Исследование поведения функций

Наибольшее и наименьшее значения функции на сегменте.

Пусть функция  непрерывна на отрезке. Тогда на этом отрезке функция достигает наибольшего значения. Будем предполагать, что на данном отрезке функция имеет конечное число критических точек. Если наибольшее значение достигается внутри отрезка , то очевидно, что это значение будет одним из максимумов функции (если имеются несколько максимумов), а именно, наибольшим максимумом. Но может случиться, что наибольшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка.

 Итак, функция на отрезке  достигает своего наибольшего значения либо на одном из концов этого отрезка, либо в такой внутренней точке этого отрезка, которая является точкой максимума. То же самое можно сказать и о наименьшем значении функции: оно достигается либо на одном из концов данного отрезка, либо в такой внутренней точке, которая является точкой минимума.

Из предыдущего вытекает следующее  правило: если требуется найти наибольшее значение непрерывной функции на отрезке , то надо;

1. найти все максимумы на отрезке.
2. определить значения функции на концах отрезка, т.е. вычислить  и ;
3. из всех полученных выше значений функции выбрать наибольшее. Оно и будет представлять собой наибольшее значение функции на отрезке.

Аналогичным образом следует поступать  и при определении наименьшего  значения.

 

 

Пример.

Определить на отрезке []наибольшее и наименьшее значения функции .

1)Находим максимумы и минимумы  функции на отрезке []: , , ,,

, тогда . Следовательно, в точке x=1 имеет место минимум: y(1)=1. Далее, . Следовательно, в точке имеет место максимум :.

2. Определяем значение функции на концах отрезка: , . Таким образом, наибольшее значение рассматриваемой функции на отрезке [] есть , а наименьшее значение есть . График рассматриваемой функции изображен на рис.13 
   

Исследование функции на максимум и минимум с помощью формулы  Тейлора.

Если в некоторой точке  имеем и, то в этой точке может быть либо максимум, либо минимум, либо нет ни того, ни другого.  Для решения вопроса в этом случае нужно вести исследование первым способом, т. е. путем исследования знака первой производной слева и справа от точки .

Теперь покажем, что можно в  этом случае исследование вести и  с помощью формулы Тейлора.

Для большей общности предположим, что не только но и все производные до -го порядка включительно от функции обращаются в нуль при :

 

 

 

Предположим, далее, что  имеет непрерывные производные до го порядка включительно в окрестности точки .

Напишем формулу Тейлора для, принимая во внимание равенства (1):

     

где — число, заключенное между и .

Так как непрерывна в окрестности точки а и , то найдется такое малое положительное число h, что при любом , удовлетворяющем неравенству

,будет. При этом если , то и во всех точках интервала будет ; если , то во всех точках этого интервала

будет  .

Перепишем формулу (2) в виде

 

и рассмотрим различные частные  случаи.

Первый случай, нечетное.

а) Пусть . Тогда найдется интервал , во всех точках которого -я производная отрицательна. Если есть точка этого интервала, то тоже находится между и и, следовательно. . Так как — четное число, то при

, и поэтому правая часть в формуле (2') отрицательна.

Следовательно, при  во всех точках интервала имеем , а это значит, что при функция имеет максимум.

б) Пусть. Тогда при достаточно малом значении h во всех точках интервала имеет место . Следовательно, правая часть формулы (2') будет положительна, т. е. при во всех точках указанного интервала будет

, а это значит, что при функция имеет минимум.

Второй случай, четное.

Тогда нечетное и величина имеет разные знаки при и .

Если h достаточно мало по абсолютной величине, то -я производная во всех точках интервала сохраняет тот же знак, что и в точке а. Следовательно, f(x) — f(a) имеет разные знаки при и при . Но это значит, что при нет ни максимума, ни минимума.

Заметим, что если при четном , то для и для .

Если же при  четном , то для и для .

Полученные результаты можно сформулировать следующим образом.

 

 

 

 

 

Если при  имеем

 

и первая не обращающаяся в нуль производная  есть производная четного порядка, то в точке а

 имеет максимум, если ;

 имеет минимум, если .

