Механика Герца

Av² – b/r +c

где а, b, с — три положительные постоянные константы, v — скорость Юпитера, r — его расстояние до Солнца.

Так как мы располагаем  постоянной С, мы можем ее предположить достаточно большой, чтобы энергия была положительной; уже даже в этом есть что-то произвольное, что не может удовлетворить наш дух.

Но сверх того представим себе теперь, что какое-либо небесное тело огромной массы и с огромной скоростью пересекает Солнечную систему; когда оно пройдет через систему, и снова удалится от нее на огромные расстояния, орбиты планет претерпят значительные пертурбации. Мы можем вообразить, например, что большая ось орбиты Юпитера станет много меньше, но орбита остается ощутимо круглой. Как бы ни была велика постоянная   с,   если  новая   большая   ось   очень мала,  выражение

Av² – b/r +c

станет отрицательным, и вновь возникнет трудность, которую мы считали избегнутой тем, что придали с большое значение. В итоге, мы  не  можем обеспечить,   чтобы  энергия   оставалась   всегда положительной.

    С   другой   стороны,   чтобы   материализовать    энергию нужно ее локализовать; в отношении кинетической энергии это просто, но не так дело обстоит с энергией потенциальной. Где локализовать потенциальную энергию, вызванную притяжением двух небесных тел? В одном из двух? В обоих? В промежуточном пространстве?

   В самой формулировке принципа наименьшего действия есть что-то неприемлемое для разума. Чтобы попасть из одной точки другую , материальная молекула, свободная от воздействия любой силы, но принужденная двигаться по какой-либо поверхности, будет двигаться по геодезической линии, т. е. по наикратчайшему пути.

   Эта молекула как бы знает точку, куда ее хотят привести, предвидит время, которое у нее займет достижение этой точки, следуя по тому или иному пути, и выбирает затем наиболее подходящий путь. Формулировка представляет нам, так сказать, ее как существо, одушевленное и свободное. Ясно, что следовало лучше заменить эту формулировку менее поражающей, в которой, как говорят философы, конечные цели не будут казаться заменяющими действующие  причины.

Возражение, относящееся к  качению шара по плоскости

     Последнее возражение, кажется, наиболее поразившее Герца, имеет несколько отличный характер.

    Известно, что называется системой со связями; представим сначала две точки, соединенные твердым металлическим прутом так, что расстояние между ними поддерживается постоянным, или, в более общем случае, представим себе, что какой-либо механизм поддерживает отношение между координатами двух или многих точек системы. Это и есть первый вид связи, кото¬рая называется «жесткой связью».

   Представим себе теперь, что шар принужден катиться по плоскости. Скорость точки соприкосновения должна быть нулевой; мы имеем, следовательно, второй тип связи, которая выражается отношением не только между координатами различных точек системы, но и их координатами и их скоростями.

   Системы, где имеются связи второго типа, обладают удивительным свойством, которое я постараюсь объяснить на только что приведенном простом примере, т. е. на примере шара, катящегося по горизонтальной плоскости.

   Пусть О — точка на горизонтальной поверхности   и С—центр шара.  Чтобы   хорошо   определить    положение   движущегося   шара, я возьму три. неподвижные оси координат Ох, Оу и Оz, из которых две первые расположены в горизонтальной плоскости, по которой катится шар; возьмем также три оси координат, неизменно связанные с шаром, Ck, Cm, Cp.

     Положение шара будет полностью определено, когда мы зададим две координаты точки соприкосновения и девять направляющих косинусов подвижных осей по отношению к неподвижным осям. Пусть А — такое положение шара, при котором точка соприкосновения лежит в точке начала координат О, а подвижные оси параллельны неподвижным.

     Координаты точки соприкосновения  будут

                  x = 0,       у = 0,

а девять направляющих косинусов  будут

1    0   0

0   1    0

0   0    1

Сообщим шару бесконечно малое вращение e вокруг оси Сk; он придет в положение B, в котором координаты точки соприкосновения будут

x = 0,       у = 0,

а девять косинусов

1           0      0

0         Cos e           Sin e   

0        - Sin e         Cos e.

