Границы корней многочленов

 

 для  и для .

Значением ряда Штурма в точке c называется количество смен знака в последовательности f0(c),f1(c),...,fs(c) после исключения нулей.

Теорема Штурма Пусть f(x) — ненулевой многочлен с вещественными коэффициентами, f0(x),f1(x),...,fs(x) — некоторый ряд Штурма для него, [a,b] — промежуток вещественной прямой, причём . Тогда число корней многочлена f(x) на промежутке [a,b] равно W(a) − W(b), где W(c) — значение ряда Штурма в точке c.

Ряд Штурма существует для любого ненулевого вещественного многочлена. Пусть  многочлен f(x), отличающийся от константы, не имеет кратных корней. Тогда ряд Штурма для него можно построить, например, следующим образом:

;

;

       Если fk(x) (k > 0) имеет корни, то , где — остаток от деления многочлена f(x) на многочлен g(x) в кольце многочленов , иначе s = k.

Для произвольного многочлена, отличающегося  от константы, можно положить , и далее следовать приведенному выше способу. Здесь (f(x),f'(x)) — наибольший общий делитель многочленов f(x) и f'(x). Если многочлен f(x) есть ненулевая константа, то его ряд Штурма состоит из единственного многочлена f0(x) = f(x).

Ряд Штурма используется для определения  количества вещественных корней многочлена на промежутке. Отсюда вытекает возможность  его использования для приближённого  вычисления вещественных корней методом двоичного поиска.

Построим  указанным выше способом ряд Штурма для многочлена

f(x) = (x − 1)(x − 3) = x2 − 4x + 3

 

Многочлен fi(x)	Знак многочлена в точке
		0	1	2	3	4
f0(x) = x2 − 4x + 3
f1(x) = 2x − 4
f2(x) = 1
Значение ряда в точке

 

Таким образом, по теореме Штурма число корней многочлена f(x) равно: 2 − 0 = 2 на промежутке

2 − 0 = 2 на промежутке (0,4)

2 − 1 = 0 на промежутке (0,2)

Применим метод Штурма к многочлену

Л (*) = *» + 2**—5*3 + 8*2—7* —3.

      Мы не будем при этом предварительно проверять, что h (х) не имеет кратных корней, так как метод построения системы Штурма одновременно служит для проверки взаимной простоты многочлена и его производной.[7,c.32]

        Найдем систему Штурма для h(x), применяя указанный метод. При этом в процессе деления мы будем, в отличие от алгоритма Евклида, умножать и сокращать лишь на произвольные положительные числа, так как знаки остатков играют в методе Штурма основную роль. Мы получим такую систему:

h (х)=хъ + 2х*—5*3+8*2—7х—3, 1ц (х) = б*4 + 8*3 — 15*2 + 16* — 7, /i2(*) = 66*3—150*2 + 172* + 61, h3 (*) = — 464*2 +1135* + 723, Л4 (*) = — 32 599 457* — 8 486 093,

Л6(*) = -1.

Определим знаки многочленов  этой системы при * = —оо и *=оо, для чего, как было указано, следует смотреть лишь на знаки старших коэффициентов и на степени этих многочленов. Мы получим такую таблицу:

	h(x)	М*)	М*)	hs(x)	М*)		Число перемен знаков
— оо	—	+	—	—	+	—	4
со	+	+	+	—	—	—	1

Таким образом, при переходе * от —оо к со система Штурма теряет три перемены знаков, а поэтому многочлен h (*) имеет ровно три действительных корня. Применим метод Штурма к другому многочлену, более простому. Пусть дан многочлен

f (*) = *3+3*2 — 1.

Найдем число его действительных корней, а также целые границы, между которыми каждый из этих корней расположен, причем не будем строить  заранее графика этого многочлена.

Система Штурма для многочлена I (*) будет

f (*) = *® + 3*2 — 1

(*) = 3*2 + 6*, /а (*) = 2* + 1,

Ы*) = 1.

Найдем число перемен  знаков в этой системе при х =—оо и х=оо

		h (X)	f2 (X)	/з М	Число перемен знаков
— 00	—	+	—	+	3
00	+	+	+	+	0

Многочлен / (х) обладает, следовательно, тремя действительными корнями. Для более точного определения положения этих корней продолжим предыдущую таблицу:

		h w	/2 (*)	/3 W	Число перемен знаков
х — —3	—	+	—	+	3
х = — 2	+	0	—	+	2
х= —1		—	—	+	2
* = 0	—	0	+	+	1
х=1	+	+	+	+	0

Таким образом, система Штурма многочлена £ (х) теряет по одной перемене знаков при переходе х от —3 к —2, от —1 к 0 и от 0 к 1. Корни а1 а2 и а3 этого многочлена удовлетворяют, следовательно, неравенствам:

— 3<а1<—2, — 1<а2<0, 0<а3<1.

5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРАНИЦ МНОГОЧЛЕНА

Схема   Горнера .  Решение   уравнений  высших степеней.

Пример 1. Разделить многочлен 2x⁴ – 7x³ – 3х² + 5x – 1 на х + 1.

Решение. Используем схему  Горнера.

