Знакопеременные ряды

Для условно сходящихся рядов ситуация меняется. Имеет место теорема Римана (приводится без доказательства):

Теорема (Риман):

Пусть ряд из   условно сходится. Тогда для любого   из   существует такая перестановка  , что  .

3.3 Формула Эйлера

Приведём пример условно сходящегося ряда и его перестановку, которая уменьшает сумму ряда в два раза.

Установим следующую формулу:

Теорема (Эйлер):

Выполняется равенство: , где   называется постоянной Эйлера

Доказательство:

Рассмотрим интеграл Воспользуемся тем, что  : По монотонности  :  Итак, ряд   является положительным и мажорируется сходящимся рядом  . Значит, этот ряд сходится. В выражении   при предельном переходе и получаем искомую формулу, обозначая

 

3.4  Перестановка, меняющая сумму ряда

Утверждение:

Представленный ряд сходится, так как является рядом Лейбница. Пусть он сходится к  , тогда  , но:

Переставим ряд следующим образом: за каждым слагаемым с нечётным номером пишем два последовательных слагаемых с чётными номерами

Утверждение:

Сумма этого ряда равна

Так как общее слагаемое ряда стремится к нулю, то достаточно показать, что сходится ряд с расставленными скобками: Рассмотрим частичную сумму ряда с расставленными скобками:

3.5 Перемножение рядов

Две суммы из конечного числа слагаемых перемножаются почленно. Для бесконечного числа слагаемых необходимо формализовать процесс перемножения.

Организуем бесконечную матрицу из чисел  . Пусть   — правило обхода матрицы, по которому матрицу можно развернуть в строку, то есть ряд, сумму которого можно посчитать (при сходимости такого ряда).

Если сумма такого ряда равна произведению сумм исходных рядов, то говорят, что два ряда можно перемножить по способу  .

Важнейший способ перемножения - способ Коши произведения по диагонали:

Теорема:

Пусть положительные ряды   абсолютно сходятся и имеют суммы   и  . Тогда их можно перемножить любым способом  .

Доказательство:

Используя положительность рядов, ведём рассуждения для достаточно большого количества слагаемых частичных сумм. Так как в любую наперёд заданную клетку мы попадём, то ясно, что через некоторое количество шагов все клетки некоторого левого верхнего квадрата уже будут пройдены. Сумма элементов квадрата   не превосходит частичной суммы, которая, в свою очередь не превосходит суммы элементов окаймляющего квадрата. Но, если устремить   к бесконечности, то частичная сумма ряда по принципу сжатой переменной стремится к  , что и требовалось доказать.

Теорема:

Пусть ряды из   абсолютно сходятся и имеют суммы   и  . Тогда их можно перемножить любым способом  .

Доказательство:

Определим   как сумму вспомогательного ряда  ,   как сумму  . Аналогично определяем   и  . По определению,  . Раскладывая ряд по линейности на сумму положительных произведений вспомогательных рядов и приходим к искомому утверждению.

При перемножении рядов по правилу Коши, можно ослабить требования на сходимость рядов. Установим следующую теорему:

Теорема (Мертенс):

Пусть ряд из   — абсолютно сходящийся, а ряд из   — условно сходящийся. Тогда эти два ряда можно перемножить по способу Коши.

Доказательство:

Для удобства нумеруем слагаемые рядов   и  , начиная с нуля. Пусть  . Тогда сумма   — частичная сумма произведения рядов по правилу Коши. Если доказать, что  , то из последнего равенства получается искомое. Перебросив индексы в сумме, получаем: Обозначим два слагаемых в последней сумме как   и  . Последовательность   — бесконечно малая, значит она ограничена, пусть числом  . Тогда . Так как ряд   абсолютно сходится, то сумма стремится к нулю при  . Значит, начиная с какого-то номера она не превзойдёт  . Итого,  . . , следовательно, сумма стремится  к нулю.

 

4. Историческая справка

Историческая справка.

Решение многих задач сводится к вычислению значений функций и интегралов или к решению дифференциальных уравнений, содержащих производные или дифференциалы неизвестных функций.

Однако точное выполнение указанных математических операций во многих случаях оказывается весьма затруднительным или невозможным. В этих случаях можно получить приближенное решение многих задач с любой желаемой точностью при помощи рядов.

Ряды представляют собой простой и совершенный инструмент математического анализа для приближенного вычисления функций, интегралов и решений дифференциальных уравнений.

Теория рядов создавалась в тесной связи с теорией приближенного представления функций в виде многочленов. Впервые это сделал И. Ньютон (1642 – 1727). в 1676г. В его письме к секретарю Лондонского Королевского Общества появилась формула:

,

которую мы знаем как формулу бинома Ньютона.

Здесь мы видим функцию  , представленную в виде многочлена. Но если число  не является натуральным, в правой части равенства получается не полином, а бесконечная сумма слагаемых, то есть ряд.

