«Предикат» және «қатынас» ұғымын оқып-үйренудің әдістемелік ерекшеліктері

«Предикат» және «қатынас» ұғымын

оқып-үйренудің  әдістемелік ерекшеліктері

 

Жетпісов  Қ. ф.-м.ғ.к, доцент, Е.А. Бөкетов атындағы Қарағанды мемлекеттік университеті

Бейсеналина С.Т. магистр, Қазтұтынуодағы Қарағанды экономикалық университеті.

 

Бұл мақалада тұжырымдық мағынадағы «предикат» ұғымы мен теоретико-жиындық мағынадағы «қатынас» ұғымының арасындағы негізгі байланыс анықталады және оларды оқып-үйренудің әдістемелік ерекшеліктері айқындалады. Бұл ұғымдардың пропедевтивтік анықталуынан бастап математикалық ұғымдар ретіндегі қалыптасуы мен олардың қайда және қалай қолданылатындығы толық сипатталады.

 

В данной статье определяется основная связь между  понятиями «предикат» в высказывательном смысле и «отношение» в теоретико-множественном  смысле, а так же некоторые методические особенности их изучения. Показан путь формирования этих понятий начиная с пропедевтивного определения до формирования их как математическое понятие, полностью описано, где и как они применяются.

 

In the article the main relationship between the notion «predicate» in the sentence meaning and the notion «relation» in the set-theory meaning is defined. Also we define some methodical peculiarities of study of these notions. The way of forming of these notions beginning from the propedevtic definition to forming of these notions as a mathematical notion. The application of these notions is described completely.

 

 

Предикат, айтылымдық (тұжырымдық) форма, ақиқаттық функциясы, қатынас терминдері – белгілі  бір мағынада синонимдер болып табылады. Жиындар теориясы мен жалпы алгебралық жүйелер теориясында предикат деп  ақиқаттық функциясын түсінеміз. Предикат ұғымына деген әртүрлі көзқарас нақты есептің қойылымы мен оны шешу әдісінің ерекшеліктеріне байланысты және ол көрсетілген математикалық пәннің даму процессінде айқындалады. Бұл жағдайда ерекше назарды қатынастарды (күрделі предикаттарды) предикат санағының формулалары арқылы беруге аударамыз.

Бұл мақалада математикада ең бір кең таралған қатынастың түрлері  ретінде екі орынды қатынастарды енгізу мен оқып-үйренудің әдісі енгізіледі және екіорынды қатынастардың қасиеттерін оқып-үйренудің әдістемелік тұрғылары қарастырылады. Қасиеттерді тікелей анықтау предикаттар санағы тілінің формулаларының көмегімен іске асырылады және сонан соң, екі орынды қатынастарды көбейту мен кері амалды анықтаған соң, теоретико-жиындық қатынастар мен амалдарды қолданып енгізілген амалдар тілінде осы қасиеттердің сипаттамалары беріледі. Екі орынды қатынастардың қасиеттерін анықтауға қатысты оқып-үйренудің әртүрлі тұрғысы мен олардың теңкүштілігін негіздеу студенттердің бірдеңгейлі (стереотипность) ойлауларын жеңуге және сонымен қатар, әртүрлі сигнатуралардағы алгебралық жүйелердің көріністерін білу мен дағдылануын қалыптастыруға көмектеседі. Осыған байланысты, жаңа алгебралық амалдарды енгізу студенттерге, стандартты емес мысалдарды құруда, проблемалық ситуацияларды жасауда, творчестволық белсенділігін арттыруда жалпы функционалдық көріністер туралы жаңа мүмкіндіктер ашады.

Егер әңгіме екіорынды қатынас туралы болатын болса, ( жиынында анықталған) және бұл ұғымдар жеткілікті деңгейде игерілген болса, онда студенттердің ішкі сезімі деңгейінде бұл ұғымның айқындалу өрісі келесі түрде іске асады:

а) және жиындарының декарттық көбейтіндісі бұл түріндегі реттелген жұптардың жиыны, мұндағы .

