Основные положения теоремы «Остроградского-Гаусса».Применение её в электродинамике

Министерство  просвещения ПМР

Приднестровский Государственный Университет им. Т.Г.Шевченко

Инженерно-Технический  Институт

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема: Основные положения теоремы «Остроградского-Гаусса».Применение её в электродинамике.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Работу  подготовили студенты ИТИ  гр.11ЭТ1:

Прачук Александр Юрьевич , Цуркан Николай Александрович.

 

Руководитель:

Косюк Наталья Валерьевна.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г.Тирасполь

2012 г.

Содержание

 

Введение           3

1. Теорема  Остроградского-Гаусса, основные положения   5

1.1. Исторические  аспекты, связанные с теоремой

Остроградского-Гаусса         5

1.2. Теорема  Остроградского-Гаусса      7

2. Применение  теоремы Остроградского-Гаусса    14

2.1. Теорема  Гаусса в дифференциальной форме    14

2.2. Потоп электрического  смещения. Теорема Остроградского-

Гаусса для  электростатического поля      18

Заключение          21

Список использованной литературы      23    

 

 

 

 

Введение

 

В науке часто бывает, что один и тот же закон можно сформулировать по-разному. По большому счету, от формулировки закона ничего не меняется с точки  зрения его действия, однако новая  формулировка помогает теоретикам несколько  иначе интерпретировать закон и  испытать его применительно к  новым природным явлениям. Именно такой случай мы и наблюдаем с  теоремой Гаусса, которая, по существу, является обобщением закона Кулона, который, в свою очередь, явился обобщением всего, что ученые знали об электростатических зарядах на момент, когда он был  сформулирован.

Теорема о суммировании зарядов  позволяет понять смысл и определить границы применимости известной  теоремы Остроградского-Гаусса. В  электродинамике существуют понятия  потоков напряженности и индукции электрического и магнитного полей. Напряженность и индукция определяются градиентами потенциалов.

В свою очередь они определяют число  силовых линий и линий индукции, исходящих из заряженного тела (заряда). Существует прямая пропорциональная связь  между величинами электрических  и магнитных зарядов и количествами силовых линий и линий индукции. 
Теорема Остроградского-Гаусса утверждает, что суммарное число линий, проходящих через замкнутую поверхность, охватывающую электрические и магнитные заряды, равно алгебраической сумме линий, выходящих из каждого заряда в отдельности. Заметим, что линии напряженности и индукции – это крайне формальные понятия, в течение длительного времени затруднявшие правильное понимание электрических и магнитных явлений.

Вместе с тем эти понятия  легко получить из общей теории, так как напряженность и индукция непосредственно связаны (пропорциональны) с потоком нанозаряда, а сам  поток – с величиной излучающего  его макро или микрозаряда.

Таким образом, из общей теории как  частный случай вытекает теорема  Остроградского-Гаусса. Она есть следствие  теоремы о суммировании зарядов, справедливой только для стационарного  режима и только в условиях, когда  отсутствует взаимное влияние между  зарядами. В реальных условиях теорема  Остроградского-Гаусса неточно отражает действительность.

Целью данной работы является систематизация и закрепление знаний о теореме Остроградского-Гаусса и ее применении при расчетах электростатических полей.

Для реализации вышеуказанной цели в работе необходимо решить следующие  задачи:

- рассмотреть исторические аспекты, связанные с теоремой Остроградского-Гаусса;

- изучить основные положения  теоремы Остроградского-Гаусса;

- охарактеризовать применение теоремы Остроградского-Гаусса в расчетах электростатических полей.

Цель и задачи работы обусловили выбор ее структуры. Работа состоит  из введения, двух глав, заключения и списка использованной при написании работы литературы.

 

 

1. Теорема Остроградского-Гаусса, основные положения

1.1. Исторические аспекты, связанные с теоремой Остроградского-Гаусса

В 1828 г. 27-летний русский математик М.В. Остроградский доложил на заседании Петербургской Академии наук о своих исследованиях в области переноса тепла, а вскоре опубликовал по этим результатам статью «Note sur la theorie de la chaleur» (Заметка по теории теплоты) в журнале Парижской Академии наук Mem. l'Acad, где в самом общем виде была доказана следующая формула:

(1)

У любого дальше возникает вопрос: почему теорема о дивергенции часто называется все-таки теоремой Остроградского-Гаусса, т.е. почему здесь указывается и имя Гаусса, а порой (чаще всего в английской и немецкой литературе) только его имя и упоминают. Просто в 1813г. Гаусс выпустил исторически значимую работу «Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodo nova tractata», в которой он изучил задачу о притяжении точки трехосным эллипсоидом. Здесь он впервые развил процедуру сведения объемного интеграла к поверхностному для простых функций в выражении:

(2),

и для нескольких частных случаев  ограничивающих поверхностей.¹ Более того, в 1830г. в работе «Общие теоремы относительно сил притяжения и отталкивания, действующих обратно пропорционально квадрату расстояния» Гаусс доказал теорему о среднем для гравитационного потенциала, которой мы часто пользуемся, в том числе в электродинамике, а именно: среднее значение потенциала по поверхности шара, внутри которого не содержится притягивающих масс, равно его значению в центре. Сразу же он вывел формулу:

     (3),

где интегрирование ведется по поверхности, ограничивающей массу М, а под знаком интеграла стоит производная потенциала вдоль внутренней нормали к поверхности . В итоге получилось, что Гаусс в явном виде записал интегральное соотношение, равнозначное теореме о дивергенции для частного случая кулоновских полей.² Поэтому появление имени Гаусса при цитировании теоремы о дивергенции для кулоновских полей вполне закономерно. Но все же не стоит забывать о том, что эта теорема в общем виде была доказана впервые Остроградским, хотя это факт в последнее время редко вспоминают.