Развивая идею Ньютона, английский математик Брук Тейлор (1685 – 1731) в 1715г. доказал, что любой функции, имеющей в точке   производные всех порядков, можно сопоставить ряд:

.

Мы не можем пока поставить знак равенства между функцией  , принимающей конечное значение для любого значения  , и стоящим справа функциональным рядом.

Для того, чтобы вместо знака “ ” можно было поставить знак равенства, необходимо провести некоторые дополнительные рассуждения, связанные именно с бесконечностью числа слагаемых в правой части равенства и касающиеся области сходимости ряда.

При   формула Тейлора принимает вид, в котором называется формулой Маклорена:

.

Колин Маклорен (1698 – 1746), ученик Ньютона, в работе “Трактат о флюксиях” (1742) установил, что степенной ряд, выражающий аналитическую функцию, - единственный, и это будет ряд Тейлора, порожденный такой функцией. В формуле бинома Ньютона коэффициенты при степенях   представляют собой значения  , где  .

Итак, ряды возникли в XVIII в. как способ представления функций, допускающих бесконечное дифференцирование. Однако функция, представляемая рядом, не называлась его суммой, и вообще в то время не было еще определено, что такое сумма числового или функционального ряда, были только попытки ввести это понятие.

Например, Л. Эйлер (1707-1783), выписав для функции соответствующий ей степенной ряд, придавал переменной   конкретное значение  . Получался числовой ряд. Суммой этого ряда Эйлер cчитал значение исходной функции в точке  . Но это не всегда верно.

О том, что расходящийся ряд не имеет суммы, ученые стали догадываться только в XIX в., хотя в XVIII в. многие, и прежде всего Л. Эйлер, много работали над понятиями сходимости и расходимости. Эйлер называл ряд  сходящимся, если его общий член   стремится к нулю при возрастании  .

В теории расходящихся рядов Эйлер получил немало существенных результатов, однако результаты эти долго не находили применения. Еще в 1826г. Н.Г. Абель (1802 – 1829) называл расходящиеся ряды “дьявольским измышлением”. Результаты Эйлера нашли обоснование лишь в конце XIX в.

В формировании понятия суммы сходящегося ряда большую роль сыграл французский ученый О.Л. Коши (1789 – 1857); он сделал чрезвычайно много не только в теории рядов, но и теории пределов, в разработке самого понятия предела. В 1826г. Коши заявил, что расходящийся ряд не имеет суммы.

В 1768г. французский математик и философ Ж.Л. Д’Аламбер исследовал отношение последующего члена к предыдущему в биномиальном ряде и показал, что если это отношение по модулю меньше единицы, то ряд сходится. Коши в 1821г. доказал теорему, излагающую в общем виде признак сходимости знакоположительных рядов, называемых теперь признаком Д’Аламбера.

Для исследования сходимости знакочередующихся рядов используется признак Лейбница.

Г.В. Лейбниц (1646 – 1716), великий немецкий математик и философ, наряду с И. Ньютоном является основоположником дифференциального и интегрального исчисления.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованных источников

Основная:

         1. «Курс математического анализа», автор – Никольский С.М., г. Москва, изд. «Наука», 1990г.

2. «Высшая математика», автор –  Щипачев А.В., г. Москва, изд. «Высшая школа», 1996г.

3. Богомолов Н.В., Практические занятия по математике. М., “Высшая школа”, 1990 – 495 с.;
4. Тарасов Н.П., Курс высшей математики для техникумов. М., “Наука”, 1971 – 448 с.;
5. Зайцев И.Л., Курс высшей математики для техникумов. М., государственное издательство техникумов – теоретической литературы, 1957 - 339 с.;
6. Письменный Д.Т., Курс лекций по высшей математике. М., “Айрис Пресс”, 2005, часть 2 – 256 с.;
7. Выгодский М.Я., Справочник по высшей математике. М., “Наука”, 1975 – 872 с.;

Дополнительная:

1. Гусак А.А., Высшая математика. В 2-х т., Т.2: Учебное пособие для студентов вузов. Мос., “ТетраСистемс”, 1988 – 448 с.;
2. Григулецкий В.Г., Лукьянова И.В., Петунина И.А., Математика для студентов экономических специальностей. Часть 2. Краснодар, 2002 – 348 с.;
3. Григулецкий В.Г. и др. Задачник-практикум по математике. Краснодар. КГАУ, 2003 – 170 с.;
4. Григулецкий В.Г., Степанцова К.Г., Гетман В.Н., Задачи и упражнения для студентов учетно-финансового факультета. Краснодар. 2001 – 173 с.;
5. Григулецкий В.Г., Ященко З.В., Высшая математика. Краснодар, 1998 – 186 с.;
6. Малыхин В.И., Математика в экономике. М., “Инфра-М”, 1999 – 356с.