Понятие функции

  ИНСТИТУТ БИЗНЕСА, ПРАВА И ИНФОРМАЦИОННЫХ                

                                ТЕХНОЛОГИЙ                               

                            КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА                           

                                  по дисциплине                                 

                                МАТЕМАТИКА                               

                                     на тему                                    

                  Понятие функции. Область определения  функции.                 

                             Способы задания функции                            

Выполнил:  Мальский Эдуард Александрович,

студент 2 курса

юридического факультета

заочного отделения

группа 25-ЮЗП

Преподаватель:

                                                          Оценка:_______________

                                           Подпись преподавателя:_______________

                                     2004 г.                                    

                                   Оглавление                                  

                  контрольной работы по дисциплине  «Математика»                 

             на тему «Понятие функции. Область  определения функции.            

                            Способы задания функции»                           

Введение...............................3

1.       Функция и её свойства......................4

2.       Способы задания функции...........................5

3.       Виды функций и их свойства....................6

Заключение............................11

Список использованной литературы...................12

                                    Введение.                                   

Функция - одно из основных математических и общенаучных  понятий. Оно сыграло

и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание

обнаруживается  уже в первых математически выраженных соотношениях между

величинами, в первых правилах действий над числами. В  первых формулах для

нахождения площади  и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые

(4-5тыс.лет назад)  пусть несознательно, установили, что площадь круга является

функцией от его  радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r

². Примерами табличного задания функции могут служить астрономические

таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами  словесного задания

функции - теорема  о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его

диаметре или  античные определения конических сечений, причем сами эти кривые

выступали в качестве геометрических образов соответствующей  зависимости.

Раздел 1. Функция  и её свойства.

     Функция- зависимость переменной у от переменной x, если

каждому значению х соответствует единственное значение у.

     Переменная х- независимая переменная или аргумент.

     Переменная у- зависимая переменная

     Значение функции- значение у, соответствующее заданному значению х.

     Область определения функции- все значения, которые принимает независимая

переменная.

     Область значений функции (множество значений)- все значения, которые

принимает функция.

     Функция является четной- если для любого х из области определения

функции выполняется  равенство f(x)=f(-x)

     Функция является  нечетной- если для любого х из области

определения функции  выполняется равенство f(-x)=-f(x)

     Возрастающая функция- если для любых х₁ и х₂

, таких, что х₁< х₂, выполняется

неравенство f(х₁)<f(х₂)

     Убывающая функция- если для любых х₁ и х₂

, таких, что х₁< х₂, выполняется

неравенство f(х₁)>f(х₂)

Раздел 2. Способы  задания функции.

Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью  которого для каждого

значения аргумента  можно найти соответствующее  значение функции. Наиболее

употребительным является способ задания функции  с помощью формулы у=f(x)

, где f(x)- с переменной х. В таком случае говорят, что функция

задана формулой или что функция задана аналитически.

На практике часто  используется табличный способ задания функции. При

этом способе  приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в

таблице значений аргумента. Примерами табличного задания  функции являются

таблица квадратов, таблица кубов.

Раздел 2. Виды функций  и их свойства.

1)  Постоянная функция- функция, заданная формулой у=b, где

b-некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая,

параллельная оси  абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат

2)  Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у=kx,

где к¹0. Число  k называется коэффициентом пропорциональности

.

Cвойства функции  y=kx:

1. Область определения  функции- множество всех действительных  чисел

2. y=kx - нечетная функция

3. При k>0 функция  возрастает, а при k<0 убывает  на всей числовой прямой

3)Линейная функция- функция, которая задана формулой y=kx+b, где

k и b-действительные числа. Если в частности, k=0, то

получаем постоянную функцию y=b; если b=0, то получаем прямую

пропорциональность  y=kx.

Свойства функции  y=kx+b:

1. Область определения-  множество всех действительных  чисел

2. Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.

3. При k>0 функция  возрастает, а при k<0 убывает  на всей числовой прямой

Графиком функции  является прямая.

4)Обратная пропорциональность- функция, заданная формулой y=k/х,

где k¹0 Число  k называют коэффициентом обратной

пропорциональности.

Свойства функции y=k/x:

1. Область определения-  множество всех действительных  чисел кроме нуля

2. y=k/x- нечетная функция

3. Если k>0, то функция  убывает на промежутке (0;+¥) и  на промежутке

(-¥;0). Если k<0, то  функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на

промежутке (0;+¥).

Графиком функции  является гипербола.

5)Функция y=x²

Свойства функции  y=x²:

1. Область определения-  вся числовая прямая

2. y=x² - четная функция

3. На промежутке [0;+¥) функция возрастает

4. На промежутке (-¥;0] функция убывает

Графиком функции является парабола.

6)Функция y=x³

Свойства функции  y=x³:

1. Область определения-  вся числовая прямая

2. y=x³ -нечетная функция

3. Функция возрастает  на всей числовой прямой

Графиком функции  является кубическая парабола

7)Степенная функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой

y=xⁿ, где n- натуральное число. При n=1 получаем функцию

y=x, ее свойства  рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем  функции y=x²;

y=x³. Их свойства рассмотрены выше.

Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8... В этом случае функция

y=xⁿ обладает теми же свойствами, что и функция y=x².

График функции  напоминает параболу y=x², только ветви графика при

|х|>1 тем круче  идут вверх, чем больше n, а при  |х|<1 тем “теснее

прижимаются”  к оси Х, чем больше n.

Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9... В этом случае

функция y=xⁿ обладает теми же свойствами, что и функция y=x

³. График функции напоминает кубическую параболу.

8)Степенная функция с целым отрицательным показателем- функция, заданная

формулой y=x^-n, где n- натуральное число.

При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены  в п.4.

Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7... В этом случае функция y=x

^-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция

y=1/х.

Пусть n- четное число, например n=2.

Свойства функции  y=x^-2:

1. Функция определена  при всех x¹0

2. y=x^-2 - четная функция

3. Функция убывает  на (0;+¥) и возрастает на (-¥;0).

Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.

9)Функция y=Öх

Свойства функции y=Öх:

1. Область определения  - луч [0;+¥).

2. Функция y=Öх - общего вида

3. Функция возрастает  на луче [0;+¥).

10)Функция y=³Öх

Свойства функции  y=³Öх:

1. Область определения-  вся числовая прямая

2. Функция y=³Öх нечетна.

3. Функция возрастает на всей числовой прямой.

    

11)Функция y=ⁿÖх

При четном n  функция  обладает теми же свойствами, что и  функция y=Öх

. При нечетном n функция y=ⁿÖх обладает теми же

свойствами, что  и функция y=³Öх.

12)Степенная функция с положительным дробным показателем- функция,

заданная формулой y=x^r, где r- положительная

несократимая дробь.

Свойства функции  y=x^r:

1. Область определения-  луч [0;+¥).

2. Функция общего  вида

3. Функция возрастает  на [0;+¥).

На рисунке изображен  график функции y=x^5/2. Он заключен между

графиками функций y=x² и y=x³, заданных на промежутке

[0;+¥).Подобный вид  имеет любой график функции  вида y=x^r