Автор работы: Пользователь скрыл имя, 21 Июня 2012 в 18:29, курсовая работа
Работа посвящена вычислительным проблемам, возникающим в задачах линейной алгебры. В основном рассматриваются методы решения системы алгебраических уравнений.
Задачей линейно алгебры относятся основным методам вычислительной математики. Это обусловлено тем, что линейные модели играют первостепенную роль, а их численная реализация требует решать задачи линейной алгебры.
К основным задачам линейной алгебры можно отнести задачи:
1.Решения систем линейных алгебраических уравнений.
2.Нахождение обратных матриц, а также приведение матриц к каноническому виду (диагональному или к форме Жордана).
3.Нахождение собственных значений и собственных функций матриц.
Мы рассмотрим первую наиболее часто встречающуюся задачу нахождения решений систему линейных алгебраических уравнений с невырожденной квадратной матрицей.
Введение…………………………………………………………………...……3
1.Цели и задачи…………………………………………………………………4
2. Решение систем линейных уравнений………………………………..…….5
3.Число обусловленности..………………………………...............................6-9
4.Алгоритм решения систем линейных уравнений.………………….….10-15
5.Примеры.....……………………………….................................................16-19
6.Заключение………………………………………………………………...…20
Список использованной литературы…………………………………….……21
Примеры:
№1
x1 + x2 - 3x2 = -1
x1 + x2 + x3 = 3
x1 + 2x2 - 3x3 = 1
Ответ, полученный вычислениями без помощи программы:
x1 = 0
x2 = 2
x3 = 1
Ответ, полученный вычислениями с помощью программы:
x1 = 1.6653345369377348E-16
x2 = 2.0
x3 = 1.0
№2
2 x1 + x2 - x3 = 2
3 x1 + x2 - 2 x3 = 3
x1 + x3 = 3
Ответ, полученный вычислениями без помощи программы:
x1 = 2
x2 = -1
x3 = 1
Ответ, полученный вычислениями с помощью программы:
x1 = 2.0
x2 = -1.0000000000000002
x3 = 1.0000000000000002
№3
2 x1 + 3 x2 + 4 x3 + 5x4 = 1
17x1 + 18 x2 + 11 x3 + x4 = 11
x1 + 2 x2 + 3x3 + 4 x4 = 3
x1 + x2 + x3 - 13 x4 = -12
Ответ, полученный вычислениями без помощи программы:
x1 = - 12.2678571428571
x2 = 16.25
x3 = - 6.69642857142857
x4 = 0.714285714285714
Ответ, полученный вычислениями с помощью программы:
x1 = - 12.267857142857139
x2 = 16.249999999999993
x3 = - 6.696428571428569
x4 = 0.7142857142857144
(целые коэффициенты при xi
дробные значения решений xi )
№4
x1 + x2 + 1 x3 + 3x4 = 19
11x1 + 4 x2 + 2 x3 + 0x4 = 11
2x1 + 2 x2 + 0x3 + 47x4 = 0
x1 + 2 x2 + 3 x3 - 2x4 = 7
Ответ, полученный вычислениями без помощи программы:
x1 = 6.83206106870229
x2 = - 26.9770992366412
x3 = 21.8778625954198
x4 = 5.75572519083969
Ответ, полученный вычислениями с помощью программы:
x1 = 6.832061068702288
x2 = - 26.977099236641212
x3 = 21.877862595419845
x4 = 5.755725190839694
(целые коэффициенты при xi
дробные значения решений xi )
№5
x1 + x2 + x3 + 0.5x4 = 7
x1 + 0.1 x2 + 0.2 x3 + 0.3x4 = 11
7x1 - 0.3 x2 - 0.4x3 - 0.7x4 = 0
x1 + 2 x2 + 3 x3 + 4x4 = 0
Ответ, полученный вычислениями без помощи программы:
x1 = - 26.2727272727273
x2 = - 1825.09090909091
x3 = 2238.09090909091
x4 = - 759.454545454545
Ответ, полученный вычислениями с помощью программы:
x1 = - 26.272727272727245
x2 = - 1825.0909090909074
x3 = 2238.0909090909067
x4 = - 759.4545454545446
(дробные коэффициенты при xi
дробные значения решений xi )
Вывод:
LU-разложение используется для решения систем линейных уравнений и для обращения матриц. Этот метод является одной из разновидностей метода Гаусса.
Использование реализованного метода имеет следующие преимущества:
Метод LU-разложения исключительно является точным методом. Если же метод реализуется на ЭВМ, то появляется вычислительная погрешность, заметим, что даже результаты точных методов являются приближенными из-за неизбежных округлений. Для итерационных процессов также добавляется погрешность метода.
Схема LU-разложения удобна для работы на вычислительных машинах, так как при представлении матрицы А в виде произведения нижней треугольной матрицы L и верхней треугольной матрицы U с единичной диагональю, операцию “накопления” можно проводить без записи промежуточных результатов.
Список использованной литературы
1. http://alglib.sources.ru/equat
2. http://alglib.sources.ru/
3. http://ru.wikipedia.org/wiki/
4. Вержбицкий В.М., Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения, М.: Высшая школа, 2000, 266 с.
21
Информация о работе Решение систем линейных уравнений с невырожденной матрицей