Проблема устойчивости динамических систем, влияние обратной связи на устойчивость

12. Устойчивость динамической  системы. Система считается относительно  устойчивой в определенно определенных пределах, если при достаточно малых изменениях условий функционирования его поведение существенно не меняется. В рамках теории систем исследуются структурная устойчивость и устойчивость траектории поведения системы. Устойчивость ЕС обеспечивается такими аспектами самоорганизации, как дифференциация и лабильность (чувствительность). Дифференциация — это стремление системы к структурной и функциональной разнообразия элементов, которая обеспечивает не только условия возникновения и разрешения противоречий, но и определяет способность системы быстро приспосабливаться к имеющимся условиям существования. Больше разнообразия — больше устойчивости, и наоборот. Лабильность означает подвижность функций элементов при сохранении устойчивости структуры системы в целом.

13. Состояние равновесия  динамической системы. Устойчивость  системы связана с ее стремлением  к состоянию равновесия, которое  предполагает такое функционирование  элементов системы, при котором  обеспечивается повышенная эффективность движения к целям развития. В реальных условиях система не может полностью достичь состояния равновесия, хотя и стремится к нему. Элементы системы функционируют по-разному в разных условиях, и их динамическое взаимодействие постоянно влияет на движение системы. Система стремится к равновесию, на это направлены усилия управления, но, достигая его, она тут же от него уходит. Таким образом, устойчивая экономическая система постоянно находится в состоянии динамического равновесия, она непрерывно колеблется относительно положения равновесия, что является не только ее специфическим свойством, но и условием непрерывного возникновения противоречий как движущих сил эволюции.

 

 

Проблемы устойчивости динамических систем

Подавляющее большинство экономических объектов изменяется во времени,  поэтому при их моделировании должны использоваться динамические модели. До недавнего времени в экономической науке применялся преимущественно неоклассический подход к анализу динамических нестационарных процессов, опирающийся на использование «метода сравнительной статики». В рамках этого подхода исследуется характер смещения решения статической модели, описывающей равновесное состояние рассматриваемой экономической системы, которое происходит при изменении тех  или иных ее параметров.

Несмотря на более чем вековую историю применения математического моделирования для анализа динамики экономических процессов, методика их изучения практически не изменилась. Как и сто лет назад неоклассический подход (квазистационарный подход, метод сравнительной статики) остается основным  методическим приемом анализа экономических тенденций.  По существу, этот подход опирается на общее положение , согласно которому развитие любой сложной системы рассматривается как смена одного равновесного состояния другим с кратким периодом переход от одного к другому. Однако анализ экономической динамики на основе исследования квазистатических моделей может оказаться ошибочным, поскольку период неравновесного развития многих процессов часто бывает слишком  длительным, чтобы им можно было пренебречь.

При анализе экономических процессов большой теоретический и практический интерес представляет исследование моделей в зависимости от различных внешних воздействий и связанная с этим задача устойчивости по отношению к тем или иным возмущениям. Поэтому в последние годы получили существенное развитие работы по анализу динамических процессов экономики на основе нелинейных динамических моделей.

 

Большое значение изучению тенденций социально-экономических процессов, которые характеризуются принципиальной иррегулярностью, т.е.  протекают «без всякой определенной правильности», придавал Н.Д. Кондратьев. Он отмечал, что в этом случае  
«…самое большее, что может дать имеющееся знание социально-экономических закономерностей при иррегулярности самого предсказываемого события, - это установление тенденций, благоприятствующих или, наоборот, не благоприятствующих возникновению события. Но оно не может дать основания для локализации его во времени и пространстве». Н.Д. Кондратьев говорил о необходимости исследования (на начальном этапе) качественного поведения математических моделей.