б) жиынының декарттық квадраты осы жиындардың декарттық көбейтіндісі .

в) жиынында анықталған бинарлық қатынас , ол жиынының кейбір ішкі жиыны.

 жиынының ішкі жиыны анықтама  бойынша  жиынының жиынына сәйкестігі болғандықтан, онда жоғарыда келтірілген айқындалу өрісін келесі түрде толықтыруға болады:

г) жиынының жиынына сәйкестігі, ол жиынының кейбір ішкі жиыны.

д) -ның -ға сәйкестігі, ол жиынының кейбір ішкі жиыны.

е) жиынында анықталған екі орынды қатынасы -ның -ға сәйкестігі [2].

Осындай толықтырулардың  негізінде, мысалға, екі орынды қатынасының анықталу облысы мен мәндер жиыны туралы ( сәйкестігінің облыстары ретінде) айтуға болады. Жеке жағдайда, ақырлы жиынында анықталған екі орынды қатынасты таблицалық, графиктік түрде, графтардың көмегімен және қима ретінде беруге болады.

Екі орынды қатынастарды көрнекі  етіп көрсетудің құнды ерекшелігі, оның қасиеттері сәйкес суреттеуде сипаттық ерекшеліктерімен бейнелік қалыпын  табады. Бұл екі орынды қатынастың әртүрлі қасиеттерін анықтау мүмкіндігін байыта түседі. «Эквиваленттік қатынас» ұғымының ерекше құндылығы жалпы ғылымдық мағынасы бар бірқатар канондық құрылымдардың онымен байланысты болуында.

Қатынастар  мен предикаттар. Алгебралық жүйе ұғымын оқып-зерттеудің ғылым-әдістемелік тұрғылары бос емес жиынын онда анықталған алгебралық амалдар мен предикаттармен (қатынастармен) қатар, яғни, «алгебралық амал» ұғымын пропедевтивтік талдаумен қатар, алгебралық жүйенің екінші негізгі құраушысы – предикат ұғымында жоғарыдағыға ұқсас оқып-зерттеуді талап етеді.

 жиынының декарттық  дәрежесі -нің ішкі жиыны осы жиынындағы (анықталған, берілген) орынды предикат деп аталады.

Жиындар теориясы мен жалпы  алгебра «қатынас» терминін ұстанады, яғни, жиынында берілген орынды қатынас деп жиынының (кез-келген) ішкі жиынын түсінеді. саны қатынасының рангі деп аталады. Рангі 1 болатын қатынас унарлы деп, екі болатын – бинарлы (екі орынды) деп, үш болатын – тернарлы (үш орынды) деп аталады. Егер болса, онда – деп жазып, жиынының элементтері қатынасында деп айтатын боламыз. Екі орынды қатынас жағдайында жазуын жазуына дейін қысқартамыз. Егер элементтері қатынасында болмаса, онда « дұрыс емес» немесе « орындалмайды» немесе логикалық таңбаларды қолдану арқылы түрінде жазамыз.

Модельдер теориясы мен алгебралық жүйелердің жалпы теориясында анықтау  облысы жиынымен сәйкес келетін, ал мәндер облысы екі элементті {ақиқат, жалған}={а, ж} жиынына тиісті жиынының ішкі жиынымен -орынды функциясын байланыстырады және бұл жағдайда кез-келген  элементтері үшін

 

яғни, мұндай ішкі жиындар  -орынды айтылымдық формалар немесе предикаттар түрінде ұсынылады. (Әдетте жазуының орнына өрнегін қолданады).

Сонымен, жиынында анықталған -орынды предикат деп анықтау облысы жиыны, ал мәндер жиыны {а, ж} жиынына енетін -орынды функциясын айтамыз. жиынында анықталған осындай -орынды қатынасымен табиғи түрдегі жиынының ішкі жиынын байланыстыруға болады.

.

