Числа Фыбоначчі та їх властивості

 

Вступ

Важко окремій  людині протистояти цілій системі  вульгарності, і він приречений підкорятися  їй і загинути, якщо не має достатніх  знань. Хочеться вірити, що відчуття прекрасного, гармонії миру живе в кожній людині - треба тільки проявити його, навчитися їм користуватися.

Напевно, важко  знайти надійну міру для об'єктивної оцінки самої краси, і однією логікою  тут не обійдешся. Проте тут допоможе досвід тих, для кого пошук краси  був самим сенсом життя, хто зробив це своєю професією. Це, перш за все, люди мистецтва, як ми їх називаємо: художники, архітектори, скульптори, музиканти, письменники. Але це і люди точних наук, - перш за все, математики.

Історія багата на видатних математиків. Великі досягнення стародавньої математичної науки донині викликають захоплення гостротою розуму їх авторів, а імена Евкліда, Архімеда, Герона відомі кожній освіченій людині.

Інакше з  математикою середньовіччя. Окрім Вієта, у шкільному курсі математики не згадується жодного імені, яке б до нього відносилося. Це не випадково, бо математика у цей період розвивалася надзвичайно повільно і великих математиків тоді було дуже мало.

    Тим більший інтерес представляє  праця «Liber abaci» («Книга про абак»), написана видатним італійським математиком Леонардо із Пізи, який відомий більше за своїм прізвищем Фібоначчі.  Ця книга, написана в 1202 р., дійшла до нас у другому варіанті, що відноситься до 1228 р.

«Liber abaci» являє собою велику за обсягом працю, що містить майже всі арифметичні та алгебраїчні відомості того часу. Вона відігравала важливу роль у розвитку математики в Західній Європі протягом кількох наступних століть. Зокрема, саме дякуючи цій праці, європейці ознайомилися з індійськими (арабськими) цифрами.

Фібоначчі так  само займався вирішенням практичних потреб торгівлі: за допомогою якої найменшої кількості гирь можна зважити товар? Фібоначчі доводить, що оптимальною є така система гирь: 1, 2, 4, 8, 16...

Ряд Фібоначчі  міг би залишитися тільки математичним казусом, коли б не та обставина, що всі дослідники золотого ділення в рослинному і на тваринному світі, не говорячи вже про мистецтво, незмінно приходили до цього ряду як арифметичного виразу закону золотого ділення.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Послідовність Фібоначчі і хронологія якнайдавнішої історії

   Як інструмент хронології вперше була вибрана гармонійна система числових відносин, так званий ряд Фібоначчі Приведемо її початкову частину: 1, 1, 2, 3, 5, 8 і так далі

Прикмети такого ряду очевидні в хронології епох I тис. н.е. - I тис. до н.е. Числа ряду вдало фіксують пізнє  залізне століття(I тис. н. э.) і початок залізного століття( Iтис до н.е.). У інтервалі 5 - 2 тис. до н.е. зосереджено культури енеоліта, ранньої і пізньої бронзи Європи, до інтервалу 8 - 5 тис. до н.е. відносять європейський мезоліт і неолітичні культури Близького Сходу. Правда, мезоліт Близького Сходу датують інакше: 10 - 7 тис. до н.е., а мезоліт Східної Європи - 11 - 6 тис. до н.е. Особливості в хронології культур 10 - 5 тис. до н.е. регіональні. Вони залежать від нерівномірності розвитку, яка виникла у верхньому палеоліті і зберігалася протягом всього часу надалі.

Відмічені розбіжності в  хронології археологічних епох мають  регіональний масштаб, ніяк не зачіпають  самої числової послідовності, властивої  ряду Фібоначчі: 1, 1, 2, 3, 5, 8. Очевидно, що в хронології археологічних культур ранішого часу, розвитку яких властивий планетарний характер, слід чекати строгішої відповідності ряду Фібоначчі. Продовжимо ряд, його складають такі числа: 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1 597, 2 584, 4181 і так далі

Cпочатку здавалося дивовижним: деякі елементи цієї послідовності, дійсно, відповідають хронологічним рубежам в якнайдавнішій історії людства, особливо якщо до чисел додати найменування "тис. років до н. е.", або "тис. років тому", або просто "тис. років". Так, позицію 233 тис. років в послідовності, що приводиться, можна ототожнити з датою швидкого заледеніння в Європі, загальновизнана геологічна дата якого 230 тис. років до н.е. Позиція, відповідна 377 тис. років, близька даті в 400 тис. років т.з. цьому часу відносять вихід людства з біоценоза.