Если же первая не обращающаяся в  нуль производная  есть производная нечетного порядка, то в точке а функция не имеет ни максимума, ни минимума. При этом

 возрастает, если ;

 убывает, если

Пример.Исследовать на максимум и минимум функцию .

Найдем критические значения функции

 

Из уравнения  получаем единственную критическую точку x=1 (так как данное уравнение имеет лишь один действительный корень).

Исследуем характер критической точки  x=1:

  при x=1,

 при x=1,

 при любом x.

Следовательно, при x=1 функция f(x) имеет минимум. 

 

 

 

Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.

Рассмотрим на плоскости кривую, являющуюся графиком однозначной дифференцируемой функции

Определение. Говорят, что кривая обращена выпуклостью вверх на интервале, если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.

Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вниз на интервале , если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале.

Кривую, обращенную выпуклостью вверх, будем называть выпуклой, а обращенную выпуклостью вниз — вогнутой.

На рис. 15 показана кривая, выпуклая на интервале и вогнутая на интервале .

 

 

 

 

Теорема 1. Если во всех точках интервала вторая производная функции отрицательна, т.е., то кривая на этом интервале обращена выпуклостью вверх (кривая выпукла).

Доказательство. Возьмём в интервале произвольную точку (рис. 15) и проведём касательную к кривой в точке с абсциссой . Теорема будет доказана, если мы установим, что все точки кривой на интервале лежат ниже этой касательной, т.п. что ордината любой точки кривой меньше ординаты касательной при одном и том же значении . Уравнение кривой имеет вид

                      

Уравнение же касательной к кривой в точке имеет вид

 

или

 

Из уравнений (1) и (2) следует, что  разность ординат кривой и касательной  при одном и том же значении равна

 

Применяя теорему Лагранжа к разности , получим

 

(где лежит между и ), или

.

К выражению, стоящему в квадратных скобках, снова применяем теорему  Лагранжа; тогда

 

(где лежит между и .

Рассмотрим сначала тот случай, когда . В этом случае; так как

, и так как, кроме того, по условию, , то из равенства (3) следует, что

.

Рассмотрим теперь случай, когда . В этом случае и , , а так как по условию , то из равенства (3) следует, .

Таким образом, мы доказали, что любая  точка кривой лежит ниже касательной  к кривой, каковы бы ни были значения и на интервале . А это и значит, что кривая выпукла. Теорема доказана.

Аналогичным образом доказывается следующая теорема.

Теорема 2. Если во всех точках интервала вторая производная функции положительна, т. е. , то кривая на этом интервале обращена выпуклостью вниз (кривая вогнута).

Замечание. Содержание теорем 1 и 2 можно иллюстрировать геометрически. Рассмотрим кривую , обращенную выпуклостью вверх на интервале (рис. 16). Производная равна тангенсу угла а наклона касательной в точке с абсциссой, т. е. . Поэтому ;. Если для всех на интервале , то это значит, что убывает с возрастанием . Геометрически нагляден тот факт, что если убывает с возрастанием , то соответствующая кривая выпукла. Аналитическим доказательством этого факта и является теорема  1.

Подобным же образом иллюстрируется геометрически и теорема 2 (рис. 17).

Пример 1.Установить интервалы выпуклости и вогнутости кривой, заданной уравнением y=2- .

Решение. Вторая производная  y’’= -2<0 для всех значений x.Следовательно, кривая всюду обращена выпуклостью вверх.(рис.18).

Пример 2.Кривая задана уравнением y=. Так как y’’= > 0 для всех значений x, то , следовательно, ривая всюду вогнута, т.е. обращена выпуклостью вниз (рис.19).

Пример 3. Кривая определяется уравнением y=. Так как y’’=6x, то y’’ < 0  при x<0  и y’’ > 0  при x>0 . Следовательно, при x<0 кривая обращена выпуклостью вверх, а  при x>0 – выпуклостью вниз(рис.20)

 

 

Определение . Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой, называется точкой перегиба кривой.

На рис. 20, и 21 точки О, А и В - точки перегиба.

