Применение математических методов в экономических исследованиях и планировании

Содержание

 

1. Применение математических  методов в экономических исследованиях  и планировании………………………………….. 3

 

2. Задача № 1…………………………………………………… 8

 

3. Задача № 2……..………………….………………………… 13

 

Список литературы…………………………………………... 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Применение математических методов в экономических исследованиях и планировании.

Использование математических методов в сфере управления - важнейшее  направление совершенствования  систем управления. Математические методы ускоряют проведение экономического анализа, способствуют более полному учету  влияния факторов на результаты деятельности, повышению точности вычислений. Применение математических методов требует:

-  системного подхода к исследованию заданного объекта, учета взаимосвязей и отношений с другими объектами (предприятиями, фирмами);

-    разработки математических моделей, отражающих количественные показатели системной деятельности работников организации, процессов, происходящих в сложных системах, какими являются предприятия;

- совершенствования системы информационного обеспечения управления предприятием с использованием электронно-вычислительной техники.

Решение задач экономического анализа математическими методами возможно, если они сформулированы математически, т.е. реальные экономические  взаимосвязи и зависимости выражены с применением математического  анализа. Это вызывает необходимость  разработки математических моделей.

В управленческой практике для решения экономических задач  прибегают к различным методам.

Например, в сетевом планировании и управлении используются различные  математические методы, а в значение термина "исследование операций" многие авторы вкладывают различное  содержание.

Методы элементарной математики используются в традиционных экономических  расчетах при обосновании потребностей в ресурсах, разработке плана, проектов и т. п.

Классические методы математического  анализа используются самостоятельно (дифференцирование и интегрирование) и в рамках других методов (математической статистики, математического программирования).

Статистические методы - основное средство исследования массовых повторяющихся явлений. Они применяются  при возможности представления  изменения анализируемых показателей  как случайного процесса. Если связь  между анализируемыми характеристиками не детерминированная, а стохастическая, то статистические и вероятностные  методы становятся практически единственным инструментом исследования. В экономическом  анализе наиболее известны методы множественного и парного корреляционного анализа.

Для изучения одновременных  статистических совокупностей служат закон распределения, вариационный ряд, выборочный метод. Для многомерных  статистических совокупностей применяются  корреляции, регрессии, дисперсионный, ковариационный, спектральный, компонентный, факторный виды анализа.

Экономические методы базируются на синтезе трех областей знаний: экономики, математики и статистики. Основа эконометрии — экономическая модель, т.е. схематическое представление экономического явления или процессов, отражение их характерных черт с помощью научной абстракции. Наиболее распространен метод анализа экономики "затраты — выпуск". Метод представляет матричные (балансовые) модели, построенные по шахматной схеме и наглядно иллюстрирующие взаимосвязь затрат и результатов производства.

Методы математического  программирования — основное средство решения задач оптимизации производственно-хозяйственной  деятельности. По сути, методы — средства плановых расчетов, и они позволяют  оценивать напряженность плановых заданий, дефицитность результатов, определять лимитирующие виды сырья, группы оборудования.

Под исследованием операций понимаются разработки методов целенаправленных действий (операций), количественная оценка решений и выбор наилучшего из них. Цель исследования операций сочетание  структурных взаимосвязанных элементов  системы, в наибольшей степени обеспечивающее лучший экономический показатель.

Теория игр как раздел исследования операций представляет собой теорию математических моделей принятия оптимальных решений в условиях неопределенности или конфликта нескольких сторон, имеющих различные интересы.

Экономическая кибернетика  анализирует экономические явления  и процессы как сложные системы  с точки зрения законов управления и движения в них информации. Методы моделирования и системного анализа  наиболее разработаны именно в этой области.

Применение математических методов в экономическом анализе  базируется на методологии экономико-математического  моделирования хозяйственных процессов  и научно обоснованной классификации  методов и задач анализа. Все  экономико-математические методы (задачи) подразделяются на две группы: оптимизационные  решения по заданному критерию и  неоптимизационные (решения без критерия оптимальности).

По признаку получения  точного решения все математические методы делятся на точные (по критерию или без него получают единственное решение) и приближенные (на основе стохастической информации).

К оптимальным точным можно  отнести методы теории оптимальных  процессов, некоторые методы математического  программирования и методы исследования операций, к оптимизационным приближенным - часть методов математического  программирования, исследования операций, экономической кибернетики, эвристические.

К неоптимизационным точным принадлежат методы элементарной математики и классические методы математического анализа, экономические методы, к неоптимизационным приближенным — метод статистических испытаний и другие методы математической статистики.

Особенно часто применяются  математические модели очередей и управления запасами. Например, теория очередей опирается  на разработанную учеными А.Н. Колмогоровым и А.Л. Ханчиным теорию массового обслуживания.

Теория массового обслуживания. Данная теория позволяет изучать  системы, предназначенные для обслуживания массового потока требований случайного характера. Случайными могут быть как  моменты появления требований, так  и затраты времени на их обслуживание. Целью методов теории является отыскание  разумной организации обслуживания, обеспечивающей заданное его качество, определение оптимальных (с точки  зрения принятого критерия) норм дежурного  обслуживания, надобность в котором  возникает непланомерно, нерегулярно.

