мальчику-портному, который всё записывал по-немецки. Число опубликованных им работ даже возросло; за полтора десятка лет второго пребывания в России он продиктовал более 400 статей и 10 книг.

       В 1771 году в жизни Эйлера произошли два важных события. В мае в Петербурге случился большой пожар, который уничтожил сотни зданий, в том числе дом с большей частью имущества Эйлера. Самого учёного с трудом спасли вместе с рукописями, не удалось уберечь от огня лишь часть «Новой теории движения луны», но ее быстро удалось восстановить с помощью самого же Эйлера, имевшего даже в глубокой старости очень хорошую память.              

Временно Эйлеру пришлось переселиться в другой дом.

      В сентябре того же года, по особому приглашению императрицы, в Санкт-Петербург прибыл для лечения Эйлера известный немецкий окулист барон Вентцель. После серьезного осмотра он сделал Эйлеру операцию и удалил с левого глаза катаракту. Ученый снова стал видеть. Врач предписал беречь глаз от яркого света, не читать, не писать, а постепенно привыкать к новому состоянию и реабилитироваться. Но не взирая на предписания врача уже через несколько дней после операции Эйлер снял повязку, и вскоре потерял зрение снова, но на этот раз — окончательно.

В 1773 году по рекомендации Даниила Бернулли в Петербург приехал из Базеля ученик Бернулли, Никлаус Фусс. Это было большой удачей для Эйлера. Его ученик обладал редким сочетанием математического таланта и умения вести практические дела, что и дало ему возможность сразу же после приезда взять на себя заботы о математических трудах Эйлера. Вскоре Фусс  даже породнился с Эйлером женясь на его внучке. В последующие десять лет — до самой своей смерти — Эйлер преимущественно ему диктовал свои труды, хотя иногда пользовался «глазами старшего сына» и других своих учеников.

       В 1773 году скончалась жена Эйлера, с которой он прожил около 40 лет; у них было три сына, это было большой потерей для учёного, искренне привязанного к семье и нуждавшейся в ней, возможно именно поэтому вскоре он женился на сводной сестре свой покойной жены – Саломме.

       Эйлер активно трудился до последних дней, работоспособность его до конца жизни оставалась исключительной, он «выдавал» в среднем 800 страниц «ин-кварто» (страница размером в ¼ от бумажного листа) в год. Это немало даже для сочинителя романов; для математика же такой объём научных трудов можно считать рекордным. В сентябре 1783 года в возрасте 76 лет учёный стал ощущать головные боли и слабость. 7 сентября после обеда в кругу семьи, беседуя с астрономом А. И. Лекселем о недавно открытой планете Уран и её орбите, он внезапно почувствовал себя плохо. Эйлер успел произнести: «Я умираю», — и потерял сознание. Через несколько часов, так и не приходя в сознание, он скончался от кровоизлияния в мозг.

       «Он перестал вычислять и жить», — сказал Кондорсе на траурном заседании Парижской Академии наук.

       Его похоронили на Смоленском лютеранском кладбище в Петербурге. Надпись на памятнике гласила: «Здесь покоятся бренные останки мудрого, справедливого, знаменитого Леонарда Эйлера».

        В 1955 году прах великого математика был перенесён в «Некрополь XVIII века» на Лазаревском кладбище Александро-Невской лавры. Плохо сохранившийся надгробный памятник при этом заменили.

Чего достиг Эйлер в математике?

       Чебышёв писал: «Эйлером было положено начало всех изысканий, составляющих общую теорию чисел». Эйлер продолжил исследования Ферма в теории чисел. Эйлер строго доказал его разрозненные гипотезы о натуральных числах и значительно обобщил их и объединил их в содержательную теорию чисел. Он ввёл в математику важную «функцию Эйлера» и в дальнейшем сформулировал с её помощью «теорему Эйлера». Эйлер создал теорию сравнений и квадратичных вычетов и указал для последних критерий Эйлера.

