Применение теоремы Пифагора

 

Геометрия у индусов была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 8 века до нашей эры. Наряду с чисто ритуальными предписаниями, существуют и сочинения геометрически теологического характера, называемые Сульвасутры.

В этих сочинениях, относящихся к 4 или 5 веку до нашей  эры, мы встречаемся с построением  прямого угла при помощи треугольника со сторонами 15, 36, 39.

В средние века теорема Пифагора определяла границу, если не наибольших возможных, то по крайней  мере хороших математических знаний. Характерный чертеж теоремы Пифагора, который ныне иногда превращается школьниками, например, в облеченного в мантию профессора или человека в цилиндре, в те времена нередко употреблялся как символ математики.[9]

 

 

В заключении приведем различные формулировки теоремы  Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков.

У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):

"В прямоугольном треугольнике  квадрат стороны, натянутой над  прямым углом, равен квадратам  на сторонах, заключающих прямой  угол".

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Латинский перевод  арабского текста Аннариции (около 900 года до нашей эры), сделанный Герхардом Кремонским (12 век) гласит (в переводе):

«Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой  над прямым углом, равен сумме  двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол»

В Geometry Culmonensis (около 1400года) теорема читается так (в переводе):

“Итак, площадь квадрата, измеренного по длиной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу”

В русском переводе евклидовых «Начал», теорема Пифагора изложена так:

«В прямоугольном треугольнике квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов  из сторон, содержащих прямой угол».[4]

Древнекитайское доказательство 1. [4] На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной a+b, а внутренний – квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе

                  

 

 

      a² + 2ab +b² = c² + 2ab

 

 

                                a² +b² = c²     

 

                                    

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство 2. (Дж. Гардфилд 1882 г.)  [4]

Расположим  два равных прямоугольных треугольника так, чтобы катет одного из них был продолжением другого.

                                                  Площадь рассматриваемой трапеции  находится как           произведение полусуммы оснований на высоту

 

 

                                      S =

C другой стороны, площадь трапеции равна сумме площадей полученных треугольников:

 

S =

 

 Приравнивая данные выражения, получаем:

 

     или      с² = a² + b²

Старейшее доказательство 3. (содержится в одном  из произведений Бхаскары). [4]

                                                     

 

Пусть АВСD квадрат, сторона которого равна гипотенузе прямоугольного треугольника АВЕ (АВ = с, ВЕ = а, АЕ = b);

Пусть СК ВЕ = а, DL CK, AM DL

 ΔABE = ∆BCK = ∆CDL = ∆AMD,

 значит KL = LM = ME = EK = a-b.

                                                                                     .

 

 

 

Доказательство 4 (простейшее) [9]

 

 

Это доказательство получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников  чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС,

 

 

содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные  на катетах, - по два. Теорема доказана.

           

 

 

Доказательство 5.  [2]

                            а)                                б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Квадрат со стороной (a+b), можно разбить на части либо как на рисунке а), либо как на рисунке b). Ясно, что части 1,2,3,4 на обоих рисунках одинаковы. А если от равных (площадей) отнять равные, то и останутся равные,  т.е.     с² = а² + b².

Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не  записывали его, а сопровождали лишь одним словом:

Смотри!

 

Доказательство 6. [1, 8]

 

 

В течение двух тысячелетий наиболее распространенным доказательством теоремы Пифагора было придуманное Евклидом. Оно помещено в его знаменитой книге «Начала».

 Евклид опускал высоту BН из вершины прямого угла на гипотенузу и доказывал, что её продолжение делит достроенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах.

Чертёж, применяемый при доказательстве этой теоремы, в шутку называют «пифагоровы штаны». В течение долгого времени он считался одним из символов математической науки.

Доказательство  теоремы Пифагора учащиеся средних  веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum- ослиный мост, или elefuga- бегство "убогих", так как некоторые "убогие" ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому "ослами", были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также "ветряной мельницей", составляли стихи вроде "Пифагоровы штаны на все стороны равны", рисовали карикатуры.

                                                                                                     

 Задачи теоретические современные

1.  Периметр  ромба 68 см., а одна из его  диагоналей равна 30 см. Найдите длину другой диагонали ромба.

2.  Гипотенуза  КР прямоугольного треугольника  КМР равна   см., а катет МР равен 4 см. Найдите медиану РС.

3.  На сторонах  прямоугольного треугольника построены квадраты, причем  S₁-S₂=112 см², а S₃=400 см². Найдите периметр треугольника.