Бұл ішкі жиынды әдетте предикатының ақиқаттық облысы деп атайды және арқылы белгілейді. жиынының ішкі жиынынан жиынында анықталған -орынды қатынасқа көшу, яғни, жиынында анықталған -орынды қатынастан -орынды предикатқа көшу және жиынында анықталған. -орынды предикаттан жиынындағы ішкі жиынына көшу -орынды қатынас пен -орынды предикатты жиынының әртүрлі баяндалуындағы (формасына қатысты) ішкі жиыны ретінде қарастыруға мүмкіндік береді. Осыған ұқсас, жиынында анықталған әрбір -орынды алгебралық амал мен табиғи түрде -орынды қатынасын келесі ереже (бұл байланыс алгебраларды оқып-зерттеудің теоретико-модельдік негізінде жатыр) бойынша байланыстыруға болады: кез келген элементтері үшін қатынасы функциясының графигі деп аталады.

Алгебралық  амалдардан олардың әртүрлі графиктеріне көшу арқылы әртүрлі орынды қатынастардың  мысалдарын алуға болады. Мысалы, натурал сандар жиынындағы екі орынды қосу алгебралық амалынан үшорынды қатынасын келесі ереже бойынша анықтауға болады. Кез келген үшін: .

Егер  жиынында анықталған алгебралық амалының жиынтығында мәні олардың ең үлкен ортақ бөлгіші (е.ү.о.б) болатын натурал сан болса, онда сәйкес предикаты келесі ережемен анықталады: Кез-келген үшін

Рангі болатын қатынас жиынында жиынының элементтері үшін түріндегі -дерден тұратын ішкі жиынын бөліп алу арқылы беріледі. Әрине бұл жағдайда, предикаттық емес тұжырымдаулардан аулақ болып анықтаушы қасиеттер ретінде нақты элементтерде тиімді тексеруге болатын шарттарды алу керек.

Бұл жағынан  алғанда мектеп математикасының  материалдары мұғалімге кең мүмкіндік  береді. Ең маңыздысы оқушылар тек қана мектептен белгілі қатынастарды қолдануы қажет, сонда, олардың баяндалу формасы мен мағынасы қатынастар теориясының қазіргі заманғы талаптарына жауап беріп, предикаттар санағы тілінің алғашқы дағдыларын дұрыс және тиімді пайдалануды қалыптастыруға септігін тигізеді.

Бұл тұрғыдан алғанда  әртүрлі қатынастардың мысалдарын келтіруде келесі шарттарды көрсету қажет:

1. Осы қатынастың  рангі  ;

2. Осы қатынас  анықталған жиын;

3. Осы қатынасқа тиісті -діктерді бөліп алуға қажетті қасиеттер.

Кейбір жағдайларда, «қатынас» ұғымына тиісті сипаттамалар сұрақтың мәтінінен де анық болады, бірақ жалпы жағдайда анықталған жүйені ұстанған дұрыс. Қатынастардың бір қарағандағы жақсы мысалдары болып белгілі параллельдік, ұқсастық, тең шамалық, қамтылу, теңдік және осыған ұқсас қатынастар болатындығымен шектеліп және әріректе мұғалім оларды нақтылай бермей, басқа да қатынастарды қарастыруды оқушыларға ұсынуы қажет. Қажетті нақтылықтан айырылған, ешқандайды ой-талдауды туындатпайтын, ең жақсы жағдайда таза механикалық баяндау болатын бұл мысалдардың ең жағымсыз түрлері оқушыларға ешқандай пайда бермейді.

Жеке жағдайда, параллельдік қатынасы жазықтықтағы барлық түзулер  жиынында, кеңістіктің барлық түзулер  жиынында, үшөлшемді кеңістіктегі барлық жазықтықтар жиынында берілуі мүмкін. Сондықтан оның рангі 2 және 3 бола алады. Параллельдік қатынасымен байланысты нақты түрдегі ой-талдаудың бірі келесі түрде болуы мүмкін: айталық, екіорынды қатынасы жазықтықтағы барлық түзулер жиынында берілген параллельдік болсын.

