Расчет и моделирование электромагнитного выключателя

В качестве примеров ОДУ с  разделенными переменными приведем  

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка 

. 
 
 
В качестве примеров линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка можно привести  . 
Для решения ЛНДУ используют метод вариации произвольной постоянной. Также существует метод, основанный на представлении искомой функции y в виде произведения:y(x) = u(x)v(x). 
Дифференциальное уравнение Бернулли  

. 
Примерами дифференциальных уравнений Бернулли являются, например,

. 
Дифференциальное уравнение Бернулли сводится к линейному дифференциальному уравнению первого порядка подстановкой  .

Уравнения в полных дифференциалах

.

Если для любых значений x и y выполняется  , то этого условия необходимо и достаточно, чтобы выражение P(x, y)dx+Q(x, y)dy представляло собой полный дифференциал некоторой функции U(x, y) = 0, то есть, dU(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy. Таким образом, задача сводится к восстановлению функции U(x, y) = 0 по ее полному дифференциалу. 
К примеру, левая часть дифференциального уравнения  представляет собой полный дифференциал функции 

Дифференциальные  уравнения второго порядка.

 

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с  постоянными коэффициентами  . 
Для примера рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами  .

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с  постоянными коэффициентами  . 
 
В качестве примеров ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами приведем 
  
Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ)   и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка  . 
Частным случаем дифференциальных уравнений этого вида являются ЛОДУ и ЛНДУ с постоянными коэффициентами. 
Примером ЛОДУ является  . 
В качестве примера ЛНДУ можно привести  . 
Дифференциальные уравнения высших порядков.

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка. 
Порядок дифференциального уравнения  , которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1 порядка, может быть понижен до n-kзаменой  . 
 
В этом случае  , и исходное дифференциальное уравнение сведется к  . После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене   и определить неизвестную функцию y. 
Например, дифференциальное уравнение   после замены   станет уравнением с разделяющимися переменными  , и его порядок с третьего понизится до первого. 
Если дифференциальное уравнение не содержит аргумента x, то есть, имеет вид  , то его порядок может быть снижен на единицу заменой  , где p(y(x)) будет сложной функцией. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции получим 
 
  
и так далее.

Подставив эти результаты в исходное уравнение, получаем дифференциальное уравнение не единицу меньшего порядка. 
 
К примеру, дифференциальное уравнение   заменой   приводится к уравнению с разделяющимися переменными  . 
Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами   и  . 
В качестве примера ЛНДУ с постоянными коэффициентами приведем  , ему соответствует ЛОДУ  .

Линейные однородные и  неоднородные дифференциальные уравнения  высших порядков   и  . 
Общее решение ЛНДУ высших порядков ищется в виде  , где   - общее решение соответствующего ЛОДУ, а   - частное решение неоднородного дифференциального уравнения. 
 
 представляет собой линейную комбинацию линейно независимых функций  , каждая из которых является частным решением ЛОДУ, то есть, обращает равенство   в тождество. Частные решения   обычно подбираются из известных систем линейно независимых функций. Подобрать их далеко не всегда просто и возможно, в этом и заключается основная проблема. 
 
Когда общее решение линейного однородного дифференциального уравнения найдено, частное решение соответствующего неоднородного уравнения можно определить методом вариации произвольных постоянных. Итак, 
  .

 

2. Методы решения нелинейных дифференциальных уравнений.

 

К сожалению, общей теории, которая охватывает все виды нелинейности, по решению нелинейных дифференциальных уравнения не существует.

К каждому из нелинейных дифференциальных уравнения необходим свой подход к нахождению решения.

Особый интерес представляют нелинейные дифференциальные уравнения, которые описывают различные физические процессы.

МЕТОД ИНДУЦИРОВАННОЙ АЛГЕБРЫ

Сущность метода заключается в  том, что дифференциальное уравнение  представляют в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого  порядка. Правая часть уравнений  составляющих систему преобразуются  в квадратичные формы.

Методы возмущений или асимптотические  методы малого параметра для решения  дифференциальных уравнений представляют собой одно из наиболее мощных средств  современной прикладной математики. Они позволяют получать приближенные аналитические представления решений  весьма сложных линейных и нелинейных краевых задач как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений в частных производных.

Суть асимптотических методов  заключается в том, что при  их применении достигается синтез простоты и точности за счет локализации: в  окрестности некоторого предельного  состояния находится упрощенное решение задачи, которое тем точнее, чем меньше эта окрестность. Ван-дер-Поль разработал приближенный асимптотический метод интегрирования дифференциальных уравнений второго порядка подобного рода.

 

3. Область  применения операционных методов  при решении дифференциальных  уравнений.

Операционное исчисление в настоящее  время стало одной из важнейших  глав практического математического  анализа. Операционный метод непосредственно  используется при решении обыкновенных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений; его можно использовать и при решении дифференциальных уравнений в частных производных.

Основателями символического (операционного) исчисления считают русских ученых М. Е. Ващенко – Захарченко и А. В. Летникова.

Операционное исчисление обратило на себя внимание после того, как  английский инженер-электрик Хевисайд, используя символическое исчисление, получил ряд важных результатов. Но недоверие к символическому исчислению сохранялось до тех пор, пока Джорджи, Бромвич, Карсон, А. М. Эфрос, А. И. Лурье, В. А. Диткин и другие не установили связи операционного исчисления с интегральными преобразованиями.