Біля середини II мілліоноліття (1 597 тис. р., згідно ряду) складається якнайдавніша археологічна культура олдувай, в середині III мілліоноліття (2 584 тис. років) з'являються австралопітекові форми викопної людини, з якою зв'язують так званий початок зброярства. Впродовж 720 - 600 тис. років складається трудова традиція і формується мова. Дата завершення цих процесів знаходиться майже поряд з позицією ряду в 610 тис. років.

Дійсно, ці рубежі розмежовують розвиток людства на окремі етапи, які іноді називають тимчасовими ступенями. Перехід з одного тимчасового ступеня на інший вважають еволюцією системи. Повторюваний ряд, позначивши курсивом ті ступені, хронологія яких перевірена: 1, 1, 2, 3,5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,377, 610, 987,1 597, 2584 .

Одинадцять  з 18 позицій ряду перевірені і підтверджені з достатнім ступенем надійності і точності. Іноді говорять, що одне підтвердження - випадковість, два - збіг, три - тенденція. У нашому випадку  не три, а 60% збігів перевірено і підтверджено. Таке число підтверджень можна вважати виразом не стільки тенденції, скільки закономірності.

Отже, хронологія і періодизація, можна сказати, історичного  розвитку за допомогою ряду Фібоначчі  розділена на 18 тимчасових ступенів, що мають планетарний характер. Повторимо їх 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1 597, 2 584. Події, хронологія яких виявляється за межами ряду, мають регіональний характер. Хронологічні межі археологічних епох і періодів, знайдені за допомогою ряду Фібоначчі, жорсткі. У них немає угоди: вони або прийнятні, або - ні. У основі такого вибору лежить науковий світогляд, який завжди строго і безумовно.

Такі, в першому  наближенні, можливості використання ряду Фібоначчі в розробці періодизації і загальної хронології розвитку людства з якнайдавніших часу до початку сучасної епохи.

 

2. Послідовність Фібоначчі і технічний аналіз ринків

Давайте висловимо сміливу  думку. Якщо практично все на нашому світі базується на коефіцієнтах Фібоначчі, чому б не використовувати їх в технічному аналізі руху цін на біржах. Вперше це запропонував Ральф Нельсон Елліотт.

Ральф Нельсон  Елліотт був інженером. Після  серйозної хвороби на початку 1930-х р.р. він зайнявся аналізом біржових цін, особливо індексу Доу-джонса. Після ряду дуже успішних прогнозів Елліотт опублікував в 1939 році серію статей в журналі Financial World Magazine. У них вперше була представлена його точка зору, що рухи індексу Доу-джонса підкоряються певним ритмам. Згідно Елліотту, всі ці рухи слідують тому ж закону, що і приливи - за приливом слідує відлив, за дією (акцією) слідує протидія (реакція). Ця схема не залежить від часу, оскільки структура ринку, узятого як єдине ціле, залишається незмінною.

Елліотт писав: "Закон природи включає в розгляд найважливіший элемент- ритмічність. Закон природи - це не якась система, не метод гри на ринку, а явище, характерне, мабуть, для ходу будь-якої людської діяльності. Його застосування в прогнозуванні революційно."

Цей шанс передбачити  рухи цін спонукає легіони аналітиків трудитися вдень і вночі. Ми зосередимося на здатності робити прогнози і спробуємо з'ясувати, можливо це чи ні. Вводячи свій підхід, Елліотт був дуже конкретний. Він писав: "Будь-якій людській діяльності властиві три відмітні особливості: форма, час і відношення, - і всі вони підкоряються сумарній послідовності Фібоначчі". 

 

 

 

3. Ряд Фібоначчі та  золота пропорція

З історією золотого перетину непрямим чином пов'язано ім'я італійського математика ченця Леонардо з Пізи, відомішого під ім'ям Фібоначчі (син Боначчи). Він багато подорожував по Сходу. Одне із завдань свідчило "Скільки пар кроликів в один рік від однієї пари народиться". Роздумуючи на цю тему, Фібоначчі збудували такий ряд цифр:

Місяці	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	і так далі
Пари кроликів	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	і так далі

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 і так  далі відомий як ряд Фібоначчі. Особливість  послідовності чисел полягає  в тому, що кожен її член, починаючи  з третього, рівний сумі два попередніх 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 і так далі, а відношення суміжних чисел ряду наближається до відношення золотого ділення. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618. Це відношення позначається символом Ф. Тільки це відношення - 0,618 : 0,382 - дає безперервне ділення відрізка прямої в золотій пропорції, збільшення його або зменшення до безкінечності, коли менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього.