Причин того, что имя Остроградского при упоминании теоремы чаще всего  не упоминается, может быть несколько. Самая очевидная состоит в том, что произнести «теорема Гаусса» проще и быстрее, чем «теорема Остроградского-Гаусса», особенно для нерусского человека. Однако, часто важную роль в этом вопросе играет и мнение того или иного научного сообщества. Как уже упоминалось выше, в Германии и в англоязычных странах упоминается в большинстве случаев только имя Гаусса, иногда имена Грина и Стокса (теорема Стокса - это также теорема о конверсии процедуры интегрирования к меньшему числу измерений, а именно преобразование поверхностного интеграла к линейному - она известна как теорема о циркуляции). С другой стороны, во французской литературе, часто называется только имя Остроградского. Традиции цитирования в нашей стране, как правило, во все времена были более корректны, поэтому чаще всего теорема о дивергенции называется у нас теоремой Остроградского-Гаусса.

1.2. Теорема Остроградского–Гаусса

 

Экспериментально установленные  закон Кулона и принцип суперпозиции позволяют полностью описать  электростатическое поле заданной системы  зарядов в вакууме. Однако, свойства электростатического поля можно  выразить в другой, более общей  форме, не прибегая к представлению  о кулоновском поле точечного  заряда.³

Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое  поле – поток Φ вектора напряженности электрического поля. Понятие потока вектора аналогично понятию потока вектора скорости при течении несжимаемой жидкости. Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка ΔS. Произведение модуля вектора на площадь ΔS и на косинус угла α между вектором и нормалью к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку ΔS (рис. 1):

ΔΦ = EΔS cos α = EnΔS, (4)

где E_n – модуль нормальной составляющей поля

Рис. 1. К определению элементарного потока ΔΦ

 

Рассмотрим теперь некоторую произвольную замкнутую поверхность S. Если разбить  эту поверхность на малые площадки ΔS_i, определить элементарные потоки ΔΦ_i поля через эти малые площадки, а затем их просуммировать, то в результате мы получим поток Φ вектора через замкнутую поверхность S (рис.2):

(5)

В случае замкнутой поверхности  всегда выбирается внешняя нормаль.⁴

Рис. 2. Вычисление потока Ф через произвольную замкнутую поверхность S

Теорема Гаусса утверждает: Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε₀.

(6)

Для доказательства рассмотрим сначала  сферическую поверхность S, в центре которой находится точечный заряд q. Электрическое поле в любой  точке сферы перпендикулярно  к ее поверхности и равно по модулю

(7)

где R – радиус сферы.⁵ Поток Φ через сферическую поверхность будет равен произведению E на площадь сферы 4πR². Следовательно, .

Окружим теперь точечный заряд произвольной замкнутой поверхностью S и рассмотрим вспомогательную сферу радиуса R₀ (рис.3).

Рис. 3. Поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность S, окружающую заряд

 

Рассмотрим конус с малым  телесным углом ΔΩ при вершине. Этот конус выделит на сфере малую площадку ΔS₀, а на поверхности S – площадку ΔS. Элементарные потоки ΔΦ₀ и ΔΦ через эти площадки одинаковы. Действительно,

ΔΦ0 = E0ΔS0, ΔΦ = EΔS cos α = EΔS '.

(8)

Здесь ΔS ' = ΔS cos α – площадка, выделяемая конусом с телесным углом ΔΩ на поверхности сферы радиуса r.

Так как  а следовательно ΔΦ₀ = ΔΦ. Отсюда следует, что полный поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность, охватывающую заряд, равен потоку Φ₀ через поверхность вспомогательной сферы:

(9)

Аналогичным образом можно показать, что, если замкнутая поверхность S не охватывает точечного заряда q, то поток Φ = 0.⁶ Все силовые линии электрического поля точечного заряда пронизывают замкнутую поверхность S насквозь. Внутри поверхности S зарядов нет, поэтому в этой области силовые линии не обрываются и не зарождаются.

Обобщение теоремы Гаусса на случай произвольного распределения зарядов  вытекает из принципа суперпозиции. Поле любого распределения зарядов можно  представить как векторную сумму  электрических полей  точечных зарядов. Поток Φ системы зарядов через произвольную замкнутую поверхность S будет складываться из потоков Φ_i электрических полей отдельных зарядов. Если заряд q_i оказался внутри поверхности S, то он дает вклад в поток, равный если же этот заряд оказался снаружи поверхности, то вклад его электрического поля в поток будет равен нулю.

Таким образом, теорема Гаусса доказана.

Теорема Гаусса является следствием закона Кулона и принципа суперпозиции. Но если принять утверждение, содержащееся в этой теореме, за первоначальную аксиому, то ее следствием окажется закон Кулона. Поэтому теорему Гаусса иногда называют альтернативной формулировкой закона Кулона.

Используя теорему Гаусса, можно  в ряде случаев легко вычислить  напряженность электрического поля вокруг заряженного тела, если заданное распределение зарядов обладает какой-либо симметрией и общую структуру  поля можно заранее угадать.

Примером может служить задача о вычислении поля тонкостенного  полого однородно заряженного длинного цилиндра радиуса R. Эта задача имеет  осевую симметрию. Из соображений симметрии, электрическое поле должно быть направлено по радиусу. Поэтому для применения теоремы Гаусса целесообразно выбрать  замкнутую поверхность S в виде соосного цилиндра некоторого радиуса r и длины l, закрытого с обоих торцов (рис. 4).⁷

Рис. 4. Вычисление поля однородно заряженного цилиндра. OO' – ось симметрии