Разработка модели и решение задачи линейного программирования

 

Построение двойственной задачи

Оценки, приписываемые каждому виду ресурсов, должны быть такими, чтобы оценка всех используемых ресурсов была минимальной, а суммарная оценка ресурсов на производство единицы продукции каждого вида – не меньше цены единицы продукции данного вида.

Обозначим через y1 – двойственную оценку дефицитности яиц, через y2 – сахара, y3 – трудовых ресурсов. Тогда прямая и двойственная задачи формулируются:

 

прямая задача

 

 

двойственная задача

 

Решение прямой задачи дает оптимальный план производства песочного и бисквитного теста, а решение двойственной задачи – оптимальную систему оценок ресурсов, используемых для производства:

Двойственные оценки ресурсов yi* – это оценочные коэффициенты Dj дополнительных переменных х3, х4, х5 в последней симплексной таблице.

Исходя из анализа оптимальных двойственных оценок, можно сделать следующие выводы.

Ресурсы яиц и сахара используются полностью. Полному использованию этих ресурсов соответствуют полученные оптимальные оценки y1, y2, отличные от нуля. Значит, трудовые ресурсы недоиспользуются (х5 = 28,8 чел.-ч.).

 

2.4. Решение поставленной задачи с помощью средств EXСEL

 

Для решения задач линейного программирования в MS Excel изначально мной был построен шаблон для ввода исходных данных.

Далее оптимальный план для поставленной задачи нашла с помощью функции «Поиск решения».

 

Рис.2.1 Экранная форма задачи

 

Используя обозначения соответствующих ячеек в Excel, для расчета целевой функции была использована формула СУММПРОИЗВ, как сумма произведений соответствующих ячеек на соответствующие значения.

Левые части ограничений задачи представляют собой сумму произведений каждой из ячеек, отведенных для значений переменных задачи на соответствующую ячейку, отведенную для коэффициентов конкретного ограничения (табл.2.4).

Таблица 2.4

Левая часть ограничения	Формула Excel
5x1+2x2	=СУММПРОИЗВ ($B$3:$C$3; B10:C10)
0,3x+0,25x2	=СУММПРОИЗВ ($B$3:$C$3; B11:C11)
0,25x1+0,5x2	=СУММПРОИЗВ ($B$3:$C$3; B12:C12)

 

Отчете по результатам (рис.2.4 ). В этом отчете в столбцах «Результат» можно увидеть оптимальный план решения задачи: максимальную прибыль фабрики и производство двух сортов теста. А так же количество израсходованных ресурсов

Рис. 2.2 Окно «Поиск решения» после ввода всех необходимых данных

В конечном итоге у нас получился оптимальный план решения задачи.

 

      Рис. 2.3 Экранная форма после получения решения

Рис. 2.4 Отчет по результатам

 

Отчет по устойчивости (рис.2.5).В этом отчете можно увидеть оптимальное решение по производству теста. Так же допустимые приращения коэффициентов целевой функции, при которых сохраняется прежнее оптимальное решение и др.

 

Рис. 2.5 Отчет по устойчивости

Отчет по пределам изменений представлен на рис. 2.6.

 

В отчете показано, в каких пределах может изменяться выпуск продукции, вошедший в оптимальное решение, при сохранении структуры оптимального решения. Там же даны соответствующие оптимальные значения целевой функции.

 

 

Рис. 2.6 Отчет по пределам

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.5. Интерпретация результатов расчетов  и выработка управленческого  решения

Запасы яиц и сахара используются полностью. Полному использованию этих ресурсов соответствуют полученные оптимальные оценки y1, y2, отличные от нуля. Значит, трудовые ресурсы недоиспользуются в размере 28,8 чел.-ч.

Увеличение количества яиц на 1 шт. приведет к тому, что появится возможность найти новый оптимальный план производства продукции, при котором общая прибыль возрастает на 2,31 руб. и станет равной 6923 + 2,31 = 6925,31 руб. Анализ полученных оптимальных значений новой прямой задачи показывает, что это увеличение общей прибыли достигается за счет увеличения производства бисквитного теста на 0,38 руб. и сокращения выпуска бисквитного теста на 0,4 руб. Вследствие этого использование трудовых ресурсов увеличится на 0,13 руб.

Точно так же увеличение на 1 кг. количества сахара позволит перейти к новому оптимальному плану производства, при котором прибыль возрастет на 61,54 руб. и составит 6984,5 руб., что достигается за счет уменьшения выпуска бисквитного теста на 3,07 руб. и увеличения выпуска песочного теста на 7,7 руб., причем объем используемых трудовых ресурсов увеличится на 3,07 руб.

