Лекции по "Логике"

    В качестве  основных в  системе натурального  вывода принимаются  следующие  правила,  представляющие   собой  процедуры введения и удаления логических связок.                       

    Под доказательством в формализованной системе  имеют в виду  последовательность  формул, после  устранения (вычеркивания)  всех  допущений  в  которой  получают в  заключении вывода тождественно   истинную   формулу  (теорему).   Операция  доказательства  при  этом  исходит  из  двух аспектов  одной и  той же идеи:  при  истинных  посылках   заключение  также   должно  быть истинным  и  при  ложности  заключения  посылки  не   могут  быть истинными.                                                      

    В соответствии с этими положениями принимаются два  способа доказательства: прямое и косвенное.                     

    Прямое  доказательство   строится  следующим   образом.  Если доказываемое   положение   является   импликативным  выражением типа  х1   (х2   ...   хn), то  по строчкам  выписываются все антецеденты  от  х1  до  х n-1. В  доказательство присоединяются: ранее   доказанные  положения   и  новые   выражения,  полученные по  правилам  СНВ.  Доказательство  считается  законченным,  если последним  получено  выражение  хn,  т.  е.  консеквент последней импликации.                                                     

     Косвенное  доказательство  строится другим  способом. Если доказываемое  положение  является  импликативным выражением типа х1  (х2  ...  хn), то построчно выписывают  все антецеденты  от  х  до  х n-1  в  качестве  допущений;  в последней строчке  выписывают  отрицание  последнего консеквента  - хn в качестве допущения косвенного  доказательства. Далее  в доказательство  присоединяются:  ранее  доказанные   положения  и новые выражения,  полученные из  предыдущих по  правилам СНВ. Доказательство считается законченным, если в  нем обнаруживают две противоречивые  строчки и  тем самым  вместо допущения косвенного доказательства хn принимается консеквент исходного выражения хn.                                               

Доказательство считается законченным: принимается р.         

Основными   логическими   свойствами   системы  натурального вывода являются ее непротиворечивость и полнота.             

Непротиворечивость  системы  означает,  что   каждая  доказуемая в  ней формула  выступает тождественно  истинным выражением, т. е. содержит закон  логики. Иными  словами: непротиворечивость системы  проявляется в  том случае,  если в  ней одновременно недоказуемы выражения А и .                        

Полнота   системы  означает,   что  каждый   логический  закон является в  ней доказуемой  формулой (теоремой).  Иными словами: система считается полной, если она располагает логическими средствами,  обеспечивающими  доказуемость  в   ней  выражений (формул), содержащих логические законы.                      

         Таким   образом,  требование   непротиворечивости  предполагает  поиск  эффективных  логических  средств  обоснования,  или доказательства, а требование полноты системы предполагает, что при  наличии  истинных  выражений   должны  быть   и  средства их обоснования.  Логика высказываний, построенная как аксиоматическая система, включает наряду с языковой частью ряд тождественно  истинных формул, которые выполняют в системе роль аксиом. Все другие выражения (формулы) принимаются лишь в том случае,  если они следуют из аксиом системы или вводятся по определению.                                                       

      Логический  механизм     доказательства     в  аксиоматической системе  строится с  помощью правила  modus ponens  и правила подстановки. Оба  этих правила  позволяют отвлекаться  от конкретного  содержания  и  значения  выражений  и  оперировать с ними лишь на основе их структурных особенностей.             

     При   построении   логики  высказываний   как  аксиоматической системы  могут  быть использованы  различные аксиомы  и исходные  логические  символы.  Несмотря на  различия, аксиоматические  системы   должны  быть   в  конечном   итоге  дедуктивно эквивалентными. Это значит, что  каждая теорема  одной системы должна быть теоремой другой, и наоборот .                   

     Понятие  о   логике  предикатов.   Логика  предикатов   -  это формализованная  логическая  система,  анализирующая  процессы рассуждения  с   учетом  внутренней   структуры  высказываний. В соответствии  с этим  алфавит формализованного  языка логики предикатов  строится  путем  присоединения  к   языку  логики высказываний  новых  исходных  символов.   Таковыми  являются: символы  для  предметных  постоянных; символы для предметных переменных; символы  для предикатов ;  символы для количественной   характеристики   высказываний: квантор общности, квантор существования.                         