       Он опроверг гипотезу Ферма о том, что все числа которые имеют вид:

F_n = 2^{2^n}+1 — простые; оказалось, что F5 делится на 641.

       Эйлер доказал Великую теорему Ферма для n = 3 и n = 4, создал полную теорию непрерывных дробей, исследовал различные классы диофантовых уравнений, теорию разбиений чисел на слагаемые.

        Он открыл, то что в теории чисел возможно применение методов математического анализа, тем самым  положил начало аналитической теории чисел. В её основе лежат тождество Эйлера и общий метод производящих функций.

       Эйлер ввёл понятие первообразного корня и выдвинул гипотезу, что для любого простого числа «Р» существует первообразный корень по модулю «Р», но доказать это он не сумел, позднее теорему доказали Лежандр и Гаусс. Также большое значение в теории чисел имела другая гипотеза Эйлера — квадратичный закон взаимности, также доказанный Гауссом.

       Еще одна из многочисленных заслуг Эйлера перед наукой — монография «Введение в анализ бесконечно малых» (1748). В 1755 году выходит дополненное «Дифференциальное исчисление», а в 1768—1770 годах выходит  — три тома «Интегрального исчисления». В своей совокупности это фундаментальный, сопровождаемый примерами курс, с продуманной терминологией и символикой, откуда многое перешло в современные учебники.

       Основание натуральных логарифмов было известно со времён Непера и Якоба Бернулли, но Эйлер дал гораздо более глубокое исследование этой важной константы, что с тех пор она носит его имя. Другая так же исследованная им константа: постоянная Эйлера — Маскерони.

      С Лагранжем Эйлер делит честь открытия вариационного исчисления, выписав уравнения Эйлера — Лагранжа для общей вариационной задачи.   В 1744 году Эйлер опубликовал первую книгу по вариационному исчислению «Метод нахождения кривых, обладающих свойствами максимума либо минимума».

      Эйлер сильно продвинул теорию рядов и распространил её на комплексную область, получив при этом формулу Эйлера. Не малое впечатление на мир математики произвели ряды, впервые просуммированные Эйлером, в том числе не поддававшийся до него никому ряд обратных квадратов.

       Современное определение показательной, тригонометрических и логарифмической  функций — тоже его заслуга, так же как их символика и обобщение на комплексный случай. Формулы, часто именуемые в учебниках «условия Коши — Римана» было бы более верно  назвать «условиями Даламбера — Эйлера».

       Он первым дал систематическую теорию интегрирования и используемых в теории  технических приёмов, нашёл важные классы интегрируемых дифференциальных уравнений. Он открыл эйлеровы интегралы — ценные классы специальных функций, возникающие при интегрировании: гамма-функция и бета-функция Эйлера. Одновременно с Клеро в 1739 году он вывел условия интегрируемости линейных дифференциальных форм от двух или трёх переменных. Первым ввёл двойные интегралы, получил серьёзные результаты в теории эллиптических функций, в их числе первые теоремы сложения.

       С более поздней точки зрения, действия Эйлера с бесконечными рядами не всегда могут считаться корректными, обоснование  этого анализа было проведено лишь полвека спустя, но сильная математическая интуиция очень часто подсказывала ему правильный результат. Впрочем, дело было не только в интуиции, Эйлер действовал очень сознательно и во многих важных отношениях его понимание смысла расходящихся рядов и операций с ними превосходило стандартное понимание XIX века и послужило основой современной теории расходящихся рядов, развитой в конце XIX - начале XX века.

       В элементарной геометрии Эйлер обнаружил несколько фактов, упущенных Евклидом:

- Три высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентре).

- В треугольнике ортоцентр, центр описанной окружности и центр тяжести лежат на одной прямой — «прямой Эйлера».

- Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности (окружности Эйлера).

- Число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) у любого выпуклого многогранника связаны простой формулой: В + Г = Р + 2.