Типичным примером объектов теории массового обслуживания могут  служить автоматические телефонные станции - АТС. На АТС случайным образом  поступают “требования” - вызовы абонентов, а “обслуживание” состоит в соединении абонентов с другими абонентами, поддержание связи во время разговора  и т.д. Задачи теории, сформулированные математически, обычно сводятся к изучению специального типа случайных процессов.

Исходя их данных вероятностных  характеристик поступающего потока вызовов и продолжительности  обслуживания и учитывая схему системы  обслуживания, теория определяет соответствующие  характеристики качества обслуживания (вероятность отказа, среднее время  ожидания начала обслуживания т.п.).

 Математическими моделями  многочисленных задач технико-экономического  содержания являются также задачи  линейного программирования. Линейное  программирование - Задача планирования  работы предприятия состоит в  рациональном распределении времени  работы предприятия по различным  технологическим способам, т.е. такого, при котором будет произведено максимальное количество изделий при заданных ограниченных затратах каждого производственного фактора.

 На основе метода  математического моделирования  в операционных исследованиях  решаются также многие важные  задачи, требующие специфических  методов решения. К их числу  относятся: 

 - Задача надежности изделий.

 - Задача замены оборудования.

- Теория расписаний (так называемая это дисциплина, посвященная теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах, задаваемых системами линейных равенств и неравенств.

 - Теория календарного планирования).

 - Задача распределения ресурсов.

 - Задача ценообразования.

 - Теория сетевого планирования.

 Решение экономических  задач с помощью метода математического  моделирования позволяет осуществлять  эффективное управление как отдельными  производственными процессами на  уровне прогнозирования и планирования  экономических ситуаций и принятия  на основе этого управленческих  решений, так и всей экономикой  в целом. Следовательно, математическое  моделирование как метод тесно  соприкасается с теорией принятия  решений в менеджменте. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Задача № 1

Решить пример линейного  программирования симплекс-методом:

Пример:

Z=4x₁ +3x₂ + x₃ ―›min

Система ограничений:

3x₁ - x₂ + 2x₃ ≥ 1

2x₁ + 4x₂ -5x₃ ≥ 3

-x₁ + 2x₂ +x₃ ≥ 1

Условие неотрицательности: x_j ≥ 0 (j = 1,2,3)

Решение:

Переходим от системы неравенств к системе уравнений. Введем дополнительную переменную y_i как разность между большей и меньшей частью неравенства:

y₁ = 3x₁ - x₂ + 2x₃ - 1

y₂ = 2x₁ + 4x₂ -5x₃  - 3

y₃ = -x₁ + 2x₂ +x₃ - 1

Запишем математическую модель в табличной форме.

Таблица 1. – Исходная симплекс таблица.

	-x1	-x2	-x3	Свободные члены
y1	-3	1	-2	-1
y2	-2		5	-3
y3	1	-2	-1	-1
Z	-4	-3	-1	0

 

В таблице все (кроме строки Z) отрицательные свободные члены, значит, наш исходный вариант недопустим.

Выбираем разрешающий  элемент:

1) разрешающая строка: среди  отрицательных свободных членов, кроме строки Z, выбираем наибольший по абсолютной величине (в нашем случае это -3);

2) разрешающий столбец:  поделим свободные члены разрешающей строки на каждый ее коэффициент (т.е. -3/-2=1,5; -3/-4=0,75; -3/5=-0,6) наименьшее из положительных отношений укажет на столбец (в нашем примере -3/-4=0,75).

На пересечении разрешающей  строки и разрешающего столбца находится  разрешающий элемент а₂₂=-4.

1) Заполняем клетку соответствующую  разрешающему элементу: единицу  делим на разрешающий элемент  1/-4= -1/4;

2) Заполняем строчку соответствующую  разрешающему элементу, каждый элемент  строки разделить на разрешающий  элемент -2/-4; 5/-4;-3/-4;

3) Заполняем столбец: каждый  элемент столбца разделить на  разрешающий элемент и умножить  на 1/-4*(-1); -2/-4*(-1); -3/-4*(-1)

4) все оставшиеся элементы  по правилу прямоугольника:

а)  L_{z св чл} =   -4*0 - (-3)*(-3)  _{= 9/4;}

                             -4                        

 

б) L_{3 св чл} =   -4*-(1)-(- 2)*(-3) _{= - 1/2;}

                               -4              

                                       

в) L_{1 св чл} =     -4*(-1) – (-3)*1 _{= - 7/4;}

                              -4                 

        

г) L₁₁ =   -4*(-3) - 1*(-2) _{= - 14/4;}

                           -4                    

 

д) L₁₃ =   -4*(-2) - 1*5 _{= - 3/4;}

                         -4                        

 

 е)  L₃₁ =   -4*(-1) –(-2) *(-2) ₌  2_;

                               -4

 

ж)  L₃₃ =   -4*(-1) - 5*(-2) _{= - 14/4;}

                                -4

и)  L_z1 =   -4*(-4) – (-3)*(-2) _{= - 10/4;}

                                -4

 

к)  L_z3 =   -4*(-1) - 5*(-3) _{= - 19/4.}

                                -4

 

Делая шаг МЖИ, получаем таблицу 2.

Таблица 2. – Симплекс таблица  после первой итерации.

	-x1	- y2	-x3	Свободные члены
y1		1/4	-3/4	-7/4
x2	-2	-1/4	-5/4	3/4
y3	2	-2/4	-14/4	-1/2
Z	-10/4	-3/4	-19/4	9/4