Как качественный, так и формальный анализ развития систем может быть проведен в терминах синергетики. 
Синергетика – наука, изучающая общие закономерности образования и разрушения упорядоченных структур в любых сложных неравновесных системах (физических, химических, биологических, экономических, экологических и т.д.). Главный аспект в синергетике переносится с взаимодействия подсистем  сложных систем на внешние эффекты, порождаемые структурными изменениями, которые называются синергетическим (кооперативными) эффектами. Характерной особенностью синергетических эффектов является упорядоченность, целенаправленность поведения сложной системы при относительной хаотичности поведения отдельных ее элементов.

Основное качественное понятие синергетики – самоорганизация. Исследование общих принципов эволюции и самоорганизации сложных систем на основе нелиинейных математических моделей свидетельствует, что для развивающихся систем характерны, с одной стороны, устойчивость структуры, а с другой – потеря устойчивости, разрушение одной структуры и создание другой устойчивой структуры. В результате процесс  развития системы может быть представлен как последовательность эволюционного изменения ее состояний внутри цикла со скачкообразным переходом системы в конце цикла на новый качественный уровень, означающий начало нового цикла.

Существенно, что гиперустойчивая система к развитию не способна, поскольку она «гасит» любые отклонения от своего устойчивого состояния. Поэтому для перехода в качественно новое состояние система должна на некоторое время потерять устойчивость.

Следствием циклического развития (с перекосом в конце цикла на качественно новый уровень) является  необратимость, которая заключается в невозможности перехода от новообразованной структуры к старой разрушенной структуре. Таким образом, «необратимость» , так же как и «устойчивость» и «потеря устойчивости» , является характеристикой любой развивающейся системы.

К концепции структурной устойчивости близка теория бифуркаций, а также ее современная версия – теория катастроф. Эта теория рассматривает вопрос об условиях, при которых изменение параметров нелинейной динамической системы вызывает перемещение в фазовом пространстве точки, характеризующей состояние системы, из области притяжения к начальному положению равновесия в область притяжения к другому положению равновесия.

 

 

Влияние обратной связи на устойчивость  динамических систем (задача об оптимизации квоты отлова)

Рассмотрим пример, демонстрирующий влияние обратной связи на устойчивость равновесного оптимального решения динамических систем.

Пусть численность  y некоторой популяции рыб («стада промысловых рыб») зависит не только от внутривидовой борьбы, но и от отлова части особей. Если интенсивность отлова (число особей, вылавливаемых в единицу времени) равна Q (Q>0), то в этом случае уравнение Ферхюльста ( /y=q-by, q>0, b>0) следует видоизменить следующим образом:

                                          = y(a-by)-Q                                        (1.1)

Требуется определить, при каком максимальном значении квоты отлова Q популяция не исчезнет.

Для решения этой задачи заметим, что на плоскости (Y, ) (рис. 1, слева) уравнение = y(a-by)-Q задает параболу, ветви которой направлены вниз. При этом в случае Q< / 4b квадратный трехчлен b -ay+Q  имеет два положительных корня: Это значит, что дифференциальное  
уравнение (1.1) имеет два стационарных решения y = .

 

Рис. 1 Зависимость скорости роста популяции от ее численности (слева) и динамика численности (справа)  при 0<Q< /4b

 

Так как правая часть уравнения (1.1) отрицательна при y < и  y > положительна при < y < , то решения уравнения (1.1) при y < и  y > монотонно убывают, а при < y < – монотонно возрастают. Поэтому стационарное решение y = уравнения (1.1) является неустойчивым, а решение y = – устойчивым (рис.1)

Что произойдет , если квота отлова Q будет увеличиваться? Для ответа на этот вопрос заметим, что по мере увеличения параметра Q рассмотренная на плоскости  (Y, ) парабола будет смещаться вниз (рис. 1, слева), вследствие чего значения и будут сближаться.

На рис. 2 (слева) видно, что при значении квоты отлова Q= / 4b правая часть уравнения (1.1) отрицательна всюду, кроме точки y= a / 2b, где она обращается в ноль. Это значит, что при Q= / 4b равновесное решение  
y(t) = a / 2b дифференциального уравнения (1.1)  является неустойчивым: любое случайное отклонение вниз от этого решения приводит к падению численности популяции до нуля за конечный промежуток времени (рис. 2, справа). При Q > / 4b популяция также гибнет, поскольку в этом случае      < 0 при любом y.

