Простые числа

Для нахождения дружественных  чисел арабский ученый Сабит Ибн  Курра (IX в.) предложил хитроумный способ: задавшись натуральным числом n, подсчитать спамогательные величины p= 3*2n-1 – 1, q=3*2n -1 и r= 9*2 2n – 1`-1. Если окажется, что числа p, q, r простые, тогда числа А = 2n p q и В = 2nr дружественные.

Пифагорова пара 220 и 284 получаются по этому методу при n=2. Следующую пару чисел – 17 296 и 18 416 – обнаружили независимо друг от друга марокканский ученый Ибн Аль – Банна и три столетия спустя француз Пьер Ферма. В этом случае n=4. Третью пару – 9 363 584 и 9 437 056 (при n=7) – указал в 1638 г. Рене Декарт. Дальнейшие попытки найти дружественные пары при не больших значениях n к успеху не приводят. Более того способ Сабита ибн Курры не выявляется ни одной новой пары дружественных чисел, если n увеличивать до 20 000! Неужели дружественные числа – алмазы-самородки и для подсчета их пар многовато пальцев одной руки?

В 1747-1750 гг. Леонард Эйлер  провел уникальные числовые раскопки. Он придумал оригинальные методы поиска и обнаружил сразу 61 новую пару дружественных чисел. Примечательно, что среди них оказались и  не четные числа: 69 615 и 11 498 355; 87 633 и 12 024 045. Сейчас известно около 1100 пар дружественных чисел. Любопытно, что в 1866 г. итальянский школьник Н. Паганини (однофамилец известного скрипача) нашел пару дружественных чисел 1184 и 1210, которую все, в том числе и выдающееся математики, проглядели!

Вот пары дружественных чисел  в пределе 100 000:

220 – 284

1184 – 1210

2620 – 2924

5020 – 5564

6232 – 6368

10744 – 10856

12285 – 14595

17296 – 18416

63020 – 76084

66928 – 66992

67095 – 71145

69615 – 87633

79750 – 88730

Дружественные числа продолжают скрывать множество тайн. Есть ли смешанные  пары, у которых одно число четное, а другое не четное? Существует общая  формула, описывающая все дружественные  пары? На эти и другие вопросы  ответы пока не найдены.

Из опыта вычисления люди знали, что каждое число является либо простым, либо произведением нескольких простых чисел. Но они не умели  этого доказывать. Пифагор или  кто-то из его последователей нашел  доказательство этого утверждения.

Теперь легко объяснить  роль простых чисел в математике: они являются теми кирпичиками, из которых  с помощью умножения строят все  остальные числа. Хорошо было бы, если все простые числа можно было сосчитать! Пусть их было бы хоть миллион  – все равно мы знали бы, что, перемножая эти простые числа, можем  получить все остальные. Но это оказалось  не так. Через два столетия после  Пифагора греческий геометр Евклид написал книгу «Начала». И одними из утверждений этой книги было следующее: самого большого простого числа не существует.

Простые числа в натуральном  ряде чисел, расположены очень причудливо. Иногда между ними есть только одно четное число (все простые числа, кроме числа 2, нечетные). Такими близнецами так их зовут в науке, являются: 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31. До сих пор не известно, есть ли самые большие близнецы или  нет. А иногда между соседними  простыми числами лежит пропасть в миллионы и миллиарды чисел. Первым глубокие результаты о том, как  разбросаны простые числа среди  остальных натуральных чисел, получил  великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев, основатель и руководитель русских математических исследований в прошлом веке.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§3. Проблема Гольдбаха

Из простых чисел можно  получить любое число с помощью  умножения. А что будет, если складывать простые числа? Конечно, если брать  сколько угодно слагаемых, то можно  получить любое число: четные числа  получаются путем сложения двоек, а  не четные путем сложения одной тройки и нескольких двоек. Но живший в России в XVIII веке математик Гольдбах решил складывать нечетные простые числа лишь попарно. Он обнаружил удивительную вещь: каждый раз ему удавалось представить четное число в виде суммы двух простых чисел. Вот эти разложения для двухзначных чисел (как это было во времена Гольдбаха, мы считаем 1 простым числом):

4=1+3, 6=1+5, 8=1+7, 10=3+7, 12=5+7, 14=3+11,

16=3+13, 18=5+13, 20=3+17, 22=11+11, 24=11+13,

26=13+13, 28=23+5, 30=23+7, 32=19+13, 34=17+17,

36=17+19, 38=19+19, 40=37+3, 42=37+5, 44=37+7,

46=23+23, 48=47+1, 50=47+3, 52=47+5, 54=47+7,

56=53+3, 58=53+5, 60=53+7, 62=31+31, 64=61+3,

66=61+5, 68=61+7, 70=67+3, 72=67+5, 74=37+37,

76=73+3, 78=73+5, 80=73+7, 82=41+41, 84=41=43,

86=43+43, 88=87+1, 90=87+3, 92=87+5,94=87+7,

96=89+7, 98=97+1.

