ЛЕКЦИЯ  № 1.1

    Содержание:

    Предмет аналитической геометрии

    Декартовы системы координат

    Другие системы координат

    Расстояние между двумя точками

    Деление отрезка в заданном отношении 

Предмет аналитической геометрии

    Аналитическая геометрия – раздел математики, развитый в XVII веке Рене Декартом. В это время происходит становление механистической картины мира. Возникает необходимость описывать геометрические образы (точки, линии, траектории и прочие пространственные объекты) аналитическим способом, т.е. с помощью формул, уравнений, неравенств. Такая задача была выдвинута классической механикой для описания траекторий движения различных тел. Однако в дальнейшем методы, развитые аналитической геометрией, нашли применение не только в механике, но и в различных областях познания. В частности, экономист оперирует такими негеометрическими понятиями, как цена, прибыль, количество продукции, запас сырья и т.д., но для лучшего представления соотношений между экономическими величинами удобно описывать их наглядными геометрическими образами, в частности, графиками.

    В основе аналитической геометрии  лежит метод координат. В нем используется возможность установления взаимнооднозначного соответствия между множеством точек на прямой (геометрический образ) и множеством вещественных чисел.

Декартовы системы координат

    Декартовы координаты на прямой вводятся так: на прямой выбирается направление – она превращается в ось, на ней выбирается точка О – начало координат и указывается единица масштаба.

    

    Координатная  ось – это прямая, с выбранным направлением, началом координат и единичным масштабом.

    Декартовой  координатой х точки М называют вещественное число, равное длине направленного отрезка , имеющее знак “+”, если вектор совпадает по направлению с осью Ох и  “–” в  противном случае.

    Таким образом, любой точке М на координатной оси (т.е. геометрическому образу) ставится в соответствие число х – координата этой точки, и обратно, любому числу х сопоставляется точка М.

Записывается  это так: М(х).

    Декартовы координаты на плоскости это две взаимоперпендикулярные координатные оси, пересекающиеся в начале координат и имеющие одинаковую масштабную единицу. Одну из осей называют осью абсцисс (Ох), а другую – осью ординат (Оу).

    Пусть М – произвольная точка на плоскости.    

    Обозначим ортогональные проекции точки М на оси Ох и Оу как М_х и М_у соответственно.

    Пусть точка М_х имеет на оси Ох координату х, а точка М_у – координату у. Числа х и у называют декартовыми координатами точки М на плоскости.

    Таким образом, любой точке М на плоскости (т.е. геометрическому образу) ставится в соответствие два числа х и у – координаты этой точки, и обратно, любым двум числам х и у сопоставляется точка М. Записывается это так: М (х, у).

    Декартовы координаты в пространстве это три взаимноперпендикулярные оси, имеющие общее начало координат и одинаковую масштабную единицу. Оси получили названия: ось абсцисс (Ох), ось ординат (Оу), ось аппликат (Оz). Система координат называется правой, если при взгляде со стороны положительных z поворот от оси Ох к Оу осуществляется против часовой стрелки и левой, если по часовой стрелке.

      Правая  система координат   Левая система координат

                           

    В дальнейшем для определенности будем  использовать только правые системы  координат. 

    Пусть М – некоторая точка в пространстве. Обозначим М_х, М_у, М_z – прямоугольные проекции точки М на оси . Координаты этих точек (числа х, у, z) называют координатами точки М в пространстве. Геометрическому образу, точке М в пространстве, ставится в соответствие три числа х, у, z. Записывается это так: М (х, у, z).

    Говорят, что все точки на прямой линии  образуют одномерное пространство (каждая точка описывается одним числом), на плоскости – двумерное пространство. Мы живем в пространстве, каждая точка которого описывается тремя числами – координатами точек.

    Однако  можно представить себе такие  пространства, точки которых описываются более чем тремя координатами.

    Множество всех наборов из вещественных чисел называют               -мерным пространством. Каждая точка такого пространства имеет координаты (х₁, х₂, …,х_n).

