Будем рассматривать нормальное
распределение для двумерной случайной
величины с зависимыми компонентами.
Функция плотности нормального
распределения:
2. Моделирование случайных
величин
Для моделирования случайных
величин используем генератор случайных
чисел r, возвращающий числа, равномерно
распределенные на отрезке
2.1 Моделирование
ξ
Был использован метод основанный
на ЦПТ.
2.2 Моделирование
η
Пусть сгенерированное значение
величины ξ равно
Тогда вторую компоненту надо
моделировать с параметрами
Для того, чтобы найти их, используем
условную функцию плотности для η:
Проведя вычисления, получаем
Преобразуем это к стандартному
виду:
Это функция нормального распределения
с параметрами
Далее воспользуемся приведенным
ранее алгоритмом, чтобы промоделировать
случайную величину η по закону распределения:
Получили
2.3 Моделирование
двумерного распределения
Построена пара
Теперь повторяем это n = 200 раз.
В итоге получаем двумерную выборку с
нормальным распределением.
Расчеты были проведены в программах
MatLab R2007a, Excel. Коп
3. Графическое представление
выборки
3.1 Для компоненты
ξ
Определим число интервалов
k. Берем k такое что
У меня n = 200
Определяем длину интервала
h
Находим
Находим границы интервалов
группировки
#
Интервал
1
4
0,0200
0,0089
0,0200
2
9
0,0450
0,0199
0,0650
3
16
0,0800
0,0354
0,1450
4
51
0,2550
0,1130
0,4000
5
46
0,2300
0,1019
0,6300
6
40
0,2000
0,0886
0,8300
7
19
0,0950
0,0421
0,9250
8
10
0,0500
0,0222
0,9750
9
5
0,0250
0,0111
1
3.2 Для компоненты
η
Находим границы интервалов
группировки
#
Интервал
1
3
0.0150
0.0076
0.0150
2
3
0.0150
0.0076
0.0300
3
15
0.0750
0.0379
0.1050
4
39
0.1950
0.0986
0.3000
5
58
0.2900
0.1466
0.5900
6
49
0.2450
0.1239
0.8350
7
24
0.1200
0.0607
0.9550
8
8
0.0400
0.0202
0.9950
9
1
0.0050
0.0025
1
3.3 Для двумерной
величины
Учитывая, n = 200, двумерная выборка
была сгруппирована следующим образом
( k=9 для ξ и η )
ξ \η
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
4
1
0
1
0
0
0
1
2
8
4
1
0
0
0
0
0
7
16
18
8
2
0
0
0
0
4
6
18
10
6
2
0
0
0
1
5
11
18
5
0
0
0
0
0
0
5
6
5
3
0
0
0
0
0
0
5
2
2
1
0
0
0
0
1
1
3
1
0
4.Нахождение числовых характеристик
выборки
4.1 Компонента ξ
Выборочное среднее
Выборочная дисперсия
Исправленная выборочная дисперсия
5
Среднеквадратичное отклонение
Исправленное среднеквадратичное
отклонение
Выборочный начальный k-ый момент
Выборочные начальные моменты
порядка 2, 3, 4.
Выборочный центральный k-ый
момент
Выборочные центральные моменты
порядка 3, 4.
Выборочный коэффициент асимметрии
Выборочный коэффициент
эксцесса
Мода
где левая граница модального
интервала, - численность модального интервала,
- численности интервалов слева и справа
от модального.
Модальным называется интервал, имеющий
наибольшую численность.
Медиана
где n – объем выборки, h – длина
интервала группировки, левая граница медианного
интервала, - численность медианного интервала,
- численности i-го интервала
Медианным называется интервал, в котором
накопленная сумма частот впервые достигает
0.5.
Квантиль
где - левая граница
квантильного интервала, - численность
квантильного интервала, - численности
интервалов, предшествующих квантильному.
Квантильным порядка
q интервалом называется
интервал, в котором сумма накопленных
частот впервые достигает значения q.
4.2 Компонента η
Выборочное среднее
Выборочная дисперсия
Исправленная выборочная дисперсия
Среднеквадратичное отклонение
Исправленное среднеквадратичное
отклонение
Выборочный начальный k-ый момент
Выборочные начальные моменты
порядка 2, 3, 4.
Выборочный центральный k-ый
момент
Выборочные центральные моменты
порядка 3, 4.
Выборочный коэффициент асимметрии
Выборочный коэффициент
эксцесса
Мода
Медиана
Квантили
4.3 Характеристики
связи:
Выборочная ковариация
Выборочный коэффициент корреляции
Выборочные уравнения линейной
регрессии
Y на X
X на Y
Выборочные корреляционные
отношения
X по Y
Y по X
5. Статистическое оценивание параметров
Метод моментов
Приравнивая выборочные и теоретические
моменты, получаем уравнения относительно
θ. Решая эти уравнения, получаем оценку
параметров . Эта оценка называется
оценкой метода моментов.
Метод максимального
правдоподобия
Функция правдоподобия:
Оценка , обеспечивающая
по параметру θ максимум функции правдоподобия,
называется оценкой максимального правдоподобия
параметра θ.
Вместо отыскания максимума
функции L часто удобнее находить максимум
функции и решать уравнение
правдоподобия
В результате решения уравнения
правдоподобия мы найдем критическую
точку, необходимо убедиться, что это точка
максимума.
Функция правдоподобия для
ξ:
Матрица отрицательно определена,
т.к. главные миноры чередуют знак, первый
минор отрицательный, а второй положительный
в точке
Несмещенность
Оценка называется несмещенной
оценкой параметра θ, если
- несмещенная оценка
- смещенная оценка, асимптотически
несмещенная оценка, т.к.
Состоятельность
Оценка называется состоятельной
оценкой параметра θ, если
Теорема: и , то - состоятельная оценка
- состоятельная оценка
Теорема: и , то - состоятельная оценка
– состоятельная оценка
Оптимальность
Оценка называется оптимальной
оценкой параметра θ, если
или
где множество несмещенных
оценок θ
Так как - эффективная оценка,
то она является и оптимальной.
Так как - неэффективная
оценка, то она не является и оптимальной.
Эффективность
Несмещенная оценка в регулярной модели
называется эффективной, если
- эффективная оценка
Т.к. – смещенная оценка,
то она не может быть эффективной (по определению:
эффективная оценка вводиться только
для несмещенных оценок).
Достаточность
Статистика называется достаточной
для параметра θ, если условное
распределение (плотность или вероятность)
случайной величины (выборки) при условии
не зависит от параметра θ.
Пусть - выборка из
нормального распределения . Найдем
достаточную статистику для двумерного
параметра .
Для этого используем теорему
факторизации:
Теорема. Для того, чтобы статистика
Т(х) была достаточной, необходимо и достаточно,
чтобы
– достаточная статистика
- эффективная оценка, а значит,
является достаточной статистикой
- достаточная
статистика, так как получена
функция максимального правдоподобия.
Нормальность
Оценка асимптотически
нормальна для регулярной модели, потому
что получена методом максимального правдоподобия.