Қатынастың сөздік анықтамасын бергеннен соң оның формаль тілдегі анықтамасын берген дұрыс (яғни, предикаттар алгебрасының жартылай формаль тілін пайдаланып оны формуланың көмегімен беруі қажет) [1].

Мысалы, жоғарыда келтірілген  қатынасы, жазықтықтағы түзулер жиынындағы праллельдік деп алсақ, ол келесі түрде беріледі:

.

Предикаттар алгебрасының көмегімен берілген қатынасының  құрылуы мен түсінігі оның семантикасында дұрыс құрылған жағдайда талдаудың көмегімен оның құрылымын, рангін, ол анықталған жиынды, анықтаушы қасиетті талдау алгоритмін анықтау мүмкін болады. Айталық, рационал сандар жиынында «+» және «·» таңбаларын стандартты қабылдау туралы шарт бекітіліп, төмендегі формуламен қатынасы берілген болсын:

.

Бұл формуланы  тікелей талдау арқылы келесі қорытынды  жасауға болады: үш орынды қатынасы нақты сандар жиынында анықталған, және орындалады сол уақытта тек ғана сол уақытта, егер квадраттық теңдеуінің (белгісіз -ға қатысты) нақты түбірі бар болса.

Анықтаушы қасиетті тексеру  алгоритмі белгілі: теңдеуінің нақты шешімі болады, сол уақытта тек қана сол уақытта, егер болса.

 жиынында анықталған рангі болатын барлық қатынастар жиыны жиынының барлық ішкі жиындарының жиыны болатын   булеанымен сәйкес келеді. Осыған сәйкес, алгебрасына ұқсас жиынындағы -рангті қатынастар алгебралары енгізіледі .

Екі орынды қатынастар және олардың қасиеттері. Екі орынды қатынастар математикада қарастырылатын қатынастардың ең бір кең тараған түрі болып табылады. Екі орынды қатынастардың маңызды типтері эквиваленттік және реттік қатынастар. Бұл қатынастар тек қана математикада емес жалпы ғылымдар үшін абстракция арқылы анықтаудың жалпы әдісі болып табылады. Жалпы анықтамаға сәйкес жиынында анықталған екі орынды қатынас – жиынының (декарттық квадраттың) ішкі жиыны.

 жиынында анықталған екі  орынды қатынастың қарапайым  мысалы  қатынасы. Бұл қатынас жиынының диагоналі деп аталады Екі орынды қатынастың мысалы ретінде келесі қатынастарды қарастыруға болады:

а) Берілген жазықтықтағы барлық түзулер жиынындағы түзулердің параллельдігі  мен перпендикулярлығы болатын  екі орынды қатынастар;

б) Барлық нақты сандар жиынындағы ≤ «кіші немесе тең» - екі орынды қатынасы;

в) {1,2,..., ,...} жиынындағы «бүтін» бөлінгіштік екіорынды қатынасы;

г) Берілген жазықтықтағы барлық үшбұрыштар жиынындағы ұқсастық-екі  орынды қатынасы;

д) Үш өлшемді кеңістіктің  барлық нүктелер жиынының осы кеңістіктің берілген жазықтығына қатынасты симметриялары - екі орынды қатынасы;

е) Берілген жазықтықтың  барлық дөңес көпбұрыштар жиынындағы тең шамалық-екі орынды қатынасы;

Екі орынды қатынастардың  қасиеттерін анықтауда, предикаттар алгебрасы тілінің мағыналық және мәнерлік мүмкіндіктерінен пропедевтивтік таныстыруды жалғастыру мақсатында оларды осы тілдің формулалары арқылы жазу ұсынылады. жиынында анықталған екіорынды қатынасы (аталады):

а) рефлексивті деп, егер ;

б) иррефлексивті деп, егер ;

в) симметриялы деп, егер ;

г) антисимметриялы деп, егер ;