Учені продовжували активно розвивати  теорію чисел Фібоначчі і золотого перетину. Ю. Матіясевіч з використанням чисел Фібоначчі вирішує 10-у проблему Гільберта. Виникають витончені методи вирішення ряду кібернетичних завдань (теорії пошуку, ігор, програмування) з використанням чисел Фібоначчі і золотого перетину. У США створюється навіть Математична Фібоначчи-ассоциация, яка з 1963 року випускає спеціальний журнал.

Факти, підтверджуючі існування золотих  перетинів і їх похідних в природі, наводить білоруський учений Е.М. Сороко в книзі "Структурна гармонія систем" (Мінськ, "Наука і техніка", 1984). Виявляється, наприклад, що добре вивчені подвійні сплави володіють особливими, яскраво вираженими функціональними властивостями (стійкі в термічному відношенні, тверді, стійки до зношення та до окислення і т. п) тільки в тому випадку, якщо питомі ваги початкових компонентів зв'язані один з одним одній із золотих пропорцій. Це дозволило авторові висунути гіпотезі про те, що золоті перетини є числові постійні для систем, що самоорганізовуються. Підтверджена експериментально, ця гіпотеза може мати фундаментальне значення для розвитку синергетики - нової області науки, що вивчає процеси в системах, що самоорганізовуються.

4. Приклади з життя, де спостерігаються числа Фібоначчі та золота пропорція.

Людина. Альбрехт Дюрер детально розробив теорію пропорцій людського тіла. Важливе місце в своїй системі співвідношень Дюрер відводив золотому перерізу. Зріст людини ділиться в золотих пропорціях лінією поясу, а також лінією, проведеною через кінчики середніх пальців опущених рук; нижня частина лиця — ротом і т.д.

Професор Цейзінг  у цьому напрямі також виконав величезну роботу. Він обміряв близько двох тисяч людських тіл і дійшов висновку, що золотий переріз виражає середній статистичний закон. Ділення тіла точкою пупа — найважливіший показник золотого перерізу. Пропорції чоловічого тіла коливаються в межах середнього відношення 13:8= 1,625 і ближче підходять до золотого перерізу, ніж пропорції жіночого тіла, для якого середнє значення пропорції виражається співвідношенням 8:5 = 1,6. У новонародженого таке відношення становить 1: 1, до 13 років воно дорівнює 1,6, а до 21 року дорівнює, залежно від статі, чоловічому або жіночому. Пропорції золотого перерізу виявляються і щодо інших частин тіла: довжина плеча, передпліччя і кисті, кисті і пальців і т.д.

Справедливість  своєї теорії  Цейзінг перевіряв на грецьких статуях. Найдетальніше він розробив пропорції Аполлона Бельведерського.

  Він досліджував грецькі вази, архітектурні споруди різних епох, рослини, тварини, пташині яйця, музичні тони, віршовані розміри. Цейзінг дав визначення золотому перерізу, показав, як він виражається у відрізках прямої і в цифрах. Коли цифри, що виражають довжини відрізків, були отримані, Цейзінг побачив, що вони складають ряд Фібоначчі, який можна продовжувати до безмежності в одну та іншу сторону. Наступна його книга мала назву «Золотий переріз як основний морфологічний закон у природі та мистецтві». У 1876 р. в Росії була видана невелика книжка, майже брошура, з викладом цієї праці Цейзінга.

Природа. Дивує, скільки сталих можна обчислити за допомогою послідовності Фібоначчі і як її члени виявляються у величезній кількості поєднань! Проте не буде перебільшенням сказати, що це не просто гра з числами, а найважливіший математичний вираз природних явищ з усіх коли-небудь відкритих. Приклади, що наводяться нижче, ілюструють деякі цікаві прояви цієї математичної послідовності.

Форма спіральної завитої раковини привернула увагу Архімеда. Він вивчав її і вивів рівняння спіралі. Спіраль, викреслена по цьому рівнянню, називається його ім'ям. Збільшення її кроку завжди рівномірно. В даний час спіраль Архімеда широко застосовується в техніці.

Ще  Гете підкреслював тенденцію природи  до спиральности. Гвинтоподібне і спіралевидне розташування листя на вітках дерев помітили давно. Спіраль побачили в розташуванні насіння соняшнику, в шишках сосни, ананасах, кактусах і так далі. Спільна робота ботаніків і математиків пролила світло на ці дивовижні явища природи. З'ясувалося, що в розташуванні листя на вітці (філотаксис), насіння соняшнику, шишок сосни проявляє себе ряд Фібоначчі, а отже, проявляє себе закон золотого перетину. Павук плете павутину спиралеподібно. Спіраллю закручується ураган. Перелякане стадо північних оленів розбігається по спіралі. Молекула ДНК закручена подвійною спіраллю. Гете називав спіраль "кривою життя".