Уменьшение количество запасов сахара на 15 кг приведет к тому что появится новый оптимальный план производства, при котором общая прибыль уменьшится на 923 рубля, т.е. станет равен 6000 рублей.

Увеличение цены бисквитного теста с 30 до 40 рублей за 1 кг не изменит оптимальное решение, т.к. при анализе в отчете по устойчивости «Допустимое увеличение» равно 20, а это значит, что при увеличении цены до 50 рублей за кг оптимальное решение не будет изменено.

 

Заключение

Линейное программирование - это математическая теория, изучающая методы решения линейных экстремальных задач.

Оптимальному состоянию системы в задачах линейного программирования соответствует одна из вершин многогранника ограничений или оптимальное решение имеет бесчисленное множество точек, принадлежащих одной из граней многогранника ограничений.

Особый интерес представляют методы, позволяющие определить изменения в оптимальном решении, обусловленные изменениями значений параметров модели. Одним из источников таких методов является теория двойственности, результаты которой позволяют также производить экономический анализ оптимальных решений экономико-математических моделей.

Двумерная задачи линейного программирования может быть решена геометрически путём построения области допустимых управлений и построения линии уровня (постоянного значения линейной формы).

В ходе курсовой работы были решены следующие основные задачи построена экономико-математическая модель задачи, определен оптимальный план производства симплексным методом и решена задача оптимизации в табличном процессоре MS Excel.

Максимальная прибыль фабрики по изготовлению теста составила 6923 рублей, при этом необходимо произвести 153,8 кг бисквитного теста и 115,4 кг песочного теста.

Исходя из анализа оптимальных двойственных оценок, можно сделать следующие выводы:

Запасы яиц и сахара используются полностью. Полному использованию этих ресурсов соответствуют полученные оптимальные оценки y1, y2, отличные от нуля. Значит, трудовые ресурсы недоиспользуются в размере 28,8 чел.-ч.

Увеличение количества яиц на 1 шт. приведет к тому, что появится возможность найти новый оптимальный план производства продукции, при котором общая прибыль возрастает на 2,31 руб. и станет равной 6923 + 2,31 = 6925,31 руб. Анализ полученных оптимальных значений новой прямой задачи показывает, что это увеличение общей прибыли достигается за счет увеличения производства бисквитного теста на 0,38 руб. и сокращения выпуска бисквитного теста на 0,4 руб. Вследствие этого использование трудовых ресурсов увеличится на 0,13 руб.

Точно так же увеличение на 1 кг. количества сахара позволит перейти к новому оптимальному плану производства, при котором прибыль возрастет на 61,54 руб. и составит 6984,5 руб., что достигается за счет уменьшения выпуска бисквитного теста на 3,07 руб. и увеличения выпуска песочного теста на 7,7 руб., причем объем используемых трудовых ресурсов увеличится на 3,07 руб.

Уменьшение количество запасов сахара на 15 кг приведет к тому, что появится новый оптимальный план производства, при котором общая прибыль уменьшится на 923 рубля, т.е. станет равен 6000 рублей.

Увеличение цены бисквитного теста с 30 до 40 рублей за 1 кг не изменит оптимальное решение, т.к. при анализе в отчете по устойчивости «Допустимое увеличение» равно 20, а это значит, что при увеличении цены до 50 рублей за кг оптимальное решение не будет изменено.

Таким образом, средствами линейного программирования решается большое число экономических задач, требующих оптимизации при принятии правильного управленческого решения.

 

 

Список литературы

1. Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения: Учеб. пособие. — М.: ИНФРА-М, 2003. — 444 с.
2. Грызина Н.Ю., Мастяева И.Н., Семенихина О.Н. Математические методы исследования операций в экономике: Учебно-методический комплекс – М.: Изд-во ЕАОИ, 2008. – 204 с.
3. Калашникова Т.В. Исследование операций в экономике: учебное пособие / Т.В. Калашникова. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2007. – 92 с.
4. Конюховский П.В. Математические методы исследования операций в экономике. – СПб: Питер, 2010
5. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике. – М.: ЮНИТИ, 2010
6. Кривошеев, В.П. Теория оптимального управления экономическими системами: учебное пособие / В.П. Кривошеев. - Владивосток : Изд-во ВГУЭС, 2010. - 140 с.
7. Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде ЕХСЕL / Практикум: Учебное пособие для вузов. - М.:ЗАО Финстатинформ, 2000.-136 с.

 

1 Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения.

2 Грызина Н.Ю., Мастяева И.Н., Семенихина О.Н. Математические методы исследования операций в экономике.

3 Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде ЕХСЕL.