Поверхности второго порядка

 

 

Содержание:

Общие сведения……………………………………………………………………..3

1.Конические  поверхности……………………………………………………........3

1.1. Эллипсоид………………………………………………………………………3

1.2. Однополостный  гиперболоид …………………………………………………5

1.3. Двуполостный  гиперболоид ………………………………………………......7

1.4 Конус  второго порядка………………………………………………………....8

1.5. Эллиптический  параболоид……………………………………………………9

1.6. Гиперболический  параболоид………………………………………………...11

2. Цилиндрические  поверхности…………………………………………………..12

2.1.Эллиптический цилиндр……………………………………………………… .13

2.2. Гиперболический  цилиндр…………………………………………………….14

2.3. Параболический  цилиндр………………………………………………………14

2.4. Пара  пересекающихся плоскостей…………………………………………….15

2.5 Пара параллельных  плоскостей………………………………………………...15

2.6. Пара  мнимых параллельных плоскостей………………………………………15

2.7. Пара  мнимых пересекающихся плоскостей…………………………………....15

2.8. Совпадающие  плоскости………………………………………………………...15

2.9. Мнимый  эллипсоид………………………………………………………………16

2.10. Мнимый  конус…………………………………………………………………...16

2.11. Мнимый  эллиптический цилиндр………………………………………………16

Список литературы…………………………………………………………………….17

 

 

Общие сведения

 Поверхностью второго порядка называется множество всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени

a_11x² + a_22y² + a_33z² + 2a_12xy + 2a_13xz + 2a_23yz + 2a_10x + 2a_20y + 2a_30z + a₀₀ = 0, где коэффициенты a₁₁, a₂₂, a₃₃, a₁₂, a₁₃, a₂₃, a₁₀, a₂₀, a₃₀, a₀₀ − действительные числа, причем a₁₁, a₂₂, a₃₃, a₁₂, a₁₃, a₂₃ не равны нулю одновременно.

В теории поверхностей второго порядка  классифицируют и изучают различные  виды поверхностей. Методом их изучения является так называемый метод сечения: исследуются сечения поверхности плоскостями, параллельными координатным или самими координатными плоскостями, и по виду сечений делается вывод о форме поверхности.

Существует семнадцать видов поверхностей второго порядка. Идея классификации  поверхностей основана на приведении их уравнений к каноническому виду в результате преобразования системы координат в каноническую.

1.Конические поверхности

Рассмотрим подробнее шесть  видов поверхностей второго порядка: эллипсоид, однополостный гиперболоид, двуполостный гиперболоид, конус, эллиптический  параболоид и гиперболический параболоид.

1.1. Эллипсоид

Эллипсоидом (рис.1) называется поверхность второго порядка, которая в канонической системе координат определяется уравнением

 

 В частности, если a = b = c, то получаем сферу x² + y² + z² = a² с центром в начале координат и радиусом a. Числа a, b, c называются полуосями эллипсоида. Если все они различны, то эллипсоид называется трехосным. Точки пересечения эллипсоида с осями координат: A₁(−a; 0; 0), A₂(a; 0; 0), B₁(0; −b; 0), B₂(0; b; 0), C₁(0; 0; −c), C₂(0; 0; c) называются его вершинами.

Оси канонической системы координат  являются осями симметрии эллипсоида, начало координат – его центром  симметрии, а координатные плоскости  – плоскостями симметрии.

Рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью xOy: z = 0. Оно задается системой уравнений

 

 

и представляет собой эллипс с каноническим уравнением

 

Рассматривая аналогично сечения  эллипсоида координатными плоскостями xOz: y = 0 и yOz: x = 0, а также плоскостями, им параллельными (x = h₁, y = h₂, z = h₃), получаем кривые второго порядка эллиптического типа. Это – либо эллипс (при h₁ < a, h₂ < b, h₃ < c), либо пара мнимых пересекающихся прямых, т.е. точка (при |h₁| = a, | h₂| = b, | h₃| = c), либо мнимый эллипс (при h₁ > a, h₂ > b, h₃ > c).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1

1.2.Однополостный  гиперболоид

Однополостным гиперболоидом (Рис.2) называется поверхность второго порядка, которая в канонической системе координат определяется уравнением

 

Оси канонической системы координат  являются осями симметрии однополостного гиперболоида, начало координат –  его центром симметрии, а координатные плоскости – плоскостями симметрии. Оси абсцисс и ординат пересекают однополостный гиперболоид в  точках A₁(−a; 0; 0), A₂(a; 0; 0), B₁(0; −b; 0), B₂(0; b; 0), которые называются его вершинами. Ось аппликат Oz, не имеющая с гиперболоидом общих действительных точек, называется его мнимой осью.

 Если рассмотреть сечения однополостного гиперболоида (16) плоскостью xOy: z = 0 или плоскостями, параллельными ей (z = h₃), то в сечении получаются эллипсы. Эллипс называется горловым.

 

 

Теперь возьмем сечение  однополостного гиперболоида плоскостью xOz: y = 0. Оно задается системой уравнений

 

и представляет собой гиперболу  с действительной осью Ox:

 

Рассматривая аналогично сечения  гиперболоида плоскостью yOz: x = 0, а также плоскостями, параллельными плоскостям xOz: y = h₂ и yOz: x = h₁, получаем кривые второго порядка гиперболического типа. Это – либо гипербола (при |h₁| ≠ a, | h₂| ≠ b), либо пара пересекающихся прямых (при |h₁| = a, | h₂| = b). Например, сечение однополостного гиперболоида плоскостью x = a задается системой уравнений

 

 

и представляет собой пару пересекающихся прямых с каноническим уравнением

Рис 2.

 

Рис. 2

1.3.Двуполостный  гиперболоид

Двуполостным  гиперболоидом (Рис. 3) называется поверхность второго порядка, которая в канонической системе координат определяется уравнением

 

Ось аппликат Oz канонической системы координат является осью симметрии двуполостного гиперболоида, начало координат – его центром симметрии, а координатные плоскости – плоскостями симметрии. Ось аппликат пересекает гиперболоид в точках C₁(0; 0; −c), C₂(0; 0; c) которые называются его вершинами. Сама ось аппликат называется действительной осью гиперболоида.

Если рассмотреть сечение двуполостного  гиперболоида координатными плоскостями xOz: y = 0 и yOz: x = 0, и плоскостями, им параллельными (x = h₁, y = h₂), то в сечении получаются гиперболы.

Рассматривая аналогично сечения гиперболоида плоскостью xOy: z = 0, а также плоскостями, параллельными плоскости xOy: z = h, получаем кривые второго порядка эллиптического типа. Это – либо эллипс (при |h| > c), либо пара мнимых пересекающихся прямых, т.е. точка (при |h = c |), либо мнимый эллипс (при |h| < c).

Например, при |h| > c сечение двуполостного гиперболоида плоскостью z = h задается системой уравнений

 

 

откуда при подстановке второго  уравнения в первое последовательно  получаем:

 

и каноническое уравнение эллипса

 

 

 

 

 

Рис. 3

1.4. Конус второго порядка

Конус второго порядка (Рис. 4) в канонической системе координат имеет вид

 

Эта поверхность второго порядка  состоит из прямых, пересекающихся в одной точке – вершине конуса. Действительно, если точка с координатами (x₀; y₀; z₀) удовлетворяет уравнению конуса, то ему удовлетворяют также точки с координатами

x = x_0t, y = y_0t, z = z_0t

при любом значении параметра t. Записанные уравнения являются параметрическими уравнениями прямой, проходящей через начало координат и точку (x₀; y₀; z₀). Конус состоит из таких прямых, называемых образующими конуса. Ось аппликат канонической системы координат называется его осью.

Оказывается, плоскость, проходящая через вершину конуса, либо не пересекает его в другой точке, либо пересекает по двум образующим, либо касается вдоль  образующей.