    Далее  язык логики  предикатов определяет  понятие правильно построенной  формулы  (ППФ).

    Логика предикатов, так же как и логика высказываний, может быть построена в виде системы натурального вывода  либо аксиоматически.                                         

    При  натуральном построении  логики предикатов  к логической части  СНВ  присоединяются:  операция  подставки  вместо  одних предметных  переменных  других  переменных  и  правила введения и исключения кванторов.                                      

    Логика  предикатов  является  более общей  логической системой и включает логику высказываний как  свою часть.  Она располагает  более  эффективными  логическими  средствами  для  анализа рассуждений в естественном языке.                       

Глава 10. ИНДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ                                                           

1. Общая характеристика индуктивных умозаключений                                                             

    Наряду  с  дедукцией,  регулирующей  логические  переходы от накопленных  наукой   и  практикой   общих  знаний   к  знаниям частным,  важное  значение  в познании  принадлежит умозаключениям,  в  форме  которых осуществляется  обобщение человеческого опыта.                                                    

    Познание  в  любой  области  науки  и практики  начинается с змпирического  познания  -  анализа  чувственно  воспринимаемых качеств  и свойств  отдельных предметов  и явлений.  В процессе наблюдения  однотипных  природных  и  социальных   явлений  исследователь  фиксирует  внимание на  повторяемости определенного  свойства  в  сходных  условиях.   Устойчивая  повторяемость наводит  на  мысль,  что  она  является  не  индивидуальным,  а общим  свойством,  присущим  всем явлениям  определенного класса.  Логический  переход  от  знания  частного к  знанию общему совершается  в  этом  случае  в  форме индукции  (от латинского inductio - наведение) .                                      

    Индуктивным называют такое умозаключение, в  форме которого  протекает  эмпирическое  обобщение,  когда   на  основе повторяющегося признака у  отдельных явлений  делается заключение  о  его  принадлежности  всем   явлениям  определенного класса.                                                     

    В истории физики, например, опытным путем  было установлено,  что  железные  стержни  хорошо  проводят  электричество. Такое  же  свойство  было  обнаружено у  медных стержней  и у серебра.  Учитывая  принадлежность  указанных  проводников  к металлам, было сделано индуктивное обобщение, что всем метал лам свойственна электропроводность.                         

    Посылками  индуктивного  умозаключения   выступают  суждения,   в   которых   фиксируется  полученная   опытным  путем информация  об  устойчивой  повторяемости  признака   у ряды явлений , принадлежащих  одному и  тому же классу  .

    В  основе  логического  перехода от  посылок к  заключению в индуктивном    выводе   лежит    подтвержденное   тысячелетней производственной  и научной  практикой положение  о закономерном  развитии  мира, всеобщем  характере причинной  связи, проявлении необходимых качеств и свойств явлений через  их всеобщность  и  устойчивую  повторяемость.  Именно  эти  закрепляемые в  диалектико-материалистической  методологии  положения  предопределяют  познавательную  эффективность  индукции  и теоретически   оправдывают   логическую   состоятельность  индуктивных выводов.                                                     

    Основная  функция  индуктивных  выводов  в  процессе познания - генерализация, т. е. получение общих суждений.  По своему  содержанию  и   познавательному  значению   эти  обобщения могут  носить  различный  характер  - от  простейших обобщений каждодневной практики  до эмпирических  обобщений в  науке или универсальных  суждений,  выражающих  всеобщие  законы  науки.

      Индуктивные умозаключения представляют собой логические процедуры,  в  форме  которых  обобщаются  результаты опытных исследований.  Полнота  и  законченность   опыта  существенно

влияют  на  характер  логического  следования  в  индуктивных выводах,  предопределяя  в  конечном  счете демонстративность или недемонстративность индуктивных умозаключений.            

      В зависимости от  полноты и  законченности эмпирического исследования  различают  два вида  индуктивных умозаключений: полную  индукцию  и  неполную  индукцию.  Рассмотрим  особенности этих видов умозаключений.                             

