Дедукція у логіці висловлювань і логіці предикатів (2 год.)

Тема 4. Дедукція у логіці висловлювань і логіці предикатів (2 год.).

 

4.1. Вираження аргументів у логіці висловлювань.

4.2. Правила дедуктивного виводу  в логіці висловлювань. Redictio ad absurdum.

4.3. Правила дедуктивного виводу в логіці предикатів.

 

4.2. Правила дедуктивного виведення - правила дедуктивного умовиводу, які визначають строге (необхідне) виведення певного висловлювання (висновку) з вихідних висловлювань (засновків) на підставі логічних законів.

Прикладами правил дедуктивного виведення є правила введення й усунення пропозиційних зв'язок (логічних постійних) (див. 4.2.1), правило дедукції - модус поненс тощо. На підставі правил виведення визначають, чи є формула певного виду вивідною чи невивідною, доказовою або недоказовою.

Вивідна формула - формула виду А, яку виводять за допомогою правил виведення зі скінченної послідовності формул виду А1,А2,... Ая, кожна з яких є тавтологією і належить до множинності формул системи 5, відповідно, невивідною є формула, яку не виводять з цих формул.

Символічний запис (А,, А2,Ап) н А засвідчує, що формулу А виводять з аксіом А,, А2.....Ап.

Доказовою називають формулу, яка має формальне доведення  за правилами логічного виведення  в межах певної системи 5, а недоказовою  є формула, яка за правилами логічного  виведення не є формально доведеною в межах певної системи 5'.

Семантика - інтерпретація  символів певної системи та надання  їм істиннісного значення. Для інтерпретації  створюють семантичну модель, яка  приписує смисл символам, які в  сукупності створюють певну формально-логічну систему. Таких інтерпретованих моделей може бути побудовано багато. На семантичному рівні визначають також основні семантичні різновиди формул. Оскільки у побудованих логіками та математиками формально-логічних системах створено багато формул, то їх поділяють на такі види: тотожно-істинні формули, тотожно-хибні формули, нейтральні формули.

Тотожно-істинна формула  має значення істинності ("істина") для всіх значень змінних, які  входять до структури формули, її ще називають тавтологією (термін Л. Вітгенштайна), загальнозначущою формулою, логічним законом.

Тотожно-хибна формула  має значення хибності ("хибність") при всіх значеннях змінних, що входять  до структури формули.

Нейтральна формула - формула, яка не є ні тотожно-істинною, ні тотожно-хибною в межах певної формально-логічної системи S.

Установлення того, що деяка  формула певного виду тотожно-істивна, тотожно-хибна або нейтральна, здійснюють за допомогою специфічних методів. Одним із таких методів на семантичному рівні є метод побудови таблиць істинності, метод побудови аналітичних таблиць тощо. На синтаксичному рівні для цього використовують метод зведення формул до їх кон'юнктивного або диз'юнктивного виду (про це йтиметься в 4.2.1).

Інтерпретація формально-логічної системи (лат. interpreta-tio- роз'яснення, тлумачення) - 1) роз'яснення значення логічних символів за правилами визначення їхньої істинності та правилами позначення пропозиційних змінних на підставі принципів несуперечності та повноти; 2) побудова семантичної моделі певного типу формально-логічної системи (формалізму) для певної предметної галузі. Розрізняють внутрішню та зовнішню інтерпретацію формально-логічної системи. Внутрішня інтерпретація в контексті мета логічного аналізу формально-логічних систем означає семантичну модель, що будується з метою розкриття значення символів формалізованої мови та надання істиннісного значення висловлюванням у межах певної формально-логічної системи. Інтерпретація має таку послідовність: у межах певної формальної системи S визначають абстрактний об'єкт (предмет, властивість, відношення), який позначають певним символом. Сукупність таких об'єктів називають полем інтерпретації. Кожне висловлювання, що стосується певного об'єкта в системі S, набуває значення істинності ("істина" або "хибність"). Система S, яку вибирають для інтерпретації, називається семантичною моделлю. Для кожної конкретної формально-логічної системи може бути побудована семантична модель, тобто її інтерпретація.

 

 Доведення до абсурду ( лат. reductio ad absurdum ), Або апагогія ("зведення", др.-греч. Εις άτοπον απαγωγή ) - логічний прийом, яким доводиться неспроможність якого-небудь думки таким чином, що або в ньому самому, або ж в необхідно з нього випливають наслідках виявляється протиріччя.