Итак, стремление максимизировать квоту отлова приводит к потере устойчивости равновесного решения, следствием чего является катастрофа (гибель популяции). Как следует изменить стратегию, чтобы, при отлове Q= / 4b численность популяции не падала бы до нуля при малых случайных отклонениях от стационарного решения?

Оказывается, что устойчивость не теряется в случае введения обратной связи, когда, например, квота отлова пропорциональна численности популяции:                                  Q=ky.

Рис. 2 Зависимость скорости роста популяции от ее численности (слева) и динамика численности (справа) при Q= / 4b

 

В этом случае уравнение (1.1) принимает вид

= y(a-k-by).

Полученное уравнение Ферхюльста имеет устойчивое стационарное решение y = , где

Интегральные кривые уравнения (1.1), соответствующие случаю Q=ky, приведены на рис. 3(справа). Все они при неограниченном росте  t  стремятся к стационарному решению y = либо возрастая (кривая 1), либо убывая (кривая 2).

Рис. 5 Зависимость скорости роста популяции от ее численности (слева) и динамика численности (справа) при гибком плане Q=ky

 

Значение квоты отлова, соответствующее равновесному решению y = , является параболической функцией параметра k , так как

Поэтому максимум квоты Q достигается при  k=a/2 , а его значение равно = / 4b. Максимальный отлов в задаче с обратной связью, как и в случае жесткого плана, равен / 4b , а достигается это значение тоже при стационарной численности популяции, равной y = a / 2b.  
Так как при  y = a / 2b  «производительность» популяции y( a – by ) = / 4b максимальна, то в обоих случаях максимум отлова равен максимум скорости естественного прироста популяции.

Однако если «оптимальный» жесткий план Q = const приводит к потере устойчивости и катастрофе (популяция гибнет), то введение обратной связи (необязательно линейной) стабилизирует систему. Этот вывод имеет важное методологическое значение для понимания механизма стабилизации управляемого процесса.

 

 

 

Заключение

Существенно, что подавляющее большинство экономических процессов протекает во времени, вследствие чего математические модели, адекватные объекту исследования, должны быть динамическими.

К настоящему времени методология анализа нелинейных динамических систем оформилась в новое научное направление, нацеленное на поиски общих принципов эволюции и самоорганизации сложных систем в различных областях знания. Эта универсальная методология, возникшая сравнительно недавно и хорошо зарекомендовавшая себя в естествознании, стала проникать в традиционно гуманитарные науки, и в первую очередь в экономику. Общим звеном, связующим совершенно различные явления, и становятся нелинейные динамические математические модели. Понятия “катастрофа”, “бифуркация”, “бегущая волна” и т.д., возникшие при использовании сравнительно простых нелинейных моделей, позволяют глубже проникнуть в суть многих процессов.

Сложность поведения динамической системы обусловлена ее нелинейностью и многомерностью. Однако сложное и даже хаотичное (квазистохастическое) поведение могут демонстрировать и простейшие одномерные системы с дискретным временем, свойства которых описываются рекуррентными соотношениями нелинейных точечных отображений.

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы

1. Анищенко В.С. Динамические системы // Соросовский образовательный журнал. 1997. № 11. С. 77-84.

 

2. В.В. Лебедев . Компьютерное моделирование рыночных механизмов. Москва 1993г.

 

3. В.В. Лебедев, К.В. Лебедев. Математическое моделирование нестационарных экономических процессов. –М.: ООО «еТест», 2011. – 336с.

 

4. Сиразетдинов Т.К. Динамическое моделирование экономических объектов. ─ Казань, «Фэн», 1996. ─ 224 с.

 

5. Сайт Home Helper:

              http://homehelper.in.ua/modelirovanie/dinamicheskie-sistemy-i-ih-svoystva.html