Автор работы: Пользователь скрыл имя, 08 Октября 2013 в 05:19, лекция
Работа содержит лекцию по дисциплине "Математика"
Еще в самые отдаленные времена
людям приходилось считать
Но с развитием производства и культуры, когда появилась нужда записывать большие числа, стало не удобно пользоваться черточками. Тогда стали вводить особые знаки для отдельных чисел. Так, например, в Древнем Египте около 4000 лет назад для обозначения чисел использовали иероглифы, показанные на рисунке.
Единица изображена колом, десяток – как бы парой рук, сотня – свернутым пальмовым листом, тысяча – цветком лотоса, символом изобилия, сто тысяч – лягушкой, так как лягушек было очень много во время разлива Нила.
Так, например число 5736 записывалось следующим образом
В старину на Руси широко применялись системы счисления, напоминающие систему Древнего Египта. С их помощью сборщики податей заполняли квитанции об уплате подати (ясака) и делали записи в податной тетради. Например, 1232 руб. 24 коп. изображались так как показано на рисунке. Вот текст закона об этих так называемых ясачных знаках: «Чтобы на каждой квитанции кроме изложения словами, было показано особыми знаками число внесенных рублей и копеек так, чтобы сдающие простым счетом сего числа могли быть уверены в справедливости показания. Употребляемые в квитанции знаки означают:
Звезда – тысяча рублей
Колесо – сто рублей
Квадрат – десять рублей
Х - рубль
| - копейку.
«Дабы неможно было сделать здесь никаких прибавлений, все таковые знаки очерчивать кругом прямыми линиями».
До наших дней сохранилась известная вам римская система счисления. В этой системе цифры обозначаются буквами латинского алфавита:
I = 1 V = 5 X = 10 L = 50
C = 100 D = 500 M = 1000
Для записи промежуточных чисел используется правило: меньшие знаки, поставленные справа от большего, но не более трех одинаковых подряд, прибавляются к его значению, а меньшие знаки, поставленный слева от большего, вычитаются из него, при этом невозможно ставить более одного меньшего слева от большего.
Пример1. Записать число 444 в римской системе.
Решение:
444 = 400 + 40 + 4 = СD + XL + IV = CDXLIV
Пример2. Записать число 2986 в римской системе счисления.
Решение:
2986 = 2000 + 900 + 80 + 6 = MM + CM + LXXX + VI = MMCMLXXXVI.
Пример3. Записать римское число CMLXIII в десятичной системе.
Решение:
CMLXIII=(1000-100) + (50+10) + 3 = 963
Римская система счисления сегодня используется в основном для обозначения знаменательных и юбилейных дат, обозначения веков, разделов и глав в книгах.
1. Запишите числа в римской системе:
2. Запишите числа в десятичной системе:
Из курса математики вам известно, что цифры десятичной записи числа – это просто коэффициенты его представления в виде суммы степеней числа – основания системы счисления:
25076 = 2*10000 + 5*1000 + 0*100 + 7*10 + 6*1 = 2*104 +5*103 + 0*102 +7*101 +6*100
При переводе чисел из десятичной системы счисления в римскую мы и воспользовались этим правилом (444 = 400 + 40 + 4; 2986 = 2000 + 900 + 80 + 6).
При записи чисел значение каждой цифры зависит от ее положения. Место для цифры в числе называется разрядом, а количество цифр в числе разрядностью. На самом деле числа можно записывать как сумму степеней не только числа 10, но и любого другого натурального числа, большего 1.
Определение. Развернутой формой записи числа называется такая запись:а4а3а2а1а0 = а4*q4 + a3*q3 + a2*q2 + a1*q1 + a0*q0 , где а4,а3,а2,а1,а0 –цифры числа, q –основание степени.
Пример4. Получить развернутую форму числа 7512410.
Решение:
а4 = 7, а3 = 5, а2 =1 ,а1 =2, а0 =4, q=10
4 3 2 1 0
75 12410 = 7*104 + 5*103 + 1*102 + 2*101 + 4*100.
Пример5. Получить развернутую форму числа 1123.
Решение:
2 1 0
1123 = 1*32 + 1*31 +2*30
1. Запишите в развернутом виде числа:
2. Запишите в свернутой форме число:
Мы увидели, что есть множество способов представления чисел. В любом случае число изображается группой символов. Будем называть такие символы цифрами, символические изображения чисел – кодами, а правила получения кодов – системами счисления (кодирования).
Определение. Система счисления – это совокупность правил для обозначения и наименования чисел.
Все рассмотренные нами нечисловые системы счисления являются непозиционными.
Определение. Непозиционной называется такая система счисления, в которой количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа.