Окремим випадком доведення  до абсурду є доказ від протилежного.

4.3 Дедуктивним (лат. deductio – "виведення”) є умовивод, в якому перехід від загального до часткового є логічно необхідним. В залежності від кількості засновків дедуктивні виводи з категоричних суджень діляться на безпосередні – висновок виводиться з одного засновку, і опосередковані – з двох засновків.

До побудованих  за допомогою переробки безпосередніх  умовиводів відносяться: 1) перетворення, 2) обернення; 3) протиставлення предикату; 4) умовивод за логічним квадратом.

1) Перетворення – переробка судження в судження, протилежне по якості з предикатом, який протирічить предикату вихідного судження (~~р≡р). А перетворюється в Е; Е в А ;

І в О ; О в І .

2) Обернення – перетворення судження в результаті якого суб'єкт вихідного судження стає предикатом, а предикат – S висновку. Підкоряється правилу: термін, не розподілений в засновку, не може бути розподілений в висновку. Простим чи чистим є обернення без зміни кількості судження – це обернення судження, в яких обидва терміни розподілені чи нерозподілені. Якщо ж вихідного судження нерозподілений, то він залишиться таким в висновку, де він стане S, тому його обсяг обмежиться. Це обернення з обмеженням.

А обертається в І, тобто з обмеженням (S+) – (P-) à (S-) – (P-).

І в І

Е в Е

Частковоствердне  виділяючи судження (Р+) перетворюється в загально ствердне

О – не підлягає оберненню.

3) Протиставлення предикату – це перетворення судження, в результаті якого S стає поняття, яке протирічить Р, а Р – S вихідного судження.

А перетворюється в Е

Е в І

І за допомогою протиставлення не перетворюється.

О в І

4) Умовиводи за "логічним квадратом”. Виводи встановлюють слідування істинності чи хибності одного судження з істинністю чи хибністю іншого.

Розглянемо ці виводи:

Відношення протиріччя (котрадикторності) (А-О, Е-І) схеми: Aà~O, ~AàO, Eà~I, ~EàI.

Відношення протилежності (контрарності) (А-Е) схеми: Aà~E, Eà~A, ~Aà(Ev~E), ~Eà(Av~A).

Відношення часткової  сумісності (субконтрарності) (І-О) схеми  по яким будуються виводи: ~IàO, ~OàI, Ià(Ov~O), Oà(Iv~I).

Відношення  підпорядкування (А-І, Е-О) схеми: AàI, EàO, EàO, Ià(Av~A), Oà(Ev~E), ~Ià~A, ~Oà~E, ~Aà(Iv~I), E(Ov~O).

Тема 5. Модальна логіка і  семантика можливих світів (2 год.).

 

5.1. Мова модальної  логіки висловлювань.

5.2. Модальні аксіоми.  Системи модальної логіки.

5.3. Семантика можливих світів:  модальні моделі, відношення досяжності.

5.4. Логіка часу (tense logic).

 

5.1. Модальна логіка - напрям сучасних логічних досліджень; модальна система, створена на підставі певного типу модальності. Визначимо зміст понять, які виявляють специфіку побудови модальних систем.

Модальність (лат. modus - спосіб) - властивість висловлювання, що визначає характер об'єктивних відношень між  предметами та явищами, про які йдеться  у висловлюванні; тип зв'язку між  суб'єктом і предикатом у структурі  висловлювання й уточнення його логічного статусу. Це додаткові слова, котрі входять до структури висловлювань і надають їм нового смислу. До таких слів належать: "необхідно", "можливо", "насправді", "випадково", "дозволено", "заборонено", "доведено", "спростовано", "знає", "вірує" і под.

Додаткові слова, що входять до структури висловлювання, називають модальністю, або модальним оператором.

Залежно від того, яка  модальність надає висловлюванню  нового смислу, оцінює те, що стверджується  або заперечується, розрізняють  типи модальностей:

- алетичні ("необхідно", "можливо", "насправді", "випадково"); Мова алетичної логіки включає такі оператори:

 - „необхідно”. Наприклад, (рр),  (рq);

◊ - можливо, ◊ (рр);

Δ - „випадково”, Δ(рq).

