Повторные независимые испытания

Содержание

Введение……………………………………………………………………..…….2

Повторные независимые испытания………………………………………….....3

Формула Бернулли………………………………………………………………..4

Задачи с решениями………………………………………………………………8

Список литературы…………………………..…………………………………..10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Несколько опытов называются независимыми, если исходы представляют собой независимые события (независимые в совокупности).

Два случайных события А и Б называются независимыми если появление одного не влияет на появление другого. Другими словами, если проводятся несколько испытаний, то есть опыт выполняется при данном комплексе условий многократно, такое явление называется последовательностью испытаний, причем вероятность наступление события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми.

Примерами независимых испытаний могут быть:  
1. Некоторое (n) количество подбрасываний монеты.

2. Бросание игральной  кости, где под “успехом” можно понимать выпадение 5, а под “неудачей” – выпадение любого другого числа очков.

3. Несколько выниманий  из урны одинаковых шаров разного цвета, если шары после каждого просмотра возвращаются в урну.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Повторные независимые испытания

На практике приходится сталкиваться с такими задачами, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний, в результате каждого из которых может появиться или не появиться событие А. При этом интерес представляет исход не каждого "отдельного испытания, а общее количество появлений события А в результате определенного количества испытаний. В подобных задачах нужно уметь определять вероятность любого числа m появлений события А в результате n испытаний. Рассмотрим случай, когда испытания являются независимыми и вероятность появления события А в каждом испытании постоянна. Такие испытания называются повторными независимыми.

Примером независимых испытаний может служить проверка на годность изделий, взятых по одному из ряда партий. Если в этих партиях процент брака одинаков, то вероятность того, что отобранное изделие будет бракованным, в каждом случае является постоянным числом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула Бернулли

Воспользуемся понятием сложного события, под которым подразумевается совмещение нескольких элементарных событий, состоящих в появлении или не появлении события   в  –м испытании. Пусть проводится   независимых испытаний, в каждом из которых событие   может либо появиться с вероятностью  , либо не появиться с вероятностью  . Рассмотрим событие  , состоящее в том, что событие   в этих   испытаниях наступит ровно  раз и, следовательно, не наступит ровно   раз. Обозначим   появление события  , a   — не появление события   в  –м испытании. В силу постоянства условий испытания имеем

Событие   может появиться   раз в разных последовательностях или комбинациях, чередуясь с противоположным событием  . Число возможных комбинаций такого рода равно числу сочетаний из   элементов по  , т. е.  . Следовательно, событие   можно представить в виде суммы сложных несовместных между собой событий, причем число слагаемых равно  :

(1)

 

 
где в каждое произведение событие   входит   раз, а   —   раз.

Вероятность каждого сложного события, входящего в формулу (1), по теореме умножения вероятностей для независимых событий равна  . Так как общее количество таких событий равно  , то, используя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, получаем вероятность события   (обозначим ее  )

(2)

 

 

Формулу (2) называют формулой Бернулли, а повторяющиеся испытания, удовлетворяющие условию независимости и постоянства вероятностей появления в каждом из них события  , называют испытаниями Бернулли, или схемой Бернулли.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим случай многократного повторения одного и того же испытания или случайного эксперимента. Результат каждого испытания будем считать  не зависящим от того, какой результат наступил в предыдущих испытаниях. В качестве результатов или элементарных исходов каждого отдельного испытания будем различать лишь две возможности:

1) появление некоторого события  А;

2) появление события  , (события, являющегося дополнением А)

Пусть вероятность P(A) появления события А постоянна и равна p (0.p1). Вероятность P( ) события   обозначим через q: P( ) = 1– p=q.

Примерами таких испытаний могут быть:

1) подбрасывание монеты: А –  выпадение герба;   – выпадение цифры.  

P(A) = P( ) = 0,5.

2) бросание игральной кости: А  – выпадение количества очков, равного пяти,   выпадение любого количества очков кроме пяти.  