Очевидно, ,что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, так как с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны — над нею.

Установим теперь достаточные условия  того, что данная точка кривой является точкой перегиба.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением . Если или не существует и при переходе через значение производная меняет знак, то точка кривой с абсциссой есть точка перегиба.

Доказательство. 1) Пусть  при и при.

Тогда при  кривая обращена выпуклостью вверх и при — выпуклостью вниз. Следовательно, точка А кривой с абсциссой есть точка перегиба (рис. 21).

2)Если  при и при , то при кривая обращена выпуклостью вниз, а при — выпуклостью вверх. Следовательно, точка В кривой с абсциссой есть точка перегиба (рис. 22).

 

 

Асимптоты.

Очень часто приходится исследовать  форму кривой , а значит, и характер изменения соответствующей функция при неограниченном возрастании (по абсолютной величине) абсциссы или ординаты переменной точки кривой или абсциссы и ординаты одновременно. При этом важным частным случаем является тот, когда исследуемая кривая при удалении ее

переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.

Определение. Прямая А называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки М кривой до этой прямой при удалении точки М в бесконечность стремится к нулю (рис. 26 и 27).

 

 

 

 

 

 

 

Вертикальные  асимптоты. Из определения асимптоты следует, что если

 , или , или , то прямая

есть асимптота  кривой ; и обратно, если прямая есть асимптота, то выполняется одно из написанных равенств.

Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот нужно найти такие значения , при приближении к которым функция стремится к бесконечности. Тогда прямая будет вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты. Пусть кривая имеет наклонную асимптоту, уравнение которой имеет вид

              y=kx + b                        (1)

Определим числа k и b (рис. 31). Пусть М точка, лежащая на кривой, и N — точка, лежащая на асимптоте. Длина отрезка МР равна расстоянию от точки М до асимптоты. По условию . (2)

Если обозначим через  угол наклона к оси Оx, то из найдем

 

Так как  — постоянный угол (не равный  ), то в силу предыдущего равенства

, (2')

Х-++ 00

и наоборот, из равенства (2') следует  равенство (2). Но

,

и равенство (2') принимает вид . (3)

Итак, если прямая (1) есть асимптота, то выполняется равенство (3), наоборот, если при постоянных k и b выполняется равенство (3), то прямая y=kx + b есть асимптота. Определим теперь k и b. Вынося за скобки в равенстве (3), получаем:

 

Так как , то должно выполняться равенство

 

При b постоянном . Следовательно,,

или k, (4)

Зная k, из равенства (3) находим b:

.         (5)

Итак, если прямая у =kx+b есть асимптота, то k и b находятся по формулам (4) и (5). Обратно, если существуют пределы (4) и (5), то выполняется равенство (3) и прямая  у =kx+b есть асимптота.

Если хотя бы один из пределов (4) или (5) не существует, то кривая асимптоты не имеет.

Заметим, что мы проводили исследование применительно к рис. 31 при , но все рассуждения справедливы и для случая .

 

Практическая часть.

1.Исследовать  поведение функции     в окрестности точки с помощью производных высших порядков .

 

 

 

 

 

 

 

В точке  нет ни максимума, ни минимума и функция убывает. Так как производная нечётного порядка неравна нулю, это значит, что - точка перегиба функции 

 

2.Провести полное исследование  функций и построить их графики 

а)

1)Область  определения

 

2)Точки разрыва

 

3) Интервалы возрастания и убывания

 

 

 

Функция убывает при 

Возрастает при 

4)Точки максимума и минимума

– точка минимума

 

5)Области выпуклости и вогнутости  графика, точки перегиба

 

 

D<0  - точек перегиба нет

	выпукла⌢	вогнута⌣	выпукла ⌢

 

6)Асимптоты 

а) вертикальные

 

б)наклонные 

 

 

 

 

 – горизонтальная асимптота

7)График

 

б)

1)Область  определения

 

2)Точки разрыва

Нет точек разрыва

3)Интервалы возрастания и убывания

 

,

Функция возрастает при 

убывает при