Применение производной в экономике

.

Если вложения осуществляются достаточно малыми порциями, то , т.к. dY - результат, dL - затраты, то MP_L – предельная производительность труда.

Аналогично, MP_k - предельный продукт капитала - дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных вложений капитала K при неизменной величине труда:

.

Если вложения осуществляются малыми порциями, то .

MP_k - характеризует предельную производительность капитала.

Нетрудно заметить, что многие, в том числе базовые законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем.

Вначале рассмотрим экономическую  интерпретацию теоремы: если дифференцируемая на промежутке X функция y= f(x) достигает  наибольшего или наименьшего  значения во внутренней точке x₀ этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, то есть f ’(x₀) = 0.

Один из базовых законов  теории производства звучит так: "Оптимальный для производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода".

То есть уровень выпуска  Q_o является оптимальным для производителя, если MC(Q_o)=MR(Q_o),  где MC - предельные издержки, а MR - предельный доход.

Обозначим функцию прибыли  за П(Q). Тогда П(Q) = R(Q) — C(Q), где R – прибыль, а C – общие издержки производства.

Очевидно, что оптимальным  уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальна, то есть такое значение выпуска Q_o, при котором функция П(Q) имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке П’(Q) = 0. Но П’(Q)=R’(Q) - C’(Q), поэтому R’(Q_o) = C’(Q_o), откуда следует, что MR(Q_o) = MC(Q_o).

Другое важное понятие  теории производства - это уровень  наиболее экономичного производства, при котором средние издержки по производству товара минимальны. Соответствующий  экономический закон гласит: “оптимальный объем производства определяется равенством средних и предельных издержек”.

Получим это условие как  следствие сформулированной выше теоремы.  Средние издержки AC(Q) определяются как  , т.е. издержки по производству всего товара, деленные на произведенное его количество. Минимум этой величины достигается в критической точке функции y=AC(Q), т.е. при условии , откуда TC’(Q)Q—TC(Q) = 0 или , т.е. MC(Q)=AC(Q).

Понятие выпуклости функции  также находит свою интерпретацию  в экономической теории.

Один из наиболее знаменитых экономических законов - закон убывающей доходности - звучит следующим образом: "с увеличением производства дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса (трудового, технологического и т.д.), с некоторого момента убывает".

Иными словами, величина , где Dy - приращение выпуска продукции, а Dx - приращение ресурса, уменьшается при увеличении x. Таким образом, закон убывающей доходности формулируется так: функция y= f(x), выражающая зависимость выпуска продукции от вложенного ресурса, является функцией, выпуклой вверх.

Другим базисным понятием экономической теории является функция  полезности

U= U(x),

где  х  - товар,

U – полезность.

Эта величина очень субъективная для каждого отдельного потребителя, но достаточно объективная для общества в целом. Закон убывающей полезности звучит следующим образом: с ростом количества товара, дополнительная полезность от каждой новой его единицы с некоторого момента убывает. Очевидно, этот закон можно переформулировать так: функция полезности является функцией, выпуклой вверх. В такой постановке закон убывающей полезности служит отправной точкой для математического исследования теории спроса и предложения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА 3. ПРИМЕРЫ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОИЗВОДНОЙ

Задача 1

Цементный завод производит Х т. цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 40 т. цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 100 т. в день.

Определить, при каком  объеме производства удельные затраты  будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:

К= . Удельные затраты составят

  =

Наша задача сводится к  отысканию наибольшего и наименьшего значения функции y = на промежутке [40;100].

Находим производную данной функции . Приравниваем её к нулю. =0.

Вывод: x=49, критическая точка  функции. Вычисляем значение функции на концах промежутка и в критической точке.

f(40)=2620

f(49)=2701

f(100)=100

Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 100 тонн в день минимально, следовательно, можно посоветовать работать заводу на предельной мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции нельзя будет увеличить выпуск продукции.

Задача2

Предприятие производит Х  единиц некоторой однородной продукции  в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накоплений предприятия от объема выпуска выражается формулой f(x) =. Исследуйте потенциал предприятия.

Функция исследуется с  помощью производной. Производная функции будет равна . Приравниваем производную к нулю. Получаем, что при x=100 функция достигает максимума.

Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением  объема производства до 100 единиц, при  х =100 они достигают максимума  и объем накопления равен 59000 денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.

Задача 3

Объем продукции u, произведенной бригадой рабочих, может быть описан уравнением , 1 ≤ t ≤ 8, где t - рабочее время в часах. Вычислить производительность труда, скорость и темп ее изменения через час после начала работы и за час до ее окончания. 
 
Производительность труда выражается производной 

, а скорость и темп изменения производительности – соответственно производной z`(t) и логарифмической производной ` 

z`(t) = -5t+15 (ед./ч²)

(ед./ч)

В заданные моменты времени t₁ = 1 и t₂ =8 – 1 соответственно имеем: 

 

и

Итак, к концу работы производительность труда существенно снижается; при этом изменение знака z`(t) и логарифмической производной с плюса на минус свидетельствует о том, что увеличение производительности труда в первые часы рабочего дня сменяется её снижением в последние часы.

 

 

Задача 4

Спрос-это зависимость  между ценой единицы товара и  количеством товара, которое потребители  готовы купить при каждой возможной  цене, за определенный период времени  и при прочих равных условиях.

Зависимость спроса от цены описывается функцией ,

Данная функция исследуется  с помощью производной:

Производная меньше нуля, если   P≥0.

Определим точку перегиба функции. Такой точкой является точка (0,5;0,6), т.е. при P<0,5 спрос убывает медленнее, а при P>0,5 спрос убывает все быстрее.(рис.1)

Рис1

Задача 5

Выручка от реализации товара по цене p составляет:

(Денежных единиц), где  . Исследуем эту функцию с помощью производной.

Производная этой функции:  положительна, если p<1/2 и отрицательна для p>1/2, это означает, что с ростом цены выручка в начале увеличивается ( несмотря на падение спроса) и  p=1/2 достигает максимального значения   , дальнейшее увеличение цены не имеет смысла, т.как оно ведет к сокращению выручки. Темп изменения выручки выражается второй производной.

 темп положительный              темп отрицательный

На промежутке (0,1/2) функция  возрастает все медленнее, то есть дальнейшее повышение цены не выгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным темпом для , а затем темп убывания становится положительным и для P>0,9 выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном увеличении цены.

Для наглядной демонстрации выше сказанного составим таблицу и  построим график.(табл.1)

 

p	(0, 1/2)	1/2
U'(p)	+	0	-	-0,47	-
U''(p)	-		-	0	+
U (p)	возрастает выпукла	0,3 max	убывает выпукла	0,2 точка перегиба	убывает вогнута

Табл.1

Вывод:

На промежутке (0, 1/2) функция  возрастает все медленнее.

Соответствующая часть графика  выпукла. Как уже отмечалось, дальнейшее повышение цены не выгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным темпом , а затем темп убывания V(p) становится положительным. Для р > 0,9 выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном увеличении цены. На промежутке функция U(p) вогнута. В точке  график перегибается (рис.2):

 

Рис.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе работы мы рассмотрели различные производственные задачи, функции, анализы и доказали, что производная действительно помогает решать экономические задачи.

В результате проведенного исследования можно сделать следующие  выводы:

1. Производная является важнейшим инструментом экономического анализа, позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью математических формул.
2. При помощи производной можно значительно расширить круг рассматриваемых при решении задач функций.
3. Экономический смысл производной состоит в следующем: производная выступает как скорость изменения некоторого экономического процесса с течением времени или относительно другого исследуемого фактора.
4. Производная находит широкое приложение в экономической теории. Многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем
5. Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории.

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Замков О. О., Толстопятенко А. В., Черемных Ю. Н. Математические методы в экономике 5-е изд., М.: Дело и Сервис, 2009.
2. Солодовников А. С., Бабайцев В. А., Браилов А. В. Математика в экономике. В 2-х ч. — М.: Финансы и статистика, 2011
3. Воронов М. В., Мещерякова Г. П. Математика для студентов гуманитарных факультетов. — Ростов-на-Дону: Феникс, 2002.
4. Розен В. В. Математические модели принятия решений в экономике. — М.: Книжный дом «Университет». Высш. шк., 2008
5. Малыхин В. Л. Математика в экономике. — М.: ИНФРА-М, 2001.