P(A) =1/6, P( ) =5/6.

3) извлечение наудачу из урны, содержащей 7 белых и 3 черных шара, одного шара (с возвращением): А  – извлечение белого шара,   – извлечение черного шара  

P(A) = 0,7; P( ) = 0,3

Пусть произведено n испытаний, которые мы будем рассматривать как один сложный случайный эксперимент. Составим таблицу из n клеток, расположенных в ряд, пронумеруем клетки, и результат каждого испытания будем отмечать так: если в i-м испытании событие А произошло, то в i-ю клетку ставим цифру 1, если событие А не произошло (произошло событие  ), в i-ю клетку ставим 0.

Если, например, проведено 5 испытаний, и событие А произошло лишь во 2-м и 5-м испытаниях, то результат можно записать такой последовательностью нулей и единиц: 0; 1; 0; 0; 1.

Каждому возможному результату n испытаний будет соответствовать последовательность n цифр 1 или 0, чередующихся в том порядке, в котором появляются события A и   в n испытаниях, например:  

1; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 0; ... 0; 1; 1; 0                                

14444442444443                                         

n цифр

Всего таких последовательностей можно составить   (это читатель может доказать сам).

Так как испытания независимы, то вероятность P каждого такого результата определяется путем перемножения вероятностей событий A и   в соответствующих испытаниях. Так, например, для написанного выше результата найдем   

P = p×p×q×p×q×p×q×q×...×q×p×p×q

Если в написанной нами последовательности единица встречается х раз (это значит, что нуль встречается n–x раз), то вероятность соответствующего результата будет pnqn-x  независимо от того, в каком порядке чередуются эти x единиц и n–x нулей.

Все события, заключающиеся в том, что в n испытаниях событие A произошло x раз, а событие   произошло n-x раз, являются несовместными. Поэтому для вычисления вероятности объединения этих событий (или суммы этих событий), нужно сложить вероятности всех этих событий, каждая из которых равна pnqn-x  . Всего таких событий можно насчитать столько, сколько можно образовать различных последовательностей длины n, содержащих x цифр "1" и n–x цифр "0". Таких последовательностей получается столько, сколькими способами можно разместить x цифр "1" (или n–x цифр "0") на n местах, то есть число этих последовательностей равно 

Отсюда получается формула Бернулли:   

Pn(x) = 

По формуле Бернулли рассчитывается вероятность появления события A "x" раз в n повторных независимых испытаниях, где p – вероятность  появления события A в одном испытании, q - вероятность появления события   в одном испытании.

Сформулированные условия проведения испытаний иногда называются "схемой повторных независимых испытаний" или "схемой Бернулли"

Число x появления события A в n повторных независимых испытаниях называется частотой.

Пример. Из урны, содержащей 2 белых и 6 черных шаров, наудачу выбирается с возвращением 5 раз подряд один шар. Подсчитать вероятность того, что 4 раза появится белый шар.

В приведенных выше обозначениях n=8; p=1/4; q=3/4; x=5. Искомую вероятность вычисляем по формуле Бернулли:   

По формуле Бернулли можно подсчитать вероятности всех возможных частот:  x=0,1,2,3,4,5.

Заметим, что если в этой задаче считать, что белых шаров было 20000, а черных 60000, то очевидно p и q останутся неизменными. Однако в этой ситуации можно пренебречь возвращением извлеченного шара после каждой выборки (при не слишком больших значениях x) и считать вероятности всех частот: x=0,1,2,... по формуле Бернулли.

Формула Бернулли при заданных числах p и n позволяет рассчитывать вероятность любой частоты x (0 £ x £ n). Возникает естественный вопрос, какой частоте будет соответствовать наибольшая вероятность?

