Алан Мэтисон Тьюринг

Но с какими машинами лучше всего начать двигаться к этой цели? Даже на этот вопрос ответить затруднительно. Многие люди думают, что лучше всего машина может выявить свои возможности в чрезвычайно абстрактной области, подобной игре в шахматы. Можно также утверждать, что лучше всего было бы снабдить машину наилучшими “органами чувств” (датчиками) из числа тех, что можно купить, а затем учить эту машину понимать и говорить по-английски. Этот процесс может быть сходен с обычным обучением ребенка. То есть машине надо указать на тот или иной предмет, назвать его и т. п. Повторяю, что я не знаю, как правильно ответить на этот вопрос, но я думаю, что следует попытаться использовать два этих подхода.

Мы можем заглядывать вперед лишь на очень небольшое расстояние, но уже сейчас очевидно, что нам предстоит еще очень многое сделать в той области, которая была предметом настоящей статьи”.

Алан Тьюринг и теория чисел

Ю. В. Матиясевич

Но наряду с привнесением революционных идей в информатику, искусственный интеллект и биологию, Алан Тьюринг внёс существенный вклад и в такой традиционный раздел математики, как теория чисел. К сожалению, даже о самом существовании таких исследований Алана Тьюринга за пределами круга теоретико-числовиков известно немногим.

Все опубликованные им работы по теории чисел связаны с одним, но фундаментальным вопросом этой области математики – распределением простых чисел.

Число Скьюза.

В 1931 году Алан Тьюринг поступил в Кембриджский университет в Англии. Стенли Скьюз к тому времени уже окончил этот университет, но ещё там работал.  Алан и Стенли, занимаясь греблей, плавали в одной лодке, и весьма вероятно, что именно там, на реке Кем, Тьюринг узнал о числе Скьюза из первых уст. Тьюринга привлекла идея получить меньшее значение, но как это сделать?

Когда Алан Тьюринг учился в Кембридже, там одним из преподавателей математики (mathematics supervisors) был Альберт Эдвард Ингам (Albert Edward Ingham). В 1932 году вышло в свет первое издание его ставшей затем классической книги «Распределение простых чисел» (книга была переиздана в 1964 и 1990 годах, её переводы на русский язык вышли в 1936 и в 2005 годах). В этой книге Ингам дал новое, более простое доказательство теоремы Литлвуда, состоящее также из рассмотрения двух случаев – справедливости и ложности гипотезы Римана.   Тьюринг много общался с Ингамом и во время обучения, и позднее по переписке. Когда Тьюринг сообщил Ингаму, что хочет уменьшить число Скьюза.

Теория чисел была серьёзным увлечением Алана Тьюринга начиная от студенческих лет и до последних дней жизни, но, похоже, это увлечение никогда не было главным. В 1936 году Тьюринг опубликовал основополагающую работу «On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem», в которой ввёл свою знаменитую машину. В наши дни машину Тьюринга традиционно описывают как конечное устройство, работающее конечное время с конечным объёмом информации, но интересно отметить, что Тьюринг рассматривал (и это нашло своё отражение в названии) введённые им вычислительные устройства как средство задания вещественных чисел – такие машины должны работать неограниченно долго, выписывая на ленте всё большее и большее количество десятичных знаков задаваемого вещественного числа. Не исключено, что Тьюринга привёл к этому его интерес к теоретико-числовым проблемам.

В 1938 году Тьюринг написал свою диссертацию по математической логике под руководством Алонзо Чёрча (Alonzo Church) в Принстоне, США. Однако возвратившись в том же году в Европу, Тьюринг снова стал заниматься дзета-функцией Римана.

В 1939 году Тьюринг подал заявку на грант Королевского общества (the Royal Society), играющего в Великобритании ту же роль, что академии наук в других странах. В этой заявке Тьюринг просил средства для изготовления аппарата для вычисления значений дзета-функции.

В качестве прототипа были взяты машины для расчётов высоты приливов.

Такие машины использовались начиная с середины 19-го века и вплоть до появления ЭВМ.

Таким образом, идея конструкции аппарата для вычисления дзета-функции не была новой, но оригинальным было применение подобного устройства не для практической цели – вычисления приливов, а для сугубо теоретических целей. В архиве Тьюринга сохранились снимки, показывающие, что конструкция аппарата не была слепым подражанием машине для расчёта приливов.

    Тьюринг получил  грант (запрошенные 40 фунтов стерлингов) и приступил к работе. Ему помогал студент инженерного факультета Дональд Макфейл (Donald C. MacPhail). Удивительно, что они взялись сделать этот достаточно сложный механизм вдвоём.

В заявке на грант Тьюринг указал, что в некоторых случаях потребуется дополнить счёт на аппарате традиционным вычислением. Этому была посвящена работа Тьюринга «A method for the calculation of the zeta-function», поданная в печать в том же мае 1939 года, что и заявка на грант для механического вычисления дзета-функции, но начавшаяся Вторая мировая война прервала работу над аппаратом Тьюринга для вычисления дзета-функции.

Традиционно в описаниях исследований Алана Тьюринга по теории чисел говорится, что его научное наследие состоит из нескольких писем к другим математикам, неопубликованных рукописей, и только двух печатных работ. Это, однако, не совсем так. Есть ещё одна опубликованная Тьюрингом работа, где он изучает гипотезу Римана. По какой-то причине эта работа практически не цитируется специалистами по теории чисел. Возможно, они не ценят полученный там результат, а, возможно, они просто не знают, что в работе, названной «Systems of logic based onordinals» Тьюринг изучает, в частности, гипотезу Римана.