Галилео галилей и его размышление об игре в кости

Чуть позже Галилео  заявлял, что ему больше не интересна его теория об игре в кости, а некоторые исследователи считают, что он знал тайну игры, но открыл её лишь своим приближенным ученикам. Прошли столетия, а людей так же, как и четыреста лет назад интересует таинство игры в кости, но для того, чтобы его открыть, каждый игрок должен самостоятельно практиковаться в этой удивительной игре.

Рассказывают, что однажды  к Г. Галилею явился солдат и попросил помочь ему в решении вопроса, который длительное время не давал ему покоя. [6]

Задача. Какая сумма 9 или 10 очков при бросании трех костей выпадает чаще?

Решение. Может показаться, что шансы равны, так как каждая сумма из 9 и 10 очков может быть получена одним их шести способов:

9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4 = 2 + 2 + 5 = 2 + 3 + 4 = 3 + 3 + 3; 
10 = 1 + 3 + 6 = 1 + 4 + 5 = 2 + 2 + 6 = 2 + 3 + 5 = 2 + 4 + 4 = 3 + 3 + 4.

Однако с учетом перестановок для суммы 9 очков получается 25 различных  способов (6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1), а для суммы 10 очков – 27 различных способов (6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3). Как видно, шансы этих случайных событий довольно близки между собой и относятся к друг другу как 25 : 27, что и вызвало затруднения солдата.

Ответ. Чаще выпадает сумма 10.

 

Galilei G. (1718, итал.), Sopra le scoperte dei dadi. Англ. Перевод (E. H. Thorne, без англ. заглавия) в книге David F. N. (1962), Games, Gods and Gambling. London, pp. 192 – 195.

То обстоятельство, что  при игре в кости определенные числа более благоприятны, чем другие, имеет весьма очевидное основание, а именно некоторые выбрасываются легче и более часто, чем остальные, и это зависит от их возможности составляться более разнообразными количествами чисел. Так, 3 и 18 это броски, которые можно осуществить тремя числами только одним путем (второе при при 6.6.6, а первое при 1.1.1 и никак не иначе). Их труднее выкинуть, чем, скажем, 6 или 7, которые могут  быть составлены несколькими способами, т. е. 6 – как 1.2.3 и [...], a 7 – как 1.1.5, […]. Тем не менее, хотя 9 и 12 могут быть открыты

стольким же числом способов, скольким 10 и 11, и потому должны были бы считаться равными по пользе последним, известно, что длительные наблюдения заставили игроков считать 10 и 11 более благоприятными, чем 9 и 12. И ясно, что 9 и 10 можно составить одним и тем же разнообразием комбинаций номеров (и это также верно для 12 и 11), потому что 9 составляется как 1.2.6, 1.3.5, [...] , т. е. шестью тройками чисел, а 10 – как 1.3.6, 1.4.5, […] и никак не иначе, и комбинаций здесь тоже шесть.

И я, чтобы выполнить обязательство перед тем, кто приказал мне

представить, что бы ни пришло мне на ум по поводу подобной задачи, изложу свои мысли в надежде не только решить ее, но и открыть дорогу к точному пониманию оснований. Поэтому я установил и расположил все подробности игры с большим вниманием и рассудительностью. И, чтобы добиться своей цели с наибольшей ясностью, на которую я только способен, я начну с рассмотрения как, поскольку

игральная кость имеет 6 граней и при броске может одинаково легко упасть на любую из них, с ней можно выбрать только 6 бросков1, каждый из которых отличен от всех остальных. Но если вместе с первой костью кинуть вторую, которая также имеет 6 граней, то можно будет выкинуть 36 бросков, каждый из которых отличен от всех остальных. Потому что каждая грань первой кости сочетается с каждой гранью второй и, стало быть, приводит к шести различным броскам, так что ясно, что таких комбинаций окажется шесть раз шесть, т. е. 36. А если добавить третью кость,

то раз каждая из ее шести граней может сочетаться с каждой из 36 комбинаций двух других костей, мы найдем, что число комбинаций трех костей равно 6 раз 36, т. е. 216, каждая из которых отлична от остальных.