Предположим, что такая частота существует, и попытаемся ее определить из условия, что вероятность этой частоты не меньше вероятности "предыдущей" и "последующей" частот:  

 Pn(x) ³ Pn (x–1); Pn(x) ³ Pn (x+1)        (*)

Первое неравенство (*) представляется в виде:   

,

что эквивалентно   или  . Отсюда следует:   

Решая второе неравенство (1), получим    

Таким образом, частота, имеющая наибольшую вероятность (наивероятнейшая частота), определяется двойным неравенством   

Если np+p – целое число (тогда и np–q – целое число), то две частоты: x=np–q и x=n p+p обладают наибольшей вероятностью.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи с решениями

1. Каждый день акции корпорации  АВС поднимаются в цене или  падают в цене на один пункт  с вероятностями соответственно 0,75 и 0,25. Найти вероятность того, что акции после шести дней  вернутся к своей первоначальной  цене. Принять условие, что изменения  цены акции вверх и вниз  – независимые события.

Решение.

 Для того, чтобы акции вернулись  за 6 дней к своей первоначальной  цене, нужно, чтобы за это время  они 3 раза поднялись в цене  и три раза опустились в  цене. Искомая вероятность рассчитывается  по формуле Бернулли

2. Моторы многомоторного самолёта  выходят из строя во время  полёта независимо один от  другого с вероятностью р. Многомоторный  самолёт продолжает лететь, если  работает не менее половины  его моторов. При каких значениях  р двухмоторный самолёт надёжней  четырёхмоторного самолёта?

Решение.

 Двухмоторный самолёт терпит  аварию, если отказывают оба его  мотора. Это происходит с вероятностью  р2. Четырёхмоторный самолёт терпит  аварию, если выходят из строя  все 4 мотора а это происходит  с вероятностью р4, либо выходят  из строя три мотора из 4-х. Вероятность  последнего события вычисляется  по формуле Бернулли:  . Чтобы двухмоторный самолёт был надёжнее, чем четырёхмоторный, нужно, чтобы выполнялось неравенство

р24+4p3(1–p)

Это неравенство сводится к неравенству (3р–1)(р–1)1/3. Следует отметить, что если бы вероятность выхода из строя мотора самолёта превышала одну треть, сама идея использования авиации для пассажирских перевозок была бы очень сомнительной.

3. Бригада из десяти человек  идёт обедать. Имеются две одинаковые  столовые, и каждый член бригады  независимо один от другого  идёт обедать в любую из  этих столовых. Если в одну  из столовых случайно придёт  больше посетителей, чем в ней  имеется мест, то возникает очередь. Какое наименьшее число мест должно быть в каждой из столовых, чтобы вероятность возникновения очереди была меньше 0,15?

Решение.

Решение задачи придётся искать перебором возможных вариантов. Сначала заметим, что если в каждой столовой по 10 мест, то возникновение очереди невозможно. Если в каждой столовой по 9 мест, то очередь возникнет только в случае, если все 10 посетителей попадут в одну столовую. Из условия задачи следует, что каждый член бригады выбирает данную столовую с вероятностью 1/2. Значит, все соберутся в одной столовой с вероятностью 2(1/2)10=1/512. Это число много меньше, чем 0,15, и следует провести расчёт для восьмиместных столовых. Если в каждой столовой по 8 мест, то очередь возникнет, если все члены бригады придут в одну столовую, вероятность этого события уже вычислена, или 9 человек пойдут в одну столовую, а 1 человек выберет другую столовую. Вероятность этого события рассчитывается с помощью формулы Бернулли  . Таким образом, если в столовых по 8 мест, то очередь возникает с вероятностью 11/512, что пока ещё меньше, чем 0,15. Пусть теперь в каждой из столовых по 7 мест. Кроме двух рассмотренных вариантов, в данном случае очередь возникнет, если в одну из столовых придёт 8 человек, а в другую 2 человека. Это может произойти с вероятностью  . Значит, в этом случае очередь возникает с вероятностью 56/512=0,109375