 

- деонтичні  ("обов'язково", "дозволено", "заборонено"); «О» - «обов’язково»,

«Р» - «дозволено»,

«F» - „заборонено”.

 

- епістемічні  ("знає", "вірує", "сумнівається", "відомо", "невідомо", "переконаний"); Епістемічна логіка має і свою мову:

Ка – «а знає, що…»,

Ва – «а вважає, що…»,

Са – «а сумнівається, що…»,

Оа – «а спростовує що…».

 

- часові ("було", "є", "буде") тощо.

Система, сформована на підставі того або іншого типу модальності, має назви "алетична логіка", "деонтична логіка", "епістемічна логіка", "часова логіка" та ін. (термін "логіка" використовують у цьому контексті як "теорія", "формально-логічна система").

Кожен тип модальності  визначають з погляду об'єктивних (фактичних) і логічних детермінантів. Алетична модальність, зокрема, детермінується з погляду об'єктивних законів природи, суспільства й логічних законів, деонтична модальність - з погляду прийнятних у суспільстві правових і моральних норм, епістемічна модальність - з погляду закономірностей пізнання об'єктивного світу, часова модальність - з погляду часових характеристик того, що відбувається в світі.

На підставі визначення об'єктивних (фактичних) і  логічних детермінантів розрізняють  онтологічну й логічну модальність.

Онтологічна модальність - фактична детермінованість висловлювань з певним типом модальності, коли їх істинність або хибність визначають на підставі дійсного стану справ (фактичних  даних).

Логічна модальність - це логічна детермінованість висловлювань з певним типом модальності, коли їх істинність або хибність визначають логічними законами.

За логічною характеристикою розрізняють абсолютні  та порівняльні (відносні) модальності, що означають властивість і відношення.

Абсолютні модальності  характеризують властивості певних емпіричних або абстрактних об'єктів, а порівняльні - відношення між об'єктами. У кожній модальній системі виокремлюють особливі абсолютні модальності, котрі визначають властивості об'єкта, про який мовиться у висловлюванні, та порівняльні модальності, що визначають відношення між об'єктами. Скажімо, у модальній системі з часовими модальностями абсолютна модальність виражена словами "було", "є", "буде", а порівняльні модальності - словами "раніше", "одночасно", "пізніше".

Особливості побудови модальних систем

Модальна система - формально-логічна система (модель, теорія, числення модальних висловлювань), створена на підставі певного типу модальності засобами особливої  мови на загальних принципах побудови некласичних логік.

У модальних  системах виокремлюють немодальну частину та суто модальну частину. Немодальна частина становить побудову матриць і аксіом за принципом двозначності (класичної символічної логіки). Суто модальна частина означає введення певного типу модальності та встановлення логічних відношень між висловлюваннями з введеним типом модальності.

Розрізняють семантику  та синтаксис модальної логіки.

У семантичному аспекті визначають структуру модальних  висловлювань на змістовному рівні. Це дає змогу виявити властивості  висловлювань із певним типом модальності й виокремити онтологічні та логічні модальності, ввести терміни, що виокремлюють сферу міркувань з модальними висловлюваннями - висловлювання, властивість, відношення, терміни, які виокремлюють вид модальності - алетична, деонтична, епістемічна, часова та істиннісне значення висловлювання.

За значенням  істинності модальна система є багатозначною, тобто висловлювання з певним типом модальності набуває п > 2 істиннісних значень.

У синтаксичному  аспекті структуру модальних  висловлювань визначають абстрактно від їх змісту і формалізують засобами штучно створеної мови, на підставі чого здійснюють логічні операції над символами, що зображають логічні відношення між модальностями (числення модальностей).

Мова модальної  логіки - це система символів, що створюють алфавіт. До нього входять символи, введені в класичну символічну логіку, та нові символи, що позначають терміни, введені в модальну логіку.

Кожна модальна система (алетична, деонтична, епістемічна, часова та ін.) має особливі терміни, які позначають тип модальності, й символи, що позначають ці терміни (вони будуть названі в процесі розгляду окремих модальних систем).

Алетичні модальні поняття:

• Логічні
• L — необхідно
• M — можливо
• С — випадково
• Фактичні
•  — необхідно
•  — можливо
•  — випадково