2. Полная индукция

      Полная индукция - это умозаключение, в котором на основе повторяемости  признака  у  каждого из  явлений определенного класса  заключают  о  принадлежности  этого   признака  всему классу явлений.                                               

      Такого рода индуктивные умозаключения применяются лишь в тех случаях, когда исследователь имеет дело с замкнутыми  классами, число элементов в которых является конечным и легко обозримым  (например, число  планет Солнечной  системы, виды треугольников, количество   промышленных   предприятий   в   данном  регионе и т. п.).                                                   

    Представим,  что  перед  специально   созданной  комиссией поставлена задача проверить состояние  финансовой дисциплины на  предприятиях  конкретного  производственного объединения. Известно, что в его состав входят пять отдельных предприятий. Обычный способ проверки в этих случаях -  анализ деятельности каждого из пяти предприятий.  Если окажется,  что ни  в одном из  них  не  обнаружено  финансовых  нарушений, то  тем самым можно сделать  обобщающее заключение  - все  предприятия производственного   объединения   соблюдают   финансовую  дисциплину.                                                      

    Предшествующий  индуктивному  обобщению  анализ  замкнутого  множества  явлений  означает  полноту  и законченность эмпирического  исследования  рамками   определенного,  точно фиксированного класса.  В силу  этого выраженная  в посылках информация  о  каждом  элементе  класса  служит  достаточным основанием для логического переноса выявленного  признака на весь класс явлений.                                       

    Содержательно-фактическая  полнота  эмпирического  исследования  предопределяет  демонстративный характер  выводов в умозаключениях  полной  индукции. Если  посылки индуктивного умозаключения  истинны  и  если  они   фиксируют  информацию о  всех  элементах  класса,  то заключение  с необходимостью также будет истинным. В одних  случаях полная  индукция дает утвердительные  заключения,  если  в   посылках  фиксируется наличие  определенного признака  у каждого  элемента класса.

          В  других  случаях  в  качестве  заключения  может выступать отрицательное суждение, если  в посылках  фиксируется отсутствие  определенного признака  у всех  исследованных представителей класса.                                                 

      Познавательная   роль   умозаключений    полной   индукции проявляется  в  формировании  нового  знания о  классе явлений. Если  в  посылках фиксируется  исходная информация  о единичных явлениях  или  разновидностях определенного  рода, то  в заключении  содержится  новое  знание  о классе  или роде  явлений в целом. Логический  перенос признака  с отдельных  предметов или явлений  на класс  в целом  не является  простым суммированием, ибо  знание  о  классе  -  это обобщение,  представляющее собой новую ступень по сравнению с единичными посылками.            

      Так, при выявлении характера  кривой, по  которой движутся планеты вокруг  Солнца, в  астрономии первоначально  было установлено,  что  Марс,  Венера,  Юпитер, Сатурн,  Земля вращаются по  эллипсу.  С  открытием новых  планет было  установлено, что Уран,  Нептун,  Плутон  и Меркурий  тоже вращаются  по эллипсу. В итоге  в форме  полной индукции  было сделано  обобщение, что все  планеты  Солнечной  системы  вращаются  по   эллипсу.  Это новое   знание  имеет   принципиально  иное   значение,  нежели констатация   факта   эллипсообразного   движения   каждой   из планет.  Во-первых,  обобщающий  вывод  оказывает   влияние  на развитие  понятия  “планета  Солнечной  системы”,  поскольку  в содержание  этого понятия  может быть  включен новый  признак - “вращение вокруг Солнца по  эллипсу”. Во-вторых,  вновь обнаруженный  общий  признак  может  служить  основой  для  выявления других  существенных характеристик  всего класса  явлений (например, для  решения вопроса  о механизме  возникновения планет Солнечной системы).                                           

      Демонстративность  полной индукции  позволяет использовать этот  вид  умозаключения  в  доказательном   рассуждении.  Так, в  геометрии  теорема  о  сумме  внутренних  углов треугольника доказывается  отдельно  для трех  типов треугольников  - остроугольных,  прямоугольных,  тупоугольных.  Учитывая, что  в каждом из  них сумма  углов равна  180' и  что все  они составляют замкнутое  (исчерпывающее)  множество,  на  этой  основе строят индуктивное обобщение: во всяком  треугольнике сумма  его внутренних углов равна 180'.