О своем наблюдении Гольдбах написал великому математику XVIII века Леонарду Эйлеру, который был членом Петербургской академии наук. Проверив еще много четных чисел, Эйлер убедился, что все они являются суммами двух простых чисел. Но четных чисел бесконечно много. По этому вычисления Эйлера давали надежду на то, что свойством, которое заметил Гольдбах, обладают все числа. Однако попытки доказать, что это всегда будет так, ни к чему не привели.

Двести лет математики размышляли над проблемой Гольдбаха. И только советскому ученому Ивану  Матвеевичу Виноградову удалось  сделать решающий шаг. Он установил, что любое достаточно большое натуральное число является суммой трех простых чисел. Но число, начиная с которого верно утверждение Виноградова, невообразимо велико. По этому пока что, к сожалению, нет надежды даже с помощью самых лучших ЭВМ проверить, верно ли это утверждение для всех остальных чисел.

Алгоритм

Для нахождения всех простых  чисел не больше заданного числа  n, следуя методу Эратосфена, нужно выполнить следующие шаги:

1) Выписать подряд все  целые числа от 2 до n (2,3,4…,n)

2) Пусть переменная p изначально равна 2-первому простому числу.

3) Вычеркнуть из списка  все числа от 2p до n, делящиеся на p (то есть, числа 2p,3p,4p,… .)

4) Найти первое невычеркнутое  число, большее, чем р, и присвоить  значению переменной p это число.

5) Повторять шаги 3 и 4 до  тех пор, пока p не станет больше, чем n.

6) Все невычеркнутые числа  в списке - простые числа.

На практике, алгоритм можно  немного улучшить следующим образом.

На шаге №3, числа можно  вычеркивать, начиная сразу с  числа p², потому что все составные числа меньше его уже будут вычеркнуты к этому времени.

И, соответственно, останавливать  алгоритм можно, когда p² станет больше, чем n.

 

§4. Задачи

1. В некотором царстве, в некотором государстве жила принцесса. И однажды ей захотелось узнать ответ на свой вопрос о соседнем королевстве. В соседнем королевстве было 12 фей. За ночь всем феям надо было выполнить одинаковое количество желаний. Всего им надо было выполнить 144 желания. И принцессе захотелось узнать, сколько желаний должна выполнить одна фея за ночь. Но чтобы узнать ответ на вопрос, принцессе надо было слетать в соседнее королевство и спросить у фей. Долететь до королевства принцесса поручила дракону и дала ему на всю дорогу 6 часов. Расстояние до королевства 448,8 км. С какой скоростью должен лететь дракон, чтобы успеть слетать и туда, и обратно?

Решение

1) 6:2=3 (часа)- за  такое время дракон должен  слетать туда или обратно.

2) 448,8:3=149,6 (км/ч)- с  такой скоростью должен лететь  дракон, что бы прилететь в своё королевство вовремя.

Дракону надо лететь со скоростью 149,6 км/ч, что прилететь  в своё королевство вовремя.

Тем времен дракон прилетел в соседнее королевство. Решение  вопроса принцессы оказалось  очень простым:

Решение

1) 144:12=12(желаний)- должна выполнить 1 фея за ночь.

1 фея должна  выполнить 12 желаний за ночь.

Дракон прилетел обратно и получил за ответ  на вопрос принцессы вознаграждение: 1,2 кг мороженого. Он решил поделиться мороженым с друзьями. Друзей у  него было 7. Сколько мороженого досталось  каждому другу и самому дракону?

Решение

1) 7+1=8- друзья и  сам дракон.

2) 1,2:8=0,15(кг)- досталось  каждому другу и самому дракону.

0,15 кг мороженого  досталось каждому другу и  самому дракону.