    Геометрических  образов для  точки такого пространства не имеют, однако их удобно использовать для описания многих задач, в частности, и в экономике.

Другие системы координат

    Введение  декартовых координат – лишь один из способов определения положения точки в геометрическом пространстве. Для решения ряда задач удобно пользоваться другими координатами.

    В качестве примера рассмотрим простейшую полярную систему координат на плоскости. Для ее введения на плоскости фиксируется точка (полюс) и проходящая через нее ось (полярная ось). 

    Положение точки М на плоскости задается двумя числами: радиусом-вектором r и полярным углом . Радиус-вектор – это расстояние от полюса 0 до точки М, угол - это угол между осью и отрезком ОМ (при отсчете против часовой оси).

    Примерами других систем координат в пространстве могут служить сферические, цилиндрические, косоугольные и т.д. системы координат.

Расстояние между двумя точками

    Применение  координатного метода позволяет  свести решение многих геометрических задач к алгебраическим действиям. В частности, сопоставление точкам их координат позволяет заменить инструментальные измерения расстояний между точками аналитическими действиями с координатами.

    Пусть точки А и В лежат на координатной оси и их координаты х_А и х_В  известны.

    Расстоянием d между заданными точками является длина отрезка АВ. Оно вычисляется по формуле: d=|х_A-х_B|.

    Пусть координаты точек  и заданы в двумерной системе координат: А (х_А; х_В); В (у_А; у_В).

  

    Тогда по теореме Пифагора длина отрезка АВ равна . Т.к.; , , то расстояние d между двумя точками равно: .

    Если  координаты точек А и В заданы в геометрическом пространстве, т.е. А(х_А;у_А;z_А); В(х_В;у_В;z_В), то по теореме Пифагора расстояние d между точками А и В равно: .

    По  аналогии с геометрическим пространством  можно ввести расстояние между двумя точками в арифметическом пространстве.

    Пусть точки  и заданы координатами  и , соответственно, тогда: .

    Отметим, что во всех случаях d³ 0, причем d= 0 тогда и только тогда, когда координаты точек А и В совпадают.

    Пример 1.

    Дано:

А (1, -3, 5)

В (2, 4, -6)

d - ?

    Решение:

    Пример 2.

    Дано:

А (1, 0, -1, 2)

В (-1, 2, 1, 0)

d - ?

    Решение:

Деление отрезка в заданном отношении

    Пусть отрезок АВ лежит на координатной оси , координаты точек А и В числа х_А и х_В известны. Требуется найти координату х_С точки С, которая делит отрезок АВ в заданном отношении.

    

    Отношение, в котором точка С делит отрезок АВ, можно задать двумя способами.

    1 способ.

    Пусть известно отношение отрезков , здесь - заданное число,  , если точка С перемещается от точки А к точке В.

    2 способ.

    d , здесь - заданное число, , при перемещении точки С от точки А к точке В.

    Требуется найти координату точки С.

    1 способ.

    Из  условия  следует, что .

     ; .

     . Это выражение называется  уравнением отрезка АВ,

если  .

    2 способ.

    Из  условия  следует, что .

    Отсюда: . Это выражение также является уравнением отрезка АВ, если .

    Пусть отрезок АВ лежит на плоскости и заданы координаты его вершин: А(х_А;у_А); В(х_В;у_В).

    Требуется найти координаты (х_С;у_С) точки С, которая делит отрезок АВ в заданном отношении.

    Заданное отношение имеет вид:

     , или

     , .

    Из  геометрических условий подобия

     ,

    Отсюда  по аналогии с предыдущими рассуждениями

     ;

    

    Эти выражения задают уравнение отрезка  АВ, если

    В трехмерной системе координат добавляется  выражение для описания координаты z_С

     , или

     , .

    Пример 3.

    Дано:

А (1, -2, 3)

В (-3, 2, 4)

    Решение:

Отметим, что по условию примера точка  С находится в середине отрезка АВ.

По условию  , тогда

  

  Ответ: (-1; 0; 3,5)

    Пример 4.