	2	-7	-3	5	-1
-1	2	-9	6	-1	0

При делении 2x⁴ – 7x³ – 3х² + 5x – 1 на х + 1 получим 2x³ – 9х² + 6x – 1

Ответ: 2x³ – 9х² + 6x – 1

Пример 2. Вычислить Р(3), где Р(х) = 4x⁵ – 7x⁴ + 5х³ – 2х + 1

Решение. Используя теорему  Безу и схему Горнера, получим:

	4	-7	5	0	-2	1
3	4	5	20	60	178	535

Ответ: Р(3) = 535

Решить уравнение методом  Ньютона.

sin x² + cos x² - 10x. = 0.

Вычисления производить  с точностью е = 0, 001.

Решение:

Вычислим первую производную  функции.

F'(x)=2x cos x² - 2x sin x² - 10.

Теперь вычислим вторую производную  от функции.

F''(x)=2cos x² - 4 x²sin x² - 2sin x² - 4 x²cos x² = cos x² (2-4 x² ) - sin x² (2+4x²).

Теперь возьмём первый приближённый корень и проверим условие (16) : f(x⁽⁰⁾) * f''(x⁽⁰⁾) > 0.

Пусть x⁽⁰⁾ = 0, 565, тогда f(0. 565)*f''(0. 565) = -4. 387 * (-0. 342) = 1. 5 > 0,

Условие выполняется, значит берём x⁽⁰⁾ = 0, 565.

Теперь составим таблицу  значений, для решения данного  уравнения.

k	x(k)	f(x(k))	f'(x(k))	| x(k+1) - x(k) |
0	0. 565	-4. 387	-9. 982	0. 473
1	0. 092	0. 088	-9. 818	0. 009
2	0. 101	0. 000	-9. 800	0. 000
3	0. 101

Отсюда следует, что корень уравнения х = 0, 101.

Пример 2

Решить уравнение методом  Ньютона.

cos x - e^-x2/2 + x - 1 = 0

Вычисления производить  с точностью е = 0, 001.

Решение:

Вычислим первую производную  функции.

F'(x) = 1 - sin x + x*e^-x2/2.

Теперь вычислим вторую производную  от функции.

F''(x) = e^-x2/2 *(1-x²) - cos x.

Построим приближённый график данной функции.

Теперь, исходя из графика, возьмём  первый приближённый корень и проверим условие (16) : f(x⁽⁰⁾) * f''(x⁽⁰⁾) > 0.

Пусть x⁽⁰⁾ = 2, тогда f(2)*f''(2) = 0. 449 * 0. 010 = 0.05 > 0,

Условие выполняется, значит берём x⁽⁰⁾ = 2.

Теперь составим таблицу  значений, для решения данного  уравнения.

k	x(k)	f(x(k))	f'(x(k))	| x(k+1) - x(k) |
0	2	0. 449	0. 361	1. 241
1	-0. 265	0. 881	0. 881	0. 301
2	-0. 021	0. 732	0. 732	0. 029
3	0. 000	0. 716	0. 716	0. 000
4	1. 089

Отсюда следует, что корень уравнения х = 1. 089.

Пример 3

Решить уравнение методом  Ньютона.

x² - e^-x = 0.

Вычисления производить  с точностью е = 0, 001.

Решение:

Вычислим первую производную  функции.

F'(x) = 2*x + e^-x.

Теперь вычислим вторую производную  от функции.

F''(x) = 2 - e^-x.

Теперь возьмём первый приближённый корень и проверим условие (16) : f(x⁽⁰⁾) * f''(x⁽⁰⁾) > 0.

Пусть x⁽⁰⁾ = 1, тогда f(2)*f''(2) = 0. 632 * 1, 632 = 1, 031 > 0,

Условие выполняется, значит берём x⁽⁰⁾ = 1.

Теперь составим таблицу  значений, для решения данного  уравнения.

k	x(k)	f(x(k))	f'(x(k))	| x(k+1) - x(k) |
0	1, 000	0, 632	2, 368	0, 267
1	0, 733	0, 057	1, 946	0, 029
2	0, 704	0, 001	1, 903	0, 001
3	0, 703

Отсюда следует, что корень уравнения х = 0, 703.

Пример 4.

Решить уравнение методом  Ньютона.

cos x -e^-x/2+x-1=0.

Решение:

Вычислим первую производную  функции.

F'(x) = -sin x + e^-x/2/2+1.

Теперь вычислим вторую производную  от функции.

F''(x) = -cos x - e^-x/2 /4.

Теперь возьмём первый приближённый корень и проверим условие (16) : f(x⁽⁰⁾) * f''(x⁽⁰⁾) > 0.

Пусть x⁽⁰⁾ = 1, тогда f(2)*f''(2) = -0. 066 * (-0. 692) = 0. 046 > 0,

Условие выполняется, значит берём x⁽⁰⁾ = 1.

Теперь составим таблицу  значений, для решения данного  уравнения.

k	x(k)	f(x(k))	f'(x(k))	| x(k+1) - x(k) |
0	1, 000	-0. 066	0. 462	0. 143
1	1. 161	-0. 007	0. 372	0. 018
2	1. 162	0. 0001.	0. 363	0. 001
3	1. 162