Любая плоскость, параллельная этим плоскостям, в первом случае пересекает конус  по эллипсу, во втором случае – пересекает по гиперболе, в третьем случае – по параболе. Поэтому эллипс, гиперболу, параболу часто называют коническими сечениями.

 

 

 

 

 

Рис .4

1.5. Эллиптический  параболоид

Эллиптическим параболоидом (Рис. 5) называется поверхность второго порядка, которая в канонической системе координат определяется уравнением

 

Ось аппликат Oz канонической системы координат является единственной осью симметрии эллиптического параболоида, плоскости xOz и yOz − плоскостями симметрии. Ось аппликат, называемая осью эллиптического параболоида, пересекает его в начале координат, эта точка называется вершиной параболоида.

Если рассмотреть сечение  эллиптического параболоида координатными  плоскостями xOz: y = 0 и yOz: x = 0, и плоскостями, им параллельными (x = h₁, y = h₂), то в сечении получаются параболы. Например, сечение эллиптического параболоида плоскостью y = h₂ задается системой уравнений

 

 

откуда при подстановке  второго уравнения в первое последовательно  получаем:

  и уравнение параболы

Получаемые таким образом параболы лежат в параллельных плоскостях, отличаясь лишь положением в пространстве.

Рассматривая аналогично сечения эллиптического параболоида  плоскостью xOy: z = 0, а также плоскостями, параллельными плоскости xOy: z = h, получаем кривые второго порядка эллиптического типа. Это – либо эллипс (при h > 0), либо пара мнимых пересекающихся прямых, т.е. точка (при h = 0), либо мнимый эллипс (при h < 0).

 

 

 

 

 

 

Рис. 5

 

1.6. Гиперболический  параболоид

Гиперболическим параболоидом (Рис 6.) называется поверхность второго порядка, которая в канонической системе координат определяется уравнением

.

Ось аппликат Oz канонической системы координат является единственной осью симметрии гиперболического параболоида, плоскости xOz и yOz − плоскостями симметрии. Ось аппликат, называемая осью гиперболического параболоида, пересекает его в начале координат; эта точка называется вершиной параболоида.

Если рассмотреть сечение  гиперболического параболоида оординатными плоскостями xOz: y = 0 и yOz: x = 0, и плоскостями, им параллельными (x = h₁, y = h₂), то в сечении получаются параболы. Например, сечение гиперболического параболоида плоскостью x = h₁ задается системой уравнений

,

откуда при подстановке  второго уравнения в первое последовательно  получаем: и уравнение параболы .

Рассматривая аналогично сечения  гиперболического параболоида плоскостью xOy: z = 0, а также плоскостями, параллельными плоскости xOy: z = h, получаем кривые второго порядка гиперболического типа. Это либо гипербола (при |h| > 0), либо пара пересекающихся прямых (при h = 0). Таким образом, по форме гиперболический параболоид напоминает седло, эту поверхность часто называют седловой.

 

 

 

Рис. 6

 

2. Цилиндрические  поверхности

Остальные одиннадцать видов поверхностей относятся к классам цилиндрических поверхностей (эллиптический, гиперболический и параболический цилиндры); пар плоскостей (пересекающихся, параллельных и совпавших) и мнимых поверхностей (мнимый эллипсоид, мнимый конус, мнимый эллиптический цилиндр, пары мнимых пересекающихся и мнимых параллельных плоскостей).

Цилиндрической  поверхностью называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением, в котором не фигурирует одна из переменных:

F(x, y) = 0,  F(x, z) = 0 или F(y,z)

Свойство  цилиндрических поверхностей.

Если некоторая точка M0(x0, y0, z0) принадлежит цилиндрической поверхности, описываемой уравнением F(x, y) = 0 , то все точкипрямой, проходящей через эту точку параллельно оси OZ , также принадлежат цилиндрической поверхности. Такие прямые называются образующими цилиндрической поверхности, а кривая, описываемая уравнением F(x, y) = 0 и получающаяся в сечении любой плоскостью z = h , называется направляющей.