       Второй том «Введения в анализ бесконечно малых»выпущенный в 1748 году — это первый в мире учебник аналитической геометрии и основам дифференциальной геометрии. Термин аффинные преобразования впервые был введён в этой книге вместе с теорией таких преобразований.

       В 1760 году были изданы фундаментальные «Исследования о кривизне поверхностей». Эйлер обнаружил, что в каждой точке гладкой поверхности имеются два нормальных сечения с минимальным и максимальным радиусами кривизны, и их плоскости взаимно перпендикулярны, он даже вывел формулу связи кривизны сечения поверхности с главными кривизнами.

       А в 1771 году опубликовано сочинение «О телах, поверхность которых можно развернуть на плоскость». В этой работе введено понятие развёртывающейся поверхности, то есть поверхности, которая может быть наложена на плоскость без складок и разрывов. Эйлер, однако, даёт здесь вполне общую теорию метрики, от которой зависит и  вся внутренняя геометрия поверхности. Позже исследование метрики становится у него основным инструментом теории поверхностей.

       Эйлер оставил множество важнейших трудов по самым различным отраслям математики, не зря же с точки зрения математики, XVIII век считается веком Эйлера. Если до него достижения в области математики были разрознены и не всегда согласованы, то Эйлер впервые увязал алгебру, анализ, тригонометрию, теорию чисел и др. дисциплины в единую систему, и добавил немало собственных открытий. Значительная часть математики преподаётся с тех пор «по Эйлеру».

       Благодаря Эйлеру в математику вошли общая теория рядов, «формула Эйлера», аналитический фундамент механики, приёмы интегрирования и решения дифференциальных уравнений операция сравнения по целому модулю, полная теория непрерывных дробей, , число e, обозначение i для мнимой единицы, гамма-функция с её окружением и многое другое.

       Также он создал несколько новых математических дисциплин — теорию чисел, вариационное исчисление, теорию комплексных функций, дифференциальную геометрию поверхностей, специальные функции.

Биографы отмечают, что Эйлер был виртуозным алгоритмистом. Он неизменно старался довести свои открытия до уровня конкретных вычислительных методов.

       Эйлер охотно участвовал в научных дискуссиях, из которых большую известность получили:

- Спор о струне.

- Спор с Даламбером о свойствах комплексного логарифма.

- Спор с оптиком Джоном Доллондом о том, возможно ли создать ахроматическую линзу.

       И во всех вышеперечисленных случаях Эйлер отстаивал правильную позицию.

Был ли Эйлер философом?

       Был ли Эйлер философом? Можно привести несчетное множество авторитетных высказываний, отрицающих это. Вольтер заявлял, что «он никогда не изучал философию, о чем надо откровенно пожалеть», Лагранж писал: «Наш друг - великий математик, но достаточно плохой философ», а также, что «в метафизике он ребенок». Подобных высказываний множество, однако они больше основаны на эмоциональной констатации того факта, что у человека, получившего прозвание принц математики, не было системы, в которой он со строгой ясностью расставил бы точки над философическими i.

       Эйлер считал, что «метафизическое учение должно основываться на физике, т. е. должно путем абстракции выводиться из явлений сложных субстанций, поскольку сколь бы мы не отделяли метафизические абстракции от физических, все же они ни в коем случае не могут прямо противоречить друг другу». Некое «смешение» философских и естественнонаучных проблем и методов было свойственно не только Эйлеру, но и многим его коллегам. Философские аргументы часто использовались в физике, как научный опыт - для решения философских проблем. Способ познания казался одинаковым во всех областях, каждое новое открытие освещало вожделенную и всеобщую Истину. В мыслительной традиции последних трех четвертей XVIII века существуют два философских направления - первое с явно выраженным естественнонаучным акцентом («философствующие естествоиспытатели»), второе, занимающееся философскими проблемами чисто умозрительно, прибегая чаще у умозаключению, чем к опыту.