2. Принцесса решила позвать к себе на работу 7 гномов, чтобы они искали изумруды. И сказала им, что за неделю они должны найти 147 изумрудов. А сама принцесса решила узнать: сколько 7 гномов должны найти изумрудов за 1 день? Сколько 1 гном должен найти изумрудов за 1 день? Сколько 1 гном должен найти изумрудов за неделю?

Решение

1) 147:7=21(изумруд)- должны найти 7 гномов за 1 день.

2) 21:7=3(изумруда)- должен найти 1 гном за 1 день.

3) 3*7=21(изумруд)- должен  найти 1 гном за неделю.

21 изумруд должны  найти 7 гномов за 1 день, 3 изумруда  должен найти 1 гном за 1 день, 21 изумруд должен найти 1 гном  за неделю. Гномам надо было  где-то жить. Принцесса решила  отдать им подвал. В подвале  было 476м². Сколько каждому гному должно достаться м², чтобы каждому гному досталось одинаковое количество м²?

Решение

1) 476:7=68(м²)- достанется каждому гному.

Каждому гному  достанется по 68м².

3. Как-то раз к принцессе пришла Красная шапочка и сказала, что не умеет делить. Она приготовила 381 пирожок и должна раздать его 3 своим бабушкам. Но она не знает, сколько пирожков должно достаться каждой бабушке. Принцесса стала считать:

Решение

1) 381:3=127 (пирожков)- достанется каждой бабушке.

Принцесса сказала  Красной шапочке, что каждой бабушке  достанется по 127 пирожков.

Индийские математики нашли уникальный алгоритм поиска простых  чисел.

Индийские математики и специалисты в области компьютерного  обеспечения заявляют, что разработали  метод, позволяющий безошибочно  и быстро определять, простым ли является то или иное число. Проблема быстрого определения простых чисел, над которой исследователи бились в течение более чем 2200 лет, является важнейшей в улучшении современной компьютерной техники.

Простые числа - это  ключ к разрешению многих математических проблем, они также играют большую  роль в криптографии (шифровании), благодаря  чему интересуют не только математиков, но и военных, разведку и контрразведку. Простое число - то, которое делится  без остатка только на единицу  и на само себя. Так, к простым  числам относятся 2, 3, 5, 7, 11, 13 и так  далее по возрастающей.

Первым проблему определения простых чисел поставил древнегреческий ученый Эратосфен  примерно в 220 году до нашей эры, предложив  один из путей определения простых  чисел. С тех пор ученые постепенно продвигались вперед, а в последние  десятилетия им на помощь в проверке делимости огромных чисел пришли компьютеры. Математики, а позже  и специалисты по компьютерному  программированию разработали много  способов решения этой проблемы, однако все они несут небольшую потенциальную  возможность ошибки.

"Наш алгоритм  исключает вероятность любой  ошибки", - заявил основной разработчик  нового метода Маниндра Агравал.  Результаты вычислений уже разосланы  ведущим компьютерным специалистам  и математикам во всем мире. Ученые еже получили несколько  отзывов. Никто не высказывает  сомнений в новом алгоритме,  и все выражают удовлетворение  достигнутым результатом, сообщает  NTVRU.com.

 

Заключение

В данной работе рассмотрены  вопросы:

• История возникновения простых чисел;
• Рассмотрен алгоритм нахождения простых чисел;
• Названы имена ученых, которые занимались изучениям простых чисел;
• подобраны задачи на простые числа.

Данную работу можно использовать на уроках математики, и в кружковой  работе, что бы не казалось, что наука  математика это сухая, сухая неинтересная наука.

Поставленные задачи решены.

 

 

Библиография

1. Книга одного автора

1. Агеева И.Д. Занимательные материалы по информатике и математике. Методическое пособие. М.: Ту. Сфера, 2006 240с (игровые методы обучения).

2. Книга двух авторов

1. Шейнина О.С., Соловьева  Г.М. Математика. Занятия школьного  кружка 5-6 кл. М.: изд во нц энас, 2005, 208с (портфель учителя)

2. Математика: Учеб. Для 5 кл. общеобразовательное учреждений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин. С.Б. Суворова и др.; Под редакцией Г.В. дорофеева, И.Ф. Шарыгина. М.: Просвещения, 1998. 368с.: ил. ISBN 5 09 008059 3

3. Описание сборников с общим заглавием

1. Занимательные дидактические материалы по математике. Сборник заданий. Выпуск 2 В.В. Трошин М.: Глобус, 2008 282с. (учение с увлечением).