4. Дан треугольник  АВС, угол С=90⁰, CD AB, AC=15 см., AD=9 см. Найдите АВ. [4]

Задачи  практические старинные

 5.    Задача индийского математика    XII века    Бхаскары [7]

 

«На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный  тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка  склонилась у края реки.

Осталось  три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?»

 

6.   Для крепления мачты нужно  установить 4 троса. Один конец  каждого троса должен крепиться  на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?

 

 

 

 

7.   Задача из учебника "Арифметика"   Леонтия Магницкого [7] 

  

 

 "Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп.  

   И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать."

 

 

 

 

 

8.    Задача из китайской     "Математики в девяти книгах" [7]

 

   

 "Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его.  

   Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?"

 

 

 

 

 

 

Заключение

 Теорема Пифагора настолько известна, что трудно представить себе человека, не слышавшего о ней.  Мы изучили ряд исторических и математических источников, в том числе информацию в Интернете, и увидели, что теорема Пифагора интересна не только своей историей, но и тем, что она занимает важное место в жизни и науке. Об этом свидетельствуют  приведённые нами в данной работе различные трактовки текста этой теоремы и пути её доказательств.

Итак, теорема Пифагора - одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Значение ее состоит в том, что  из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: c²=a²+b².  Поэтому для её доказательства часто используют  наглядность.

Заслуга же Пифагора состояла в том, что он дал полноценное  научное доказательство этой теоремы.

Интересна личность самого учёного, память о котором неслучайно сохранила эта теорема. Пифагор – замечательный оратор, учитель и воспитатель, организатор своей школы, ориентированной на гармонию музыки и чисел, добра и справедливости, на знания и здоровый образ жизни. Он вполне может служить примером для нас, далёких потомков.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература:

1. Г.И. Глейзер История математики в школе VII – VIII классы, пособие для учителей, - М: Просвещение 1982г.
2. И.Я. Демпан, Н.Я. Виленкин «За страницами учебника математики» Пособие для учащихся 5-6 классов, Москва, Просвещение 1989г.
3. И.Г. Зенкевич «Эстетика урока математики», М.: Просвещение 1981г.

 

4. Войтикова Н.В. «Теорема Пифагора» курсовая работа, Анжеро-Судженск, 1999г.

                                Список используемой литературы:

1. Г. И. Глейзер .История математики в школе. 7 – 8 кл., М. 1982.
2. В. Литцман .Теорема Пифагора, М. 1960.
3. А.В. Волошинов «Пифагор» М. 1993.
4. Л. Ф. Пичурин «За страницами учебника алгебры» М. 1990.
5. А. Н. Земляков «Геометрия в 10 классе» М. 1986.
6. В. В. Афанасьев «Формирование творческой активности студентов в процессе решения математических задач» Ярославль 1996.
7. П. И. Алтынов «Тесты. Геометрия 7 – 9 кл.» М. 1998.
8. Газета «Математика» 17/1996.
9. Газета «Математика» 3/1997.
10. Н. П. Антонов, М. Я. Выгодский, В. В Никитин, А. И. Санкин «Сборник задач по элементарной математики». М. 1963.
11. Г. В. Дорофеев, М. К. Потапов, Н. Х. Розов «Пособие по математике». М. 1973

12. А. И. Щетников  “ Пифагорейское учение о числе  и величине “. Новосибирск       1997.

13. «Действительные числа. Иррациональные выражения» 8 класс. Издательство Томского университета. Томск – 1997.

14. М.С. Атанасян “Геометрия”  7-9 класс. М: Просвещение, 1991

6. www.moypifagor.narod.ru/

7. http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html

8. http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Пифагора

9. http://th-pif.narod.ru/history.htm

 

 

 

 

 

 

 

ОТЗЫВ  на реферат по теме «Пифагор и его теорема»

Авторы: Макарова Надежда и Пчелкина Ирина, ученицы 8 класса МОУ Леботерская ООШ с. Леботер, Томской области, Чаинского  района.

Руководитель: учитель математики Муниципального общеобразовательного учреждения Леботерской основной общеобразовательной школы Стасенко Валентина Кузьминична.

Реферат выполнен в рамках предметной области «Математика» по курсу «Геометрия: 8 класс» в разделе  «Теорема Пифагора».Тема реферата выбрана учащимися в процессе изучения выше указанного раздела. Материал для данной творческой работы подобран и систематизирован авторами на основе рекомендаций руководителя. При написании реферата использован план, составленный учащимися совместно  с руководителем. Работа состоит из 5 глав. Общий объем реферата составляет 16 страниц.