 Но такое вращение невозможно потому, что оно заставит шар скользить, а не катиться по плоскости. Следовательно, невозможно перейти из положения А в бесконечно близкое соседнее положение В прямо, так сказать в результате бесконечно малого движения. Но мы увидим, что этот переход может произойти непрямо, т. е. конечным движением.

Будем исходить из положения А; заставим шар катиться по плоскости таким образом, что мгновенная ось вращения будет находиться в горизонтальной плоскости и в каждый момент времени параллельна оси Оу, и остановимся, когда ось Сk станет вертикальной и параллельной Оz. Мы придем в положение D, в котором   координаты точки соприкосновения станут

где R—радиус шара, а девять косинусов будут:

1. 0    —1
2. 0      1       

      +1    0       0.

В положении В точка соприкосновения находится на конце оси Сk, которая вертикальна.

Сообщим шару вращение e вокруг оси Сk; это вращение является поворотом вокруг вертикальной оси, проходящей через точку соприкосновения, оно не включает никакого скольжения, а значит оно совместимо со связями.

Шар попадает в положение Е, в котором точки соприкосновения будут:

х =(П/2)* R ,    у = 0,        а косинусы

    0     0        —1

Sin e       Cоs е    0

Cos e     -Sin e       0

      Заставим теперь шар катиться таким образом, чтобы ось вращения в каждый момент времени оставалась постоянно параллельной Оу и, следовательно, чтобы соприкосновение все время имело место на оси Ох. Остановимся, когда точка соприкосновения вернется в исходную точку О. Легко видеть, что мы прибыли в положение В. Можно, значит, попадать из положения А в положение В, проходя через положения D и Е. Герц называет голономными такие системы, для которых, если связи не позволяют попадать прямо из некоторого положения в другое бесконечно близкое, то они точно также не позволяют попадать из одного положения в другое не прямо. Это — системы, имеющие лишь   твердые связи. Как видим, наш шар не есть голономная система.  Итак, оказывается, что принцип наименьшего действия не применим к неголономным системам.

Действительно, из положения  А можно попасть в положение  В не только указанным мною путем, но, несомненно, и многими другими  путями; среди этих путей найдется, очевидно, один, который будет соответствовать  наименьшему действию; шар должен был бы следовать этим путем при движении из А в В ; однако ничего подобного не происходит; каковы бы ни были начальные условия движения, шар никогда не пойдет из   А в B.

Более того, если шар  действительно переходит из положения А в другое положение А', он не всегда последует путем, который будет соответствовать минимуму действия.

Принцип наименьшего  действия перестает быть справедливым.

Герц считает, что  в этом случае шар, который подчинится этому принципу, уподобится живому существу, которое сознательно преследует определенную цель, тогда как шар, следующий закону Природы, представит собой равномерно катящуюся неодушевленную массу. . . Но скажут, что подобные связи не существуют в Природе, такое качение без скольжения все же на самом деле является качением с очень маленьким скольжением. Это явление   входит  в  число  необратимых   явлений,   таких,  как трение, еще мало   известных   и   к   которым мы   еще   не   умеем применять истинные принципы механики.

Герц отмечает, что  качение без скольжения не противоречит ни принципу энергии, ни какому-либо из законов, известных Физике; этот процесс  осуществляется в видимом мире с таким большим приближением, что на предпосылке его точного выполнения основаны даже интеграционные машины (планиметры, гармонические анализаторы и т. д.). Поэтому нельзя исключать существование этого процесса как невозможное ... Является ли он таким или может быть осуществлен лишь приблизительно — трудности не исчезнут. От каждого основного закона нашей системы механики мы должны требовать, чтобы он, будучи применен к задаче с приблизительно точными условиями, всегда давал приблизительно точные результаты, но не совершенно неверные. Впрочем и остальные связи, твердые связи, в природе осуществляются лишь приблизительно; тем не менее их не исключают.

