Исследование операций

 

Из строки 2 вычтем эту помеченную строку, умноженную на -1/2

Из строки 3 вычтем 1 строку, умноженную на -3/2

Из строки F вычтем 1 строку, умноженную на -9/2

БП	х1	х2	х3	х4	х5	z1	Сб	Отношение
х3	0	1	2/3	1/3	0	-1/3	5	5
х5	1	0	1/3	-1/3	0	1/3	3	0
z1	0	0	1	1	1	-1	9	0
F	0	0	3	0	0	0	24	0
W	0	0	0	0	0	1	0	0

 

Так как нет  отрицательных оценок W, значит выполняется признак оптимальности.

Xопт = (0, 0, 5, 0, 3, 9)

max F = 24

 

Ответ: Максимальное значение функции F = 24 достигается в точке с координатами Х = (0,0,5,0,3,9).

 

 

 

 

 

3 Транспортная  задача

 

Составить математическую модель и решить транспортную задачу методом потенциалов:

В пунктах отправления  А_i находится соответственно а_i тонн груза (мощность поставщиков). В пункты В_j требуется доставить соответственно b_j тонн груза (спрос потребителей). Стоимость перевозки тонны груза из пункта А_i в пункт В_j представлена в таблице. Составить оптимальный план перевозки груза, чтобы сумма транспортных расходов была наименьшей.

        5 4 13 9

С=  2 7 9 8

9 7 11 7

1 6  1  1

А = (95; 35;55;75)

В = (15; 25; 8; 12)

 

Решение

 

1 Разрабатываем  опорный план

∑А=260;         ∑В=60

∑А>∑В→Вфикт = 200

Сфикт=3*maх cij = 3 * 13 = 39

	В1	В2	В3	В4	Вф	Рес.
А1	5	4 25	13	9	39 70	95
А2	2	7	9	8	39 35	35
А3	9	7	11	7	39 55	55
А4	1 15	6	1 8	1 12	39 40	75
Потр.	15	25	8	12	200

 

В процессе решения  задачи по загруженным клеткам проверяется  выполнение условия: количество загруженных  клеток должно быть равно числу N = m+n-1 = 4+5-1 =8

2 Расчет потенциалов  проводится по загруженным клеткам с последующим равенством:

V = U+C

U=V-C

	В1	В2	В3	В4	Вф	Рес.	U
А1	5	4 25	13	9	39 70	95	0
А2	2	7	9	8	39 35	35	0
А3	9	7	11	7	39 55	55	0
А4	1 15	6	1 8	1 12	39 40	75	0
Потр.	15	25	8	12	200
V	1	4	1	1	39

 

3 Проверка плана на оптимальность исходит из принципа, что при любом его изменении цена в пунктах потребления не должна стать меньше, чем в принятом нам плане, т. е. для свободных клеток должно выполняться условие U+C≥V

Если условие  выполняется, то в свободную клетку ставится «+», если нет – «-». В нашем случае план оптимален:

 

	В1	В2	В3	В4	Вф	Рес.	U
А1	5 +	4 25	13 +	9 +	39 70	95	0
А2	2 +	7 +	9 +	8 +	39 35	35	0
А3	9 +	7 +	11 +	7 +	39 55	55	0
А4	1 15	6 +	1 8	1 12	39 40	75	0
Потр.	15	25	8	12	200
V	1	4	1	1	39

 

Затраты составляют:

25*4+70*39+35*39+39*55+15*1+8*1+12*1+40*39=7 935

 

Ответ: затраты составят 7 935

 

 

 

 

 

4 Решить задачу нелинейного программирования:

 

Найти условный экстремум функции f с помощью метода исключения:  

             f=3х2 + 2у2-3х+1       при         х2+у2=4

 

Решение

 

Уравнение x2+y2=4 представляет окружность с центром в начале координат радиуса 2.

Переменная x меняется в пределах от -2 до 2. Из этого уравнения  находим y2=4-x2 и подставляем в формулу  для функции

f=3x2+2(4-x2)-3x+1=x2-3x+9 (-2 Абсцисса вершины этой параболы x=3/2, значение функции в ней f=27/4. На концах отрезка [-2;2] функция принимает значения

f(x=-2)=4+6+9=19

f(x=2)=4-6+9=7

Среди трех полученных значений выбираем наименьшее и наибольшее:

f=27/4 - минимум

f=19 - максимум

 

Ответ: f=27/4 – минимум, f=19 - максимум