Но поскольку чисел [сумм] в комбинациях бросков только 16, т.е. 3, 4, 5, и т. д. вплоть до 18, и среди них надо распределить эти 216 бросков, необходимо, чтобы некоторым из них принадлежало много бросков. И если мы сможем установить, сколько принадлежит каждому, мы тем самым подготовим путь, чтобы выяснить то, что хотим знать и этого будет достаточно, чтобы исследовать [суммы очков] от трех до десяти, потому что то, что относится к одному из этих чисел, относится и к тому, которое непосредственно больше2.

Для ясного понимания  дальнейшего нужно отметить три обстоятельства. Первое, сумма очков на трех костях, составленная из трех одинаковых чисел, может быть получена только при одном броске. Так, 3 может быть составлено только из трех единиц, а 6, если оно должно состоять из трех двоек, можно [также] выкинуть

только при одном  броске. Второе, сумма трех чисел, два из которых те же самые, а третье – другое, может быть получена тремя путями. Так, 4, которое составлено из двойки и двух единиц, может быть получено при трех различных бросках, т. е. когда 2 очка выпадет на первой кости, а на второй и третьей – 1, или 2 очка на второй кости, а [...]. И также, например, 8, когда оно составлено как 3.3.2, может быть получено тремя путями, т. е. когда 2 открылось на первой кости, а на каждой их других – 3, или [...]. Третье, сумма очков, состоящая из трех различных чисел, может быть составлена шестью путями.Так, например, 8, составленное как 1.3.4, может быть получено при шести различных бросках: первый, когда на первой кости открылось 1, на второй – 3 и на третьей – 4, второй – когда [...]. Итак, мы пока что высказали эти три основных положения. Первое, что тройки, т. е. суммы очков броска трех костей, составленные из трех одинаковых чисел, могут быть получены

только одним путем; второе, что тройки, составленные из двух одинаковых чисел и третьего, отличающегося от них, – тремя путями; и третье, что те тройки, которые составлены тремя различными числами, составляются шестью способами.

Из этих основных положений  мы можем легко вывести, сколькими способами, или, точнее, при скольких различных бросках могут быть получены все суммы очков на трех костях. Это легко понять из следующей таблицы. Сверху указаны суммы очков,

от десяти до трех, при  различных бросках, под ними –  различные тройки, из которых каждая из этих сумм может быть получена, а внизу приведены суммы чисел всех возможных способов осуществления этих бросков. Так, например, первый столбец соответствует сумме очков 10 и в таблице указаны 6 троек, из

которых 10 может состоять, – 6.3.1, 6.2.2, [...]. И поскольку первая тройка, 6.3.1, получена тремя различными числами, она (как высказано выше) осуществима при шести различных бросках, так что рядом с тройкой 6.3.1 помещено число 6. А так как вторая тройка, 6.2.2, получена двумя одинаковыми числами и третьим, отличным от них, она может осуществиться только при трех бросках, так что число 3 помещено [...] и так далее со всеми остальными тройками. И, наконец, под столбцами количеств бросков указаны их суммы. Там можно увидеть, что сумма очков, равная 10, осуществляется при 27 бросках, а сумма 25 – только 25-

ю, 8 очков – при 21 броске, [...] и, наконец, 3 – при одном броске, а все вместе эти суммы дают 108. И поскольку для бóльших сумм очков, т. е. для 11, 12, […], 18, числа бросков оказываются аналогичными, то мы получаем сумму всех возможных бросков, которые могут появиться на гранях трех костей, равную 216. И по этой таблице каждый, кто понимает игру, может очень точно измерить все преимущества, сколь бы малы они ни были для zara, incontri и любого другого специального правила или термина, встречающегося в этой игре3

Примечания

1. Эта фраза неудачна.

2. Это неточно.

3. Самый левый столбец,  о котором автор ничего не  сказал,

повторяет в обратном порядке последнюю строку таблицы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Анучин Д. Люди зарубежной  науки. - М.: Наука, 1960. 
2. Брехт Б. Жизнь Галилея: Драма. - М.: Художественная литература, 1988. 
3. Гиндикин С.Г. Рассказы о физиках и математиках. - М.: Наука, 1985. 
4. Кузнецов Б.Г. Галилей. - М.: Наука, 1964.  
5. Чистяков В.Д. Рассказы об астрономах. - Минск: Наука, 1969.

6. http://www.physchem.chimfak.rsu.ru/Source/History/Persones/Galilei.html