Идея решения дифференциального  уравнения операционным методом  состоит в том, что от дифференциального  уравнения относительно искомой  функции-оригинала f(t)переходят к уравнению относительно другой функции F(p), называемой изображениемf(t). Полученное (операционное) уравнение обычно уже алгебраическое (значит более простое по сравнению с исходным). Решая его относительно изображения F(p) и переходя затем к соответствующему оригиналу, находят искомое решение данного дифференциального уравнения.

Операционный метод решения  дифференциальных уравнений можно  сравнить с вычислением различных  выражений при помощи логарифмов, когда, например, при умножении вычисления ведутся не над самими числами, а  над их логарифмами, что приводит к замене умножения более простой  операцией – сложением.

Так же как и при логарифмировании, при использовании операционного  метода нужны:

таблица оригиналов и соответствующих  им изображений;

знание правил выполнения операций над изображением, соответствующих  действиям, производимым над оригиналом.

Пример применения операторных  методов

Операционное исчисление чрезвычайно удобно в электротехнике для расчёта динамических режимов  различных цепей.

Переходный процесс в  коммутируемой RL-цепочке

Задача

На рисунке изображена коммутируемая RL-цепочка. В некоторый момент времени t=0 ключ К замыкается. Определить зависимость тока в RL-цепочке от времени.

 

Алгоритм расчёта следующий.

Все элементы цепи рассматриваем как  сопротивления Z_i, величины которых находим исходя из изображений переходных функций соответствующих элементов.

Например, для резистора:

Для индуктивности:

Для ёмкости:

Используя указанные значения сопротивлений, находим изображения токов в  цепи, используя стандартные методы расчёта цепей, применяемые в  электротехнике.

Имея изображения токов в  цепи, находим оригиналы, которые  и являются решением дифференциальных уравнений, описывающих цепь.

 

Приложение операционного  исчисления к задачам механики и  сопротивления материалов. 
Колебания простейшего вибратора. Движение вибратора при наличии силы сопротивления. Применение операционного исчисления к задачам об изгибе стержней. Применение операционного исчисления к задаче изгиба тонкой плиты. Деформация кругового кольца. Применение разностных уравнений к решению некоторых задач сопротивления материалов.

 

5. Сила тяги электромагнитов

При заданной площади сечения полюсов, образующих рабочий воздушный зазор, средняя величина силы в электромагните переменного тока будет вдвое  меньше силы в электромагните постоянного  тока. Это относится в равной степени как к однофазной, так и к многофазным системам  
2. Методы решения нелинейных дифференциальных уравнений.

 

К сожалению, общей теории, которая охватывает все виды нелинейности, по решению нелинейных дифференциальных уравнения не существует.

К каждому из нелинейных дифференциальных уравнения необходим свой подход к нахождению решения.

Особый интерес представляют нелинейные дифференциальные уравнения, которые описывают различные физические процессы.

МЕТОД ИНДУЦИРОВАННОЙ АЛГЕБРЫ

Сущность метода заключается в  том, что дифференциальное уравнение  представляют в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого  порядка. Правая часть уравнений  составляющих систему преобразуются  в квадратичные формы.

Методы возмущений или асимптотические  методы малого параметра для решения  дифференциальных уравнений представляют собой одно из наиболее мощных средств  современной прикладной математики. Они позволяют получать приближенные аналитические представления решений  весьма сложных линейных и нелинейных краевых задач как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений в частных производных.

Суть асимптотических методов  заключается в том, что при  их применении достигается синтез простоты и точности за счет локализации: в  окрестности некоторого предельного  состояния находится упрощенное решение задачи, которое тем точнее, чем меньше эта окрестность. Ван-дер-Поль разработал приближенный асимптотический метод интегрирования дифференциальных уравнений второго порядка подобного рода.

 

Область применения операционных методов при  решении дифференциальных уравнений.

Операционное исчисление в настоящее  время стало одной из важнейших  глав практического математического  анализа. Операционный метод непосредственно  используется при решении обыкновенных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений; его можно использовать и при решении дифференциальных уравнений в частных производных.

Основателями символического (операционного) исчисления считают русских ученых М. Е. Ващенко – Захарченко и А. В. Летникова.

Операционное исчисление обратило на себя внимание после того, как  английский инженер-электрик Хевисайд, используя символическое исчисление, получил ряд важных результатов. Но недоверие к символическому исчислению сохранялось до тех пор, пока Джорджи, Бромвич, Карсон, А. М. Эфрос, А. И. Лурье, В. А. Диткин и другие не установили связи операционного исчисления с интегральными преобразованиями.

Идея решения дифференциального  уравнения операционным методом  состоит в том, что от дифференциального  уравнения относительно искомой  функции-оригинала f(t)переходят к уравнению относительно другой функции F(p), называемой изображениемf(t). Полученное (операционное) уравнение обычно уже алгебраическое (значит более простое по сравнению с исходным). Решая его относительно изображения F(p) и переходя затем к соответствующему оригиналу, находят искомое решение данного дифференциального уравнения.

Операционный метод решения  дифференциальных уравнений можно  сравнить с вычислением различных  выражений при помощи логарифмов, когда, например, при умножении вычисления ведутся не над самими числами, а  над их логарифмами, что приводит к замене умножения более простой  операцией – сложением.

Так же как и при логарифмировании, при использовании операционного  метода нужны:

таблица оригиналов и соответствующих  им изображений;

знание правил выполнения операций над изображением, соответствующих  действиям, производимым над оригиналом.

Пример применения операторных  методов