III. СИСТЕМА ГЕРЦА

Вот какую систему  предлагает Герц вместо двух критикуемых  теорий. Эта система покоится на следующих гипотезах:

1. В природе имеются лишь системы со связями, свободные от действия любой внешней силы.

2. Если некоторые тела кажутся нам подчиненными каким-либо силам,   это   значит, что они связаны   с  другими   телами, для нас невидимыми.

Материальная точка, кажущаяся нам свободной, не описывает, тем не менее, прямолинейной траектории. Прежние механики говорили, что точка  отклоняется от прямой, потому, что она подчиняется какой-то силе; Герц говорит, что она отклоняется потому, что она не свободна, но связана с другими невидимыми точками.

Эта гипотеза на первый взгляд кажется странной. Зачем, кроме  видимых тел, вводить невидимые  гипотетические тела? Но, отвечает  Герц,   обе  старые  теории   также вынуждены предполагать, кроме  видимых тел, какие-то невидимые  сущности; классическая теория вводит силы, энергетическая — энергию; но эти невидимые сущности, сила и  энергия, имеют неизвестную таинственную природу; гипотетические же сущности, которые предполагаю я, имеют, наоборот, совершенно такую же природу, как и видимые тела. Не проще ли это и естественнее?

По этому поводу можно спорить и утверждать, что  сущности старинных теорий должны быть сохранены как раз по причине  их таинственной природы. Уважать эту  таинственность значит признать свое невежество, и поскольку наше невежество несомненно, не следует ли лучше признать его, чем скрывать? Но посмотрим дальше,   какой   вывод  делает   Герц из своих гипотез.

Движения систем со связями, без внешних сил, управляются  единым законом.

Среди движений, совместимых  со связями, осуществляется то, для  которого сумма масс, умноженных на квадрат ускорений, будет минимальной.

Этот принцип соответствует  принципу наименьшего действия, если система голономная, но он более  общий, так как применим также  к системам неголономным.

   Чтобы лучше убедиться в значении этого принципа, возьмем простой пример точки, вынужденной двигаться по поверхности. Здесь мы имеем только одну материальную точку, следовательно, ускорение должно быть минимальным; для этого необходимо, чтобы тангенциальное  ускорение  было равно нулю.   Так как это

ускорение  равно  dv/dt ,   где v-- скорость,   а t — время,  то отсюда

следует, что v — есть константа, и движение точки равномерно. Нужно,   кроме   того,   чтобы   нормальное   ускорение  было  минимальным, а оно равно v²/p—, где р — радиус кривизны   траектории, или равно  v²/R Cos Ф  , где R — радиус кривизны нормального сечения поверхности и Ф — угол между плоскостью касательной к траектории и нормалью к поверхности.

При этом скорость предполагается известной но величине и направлению. Следовательно, v и R известны. Надо также, чтобы Соs Ф  равнялся единице, тогда касательная поверхность будет нормальна к поверхности, т. е. материальная точка будет описывать геодезическую линию. Чтобы дать теперь понять, как можно объяснить движение систем, которые представляются нам подчиненными некоторым силам, я возьму еще один простой пример, а именно — регулятор с шарами. Это хорошо известный прибор состоит из параллелограмма на шарнирах АВСD: на противоположных углах В и О укреплены шары значительной массы; верхний угол А неподвижен, на нижнем углу С имеется кольцо, которое может скользить вдоль неподвижного вертикального стержня АХ; всему прибору   сообщено   вращательное   движение   вокруг стержня АХ.

К кольцу С подвешен металлический прут Т.

Центробежная сила стремится отклонить шары и, следовательно, поднять кольцо и прут Т. Значит этот прут подвергается тяге, которая тем сильнее, чем быстрее вращение.

Предположим теперь наблюдателя, который видит только прут, и представим себе, что шары, стержень АХ и параллелограмм сделаны из материала, невидимого для него. Этот наблюдатель будет констатировать наличие тяги, действующей на прут Т, но так как он не увидит то, что ее производит, то этот наблюдатель припишет указанную тягу таинственной причине — некой «силе», некоему притяжению,—действующей от точки А на прут.