Итак, в непозиционных системах счисления позиция, которую цифра занимает в записи числа, роли не играет. Так, например, римская система счисления непозиционная. В числах XI и IX “вес” обоих цифр одинаков, несмотря на их месторасположение.
Система счисления, которой мы пользуемся в настоящее время, носит название десятичной, так как она основана на счете десятками. Исключительная роль десятка восходит к древнейшим временам и, несомненно, связана со счетом по пальцам на двух руках. Для записи любых чисел в ней используется десять всем хорошо известных цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9). Поэтому ее и называют десятичной.
Определение. Основанием системы счисления называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.
Наименование системы
Давайте рассмотрим число 55. Из двух написанных рядом цифр левая выражает число, в десять раз большее, чем правая. Таким образом, для написания цифр в десятичной системе имеет значение не только сама цифра, но и ее место, позиция. Именно поэтому такую систему счисления называют позиционной.
Определение. Система счисления называется позиционной, если значение цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа.
Итак, мы сказали, что в позиционных системах счислениях имеет значение позиция, которую цифра занимает в записи числа. Так, запись 23 означает, что это число можно составить из 3 единиц и 2 десятков. Если мы поменяем позиции цифр, то получим совсем другое число – 32. Это число содержит 3 десятка и 2 единицы. «Вес» двойки уменьшился в десять раз, а «вес» тройки в десять раз возрос.
В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.
Продвижением цифры называют замену её следующей по величине.
Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры — 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 — замену её на 0.
Целые числа в любой системе
счисления порождаются с
Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.
Применяя это правило, запишем первые несколько целых чисел
В десятичной системе: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,…,
в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;
в восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.
В шестнадцатеричной системе: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E,F, 10,11,12,…,1А,1В,..
1. Запишите первые 35 чисел троичной системы
2. Запишите первые 25 чисел двоичной системы
Двоичная система счисления. Для записи чисел используются только две цифры – 0 и 1. Выбор двоичной системы объясняется тем, что электронные элементы, из которых строятся ЭВМ, могут находиться только в двух хорошо различимых состояниях. По существу эти элементы представляют собой выключатели. Как известно выключатель либо включен, либо выключен. Третьего не дано. Одно из состояний обозначается цифрой 1, другое – 0.
Благодаря таким особенностям двоичная система стала стандартом при построении ЭВМ.
Восьмеричная система счисления. Для записи чисел используется восемь чисел 0,1,2,3,4,5,6,7.
Шестнадцатеричная система счисления. Для записи чисел в шестнадцатеричной системе необходимо располагать уже шестнадцатью символами, используемыми как цифры. В качестве первых десяти используются те же, что и в десятичной системе. Для обозначения остальных шести цифр (в десятичной они соответствуют числам 10,11,12,13,14,15) используются буквы латинского алфавита – A,B,C,D,E,F.
Таблица соответствия систем счисления.
Десятичная |
Двоичная |
Восьмеричная |
Шестнадцатеричная |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
10 |
2 |
2 |
3 |
11 |
3 |
3 |
4 |
100 |
4 |
4 |
5 |
101 |
5 |
5 |
6 |
110 |
6 |
6 |
7 |
111 |
7 |
7 |
8 |
1000 |
10 |
8 |
9 |
1001 |
11 |
9 |
10 |
1010 |
12 |
А |
11 |
1011 |
13 |
В |
12 |
1100 |
14 |
С |
13 |
1101 |
15 |
D |
14 |
1110 |
16 |
Е |
15 |
1111 |
17 |
F |
16 |
10000 |
20 |
10 |
17 |
10001 |
21 |
11 |
… |
… |
… |
… |
26 |
11010 |
32 |
1А |
Правило перевода целых чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием q:
Пример1. Перевести 2610 в двоичную систему счисления. А10→А2
Решение:
Ответ: 2610=110102
Пример2. Перевести 1910 в троичную систему счисления. А10→А3
Решение:
Ответ: 1910=2013
Пример3. Перевести 24110 в восьмеричную систему счисления. А10→А8
Решение:
Ответ: 24110=3618
Пример4. Перевести 362710 в шестнадцатеричную систему счисления. А10→А16
Решение:
Т.к. в шестнадцатеричной системе счисления 14 – Е, а 11 – В, то получаем ответ Е2В16.
Ответ: 362710=E2B16
Переведите числа из десятичной системы счисления в другую.
а) 24510→А2
б) 198710→А2 е) 67310→А16
в) 16110→А3 ж) 4534810→А16
г) 33310→А5 з) 44410→А7
Правило перевода дробных чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием q:
Пример1. Перевести 0,562510 в двоичную систему счисления. А10→А2
Решение: