Числа Фыбоначчі та їх властивості

У 19 столітті учені  відмітили, що квітки і насіння соняшнику, ромашки, луски в плодах ананаса, хвойних шишках і так далі "упаковані" по логарифмічних спіралях, що завиваються  назустріч один одному. При цьому числа "правих" і "лівих" спіралей завжди відносяться один до одного, як сусідні числа Фібоначчі (13:8, 21:13, 34:21, 55:34).

Серед придорожніх трав є непримітна рослина — цикорій. Придивимося до неї уважно: від основного стебла йде пагонець; тут розташувався і перший листок.

Пагонець  робить викид, зупиняє ріст і випускає листок, але вже коротший від першого, знову робить викид, але вже меншої довжини, випускає листок ще меншого розміру і знову викид. Якщо перший викид прийняти за 100 одиниць, то другий дорівнює 62 одиницям, третій — 38, четвертий — 24 і т.д. Довжина пелюсток теж підпорядкована золотій пропорції. Зростаючи, завойовуючи простір, рослина зберігає певні пропорції. Імпульси її зростання поступово зменшуються в пропорції золотого перерізу.

Числа Фібоначчі  виявляються в морфології різних організмів. Наприклад, морські зірки. Число променів у них відповідає ряду чисел Фібоначчі і рівне 5, 8, 13, 21, 34, 55. У добре знайомого  комара - три пари ніг, черевце ділиться на вісім сегментів, на голові п'ять вусиків - антен. Личинка комара членується на 12 сегментів. Число хребців у багатьох домашніх тварин рівне 55.А якнайдавніший молюск наутилус розвивається по золотій пропорції.

Іншим прикладом  може бути ящірка. У ящірки спостерігаються приємні для нашого ока пропорції — довжина її хвоста так відноситься до довжини решти тіла, як 62 до 38.

І у  рослинному, і в тваринному світі  наполегливо проявляється формоутворювальна тенденція природи — симетрія щодо напряму зростання та руху. Тут золотий переріз виявляється в пропорціях частин перпендикулярно до напряму зростання.

Природа здійснила поділ на симетричні частини та золоті пропорції. У частинах виявляється повторення будови цілого. Наприклад, яйце птаха.

Космос. Закономірності золотої симетрії та пропорції виявляються в енергетичних переходах елементарних частинок, у будові деяких хімічних сполук, у планетарних і космічних системах, у генних структурах живих організмів. Ці закономірності, як вказано вище, є в будові окремих органів людини і тіла в цілому, а також виявляються в біоритмах і функціонуванні головного мозку та зорового сприйняття.

Відомо, що І. Тіціус (1729—1796), німецький фізик та астроном, за допомогою послідовності Фібоначчі знайшов закономірність і порядок у відстанях між планетами Сонячної системи.

Послідовність Фібоначчі використовують широко: з ЇЇ допомогою представляють архітектоніку і живих істот, і рукотворних споруд, і будову Галактик. Ці факти — свідоцтво незалежності послідовності Фібоначчі від умов її прояву, що є однією з ознак її універсальності.

Піраміди. Багато хто намагався розгадати таємниці Великої піраміди в Гізі. На відміну від інших єгипетських пірамід, це не гробниця. Винахідливість і майстерність архітекторів, використані ними пропорції, символи указують на надзвичайну важливість послання, яке вони хотіли передати майбутнім поколінням через збудовану піраміду.

Ключ  до геометрично-математичної таємниці Великої піраміди в Гізі, що так довго був для людства загадкою, насправді був переданий Геродоту храмовими жерцями, які повідомили, що піраміда побудована так, щоб площа кожної із її граней дорівнювала квадрату її висоти.

Довжина граней піраміди дорівнює 783,3 фута (238,7 м), висота піраміди — 484,4 фута (147,6 м). Довжина граней, поділена на висоту, приводить до відношення   φ = 1,618. Висота 484,4 фута відповідає 5813 дюймам, а 5, 8, 13 — це числа з послідовності Фібоначчі.

Такі  цікаві спостереження вказують на те, що конструкція піраміди заснована на відношенні φ = 1,618. Сучасні вчені схиляються до інтерпретації, що давні єгиптяни побудували її з єдиною метою — передати знання, які вони хотіли зберегти для майбутніх поколінь.

Інтенсивні  дослідження Великої піраміди в Гізі показали, наскільки обширними були в ті часи пізнання в математиці й астрології. У всіх внутрішніх і зовнішніх пропорціях піраміди число 1,618 грає центральну роль.

Не  тільки єгипетські піраміди побудовані відповідно до досконалих пропорцій золотого перерізу. Те саме явище виявлене й у мексиканських пірамід. Виникає думка, що як єгипетські, так і мексиканські піраміди були зведені приблизно в один і той самий час.

На  перерізі піраміди можна побачити форму, подібну до сходів. У першому ярусі їх 16, у другому — 42, у третьому — 68.

Ці  числа пов'язані з послідовністю  Фібоначчі так:

16 • 1,618 ≈  26;    16 + 26 = 42;    26 • 1,618 ≈ 42;    42 + 26 = 68. 

5. Використання  чисел Фібоначчі для кодування  числової інформації.

 

У останні десятиліття  числа Фібоначчі і золота пропорція  несподівано проявили себе в підставі цифрової техніки. Незалежно один від одного в різних  областях цифрової техніки виникає ряд нетрадиційних напрямів в теорії кодування інформації.

До них відносяться:

1) надмірні самокоди, що синхронізуються, Фібоначчі,  запропоновані в            1965 р. американським фахівцем в області теорії кодування Котсом ;

2) система числення  з ірраціональною підставою типу  золотої пропорції. запропонована  в 1957 р - Джорджем Бергманом ;

3) алгоритмічна  теорія вимірювання і теорія  надмірних вимірювальних кодів;

4) "фибоначчеві" системи числення.

Розглянуто  методику матричного шифрування/дешифрування числової інформації з використанням  послідовності чисел Фібоначчі (числа "Фі"), у якій використано класичний  математичний апарат – теорію матриць. Запропоновано методику виявлення і виправлення помилок у зашифрованій матриці, які виникають у каналах зв'язку. У цій методиці відповідними об'єктами коректування є натуральні десяткові числа різної величини, що має принципове значення для розвитку теорії кодування інформації. Кодування інформації – одна з найпоширеніших проблем в сучасній інформатиці. Під кодуванням розуміють операцію ототожнення символів або їх груп одного коду з відповідними символами чи їх групами іншого коду.

Необхідність  кодування інформації виникає тоді, коли потрібно узгодити

форму повідомлення з деяким каналом зв'язку або яким-небудь пристроєм,призначеним для її перетворення або зберігання. Теорія кодування має тривалу історію свого розвитку та становлення. Розвиток сучасної теорії кодування повсякчас стимулюється прогресом систем зв'язку. Розглянуто методику матричного шифрування/дешифрування числової інформації з використанням послідовності чисел Фібоначчі (числа "Фі"), у якій використано класичний математичний апарат – теорію матриць. У запропонованій методиці виявлення і виправлення помилок у зашифрованій матриці відповідними об'єктами коректування є не окремі біти або їх комбінації у двійкових кодах, як це прийнято в класичній теорії кодування, а натуральні десяткові числа, що значно спрощує роботу з ними. Таким чином, розглянутий вище метод матричного кодування має принципове значення для розвитку теорії кодування інформації.

6. Біологічні дроби

 

Гвинтові осі  симетрії видно в розташуваннях  лусок шишок і укладанні кори пальм, структурі кісткової тканини  і у втечах різних рослин. На стеблі соняшнику явно видно гвинтова вісь п'ятого порядку. Кожен лист, що знов виріс, пов'язаний з попереднім поворотом на 72°, а при повороті та 360° листя переміщається на цілу величину трансляції. По правилах, прийнятих в кристалографії, таку вісь слід позначати 51. Але в ботаніці прийнято представляти гвинтові осі у вигляді дробу, в знаменнику якої коштує число оборотів в листовому циклі (кількість оборотів навколо стебла для переходу від нижнього листа до вищестоящого, розташованого над ним), а в чисельнику — число листя в цьому циклі. Відповідно до цього розташування листя у соняшнику задається дробом 5/1.

У рослин існують  тільки певні, строго фіксовані осі, але в більшості своїй не такі, як у кристалів. Так, якщо злаки, липа, бук, береза утворюють вісь 21 (ботанічний дріб 2/1), осока, тюльпан, ліщина, виноград і вільха — 31 (3/1), то дуб, вишня смородина, слива мають вісь 52 (5/2), капуста, малина, груша, тополя, редька, льон, барбарис — 83 (8/3), а ялина, мигдальник, обліпиха і жасмин — 1З5 (13/5). Для хвойних шишок типові осі 218 (21/8), 3413 (34/13) і 5521 (55/21).

Чому саме такі осі, а не інші — невідомо. Але  вже давно було помічено, що біологічні дроби не довільні, а є члени  двох послідовностей, складених з  чисел Фібоначчі.

Біологічні дроби, що описують гвинтову симетрію рослин, складені з членів двох рядів. У обох рядах чисельники є числа Фібоначчі, починаючи з четвертого члена — двійки. Знаменники рядів різні. У першому числа Фібоначчі починаються з третього числа, а в другому — з другого.

Отже, перший ряд:    2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13.

Другий ряд:    2/1, 3/1, 5/2, 8/3, 13/5, 21/8.

До цих пір  абсолютно незрозуміло, чому симетричне гвинтове розташування листя або  лусок в шишках точно пов'язане  з величиной певного відношення, присутнього в просторових об'єктах, що справляють особливе естетичне враження? Тут можна висловити тільки найзагальніше твердження, що формування естетичних критеріїв людини відбувається під впливом просторових закономірностей природних об'єктів.

7. Властивості чисел ряду Фібоначчі.                                                                         

Виявлено  багато цікавих співвідношень між  числами ряду Фібоначчі: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

Принцип утворення  членів цього ряду приводить до такого співвідношення між будь-якими його трьома розташованими поряд членами

S_n= S_n-1 + S_n-2

Ця  формула дає змогу за першими  двома членами ряду встановити його третій член, за другим і третім — четвертий, за третім і четвертим — п'ятий і т. д.

Задача 1. Цікаво було б уміти зразу дістати будь-який член ряду , знаючи лише номер п його місця. Виявляється, це цілком можливо, але тут ми натрапляємо на одну з дивовижних несподіванок, що нерідко буває в математиці.

Будь-який член ряду Фібоначчі — число ціле, номер місця — теж число ціле. Природно було б сподіватися, що будь-який член ряду утворюється залежно від номера п місця, яке він займає за допомогою дій лише над цілими числами (наприклад, як у прогресіях). Проте це не так. Не лише цілі числа, а й усі цілі та дробові (раціональні) неспроможні утворити формулу, що нас цікавить.

Із  складного становища допомагають  вийти два ірраціональних числа:

a₁= і a₂

Отже, коли п — номер місця, то будь-який член ряду Фібоначчі можна дістати за формулою

= = .  (1)

При п = 1   =  = 1;

При п = 2   

= = .

Оскільки  для двох сусідніх членів ряду ця формула  підтверджується, а всякий наступний член ряду Фібоначчі утворюється як сума двох попередніх, то далі нема потреби перевіряти правильність формули для окремих випадків, можна зразу пересвідчитись в її правильності для будь-якого номера п. Напишемо її вираз для двох сусідніх п:

 = = Формула (1) буде правильною для будь-якого п, якщо сума цих двох виразів дасть відповідний вираз для :

Знаючи, що являють собою а₁ і а₂, легко можна перевірити розрахуком, що

a₁+1= і   a₂+1=     Повертаючись до суми дістанемо

   що й  треба було довести.

Задача 2. Знаючи, як будь-який член ряду Фібоначчі визначається за номером п місця, яке він займає,

= ,  де a₁= і a₂

легко довести, що будь-яка пара сусідніх чисел ряду Фібоначчі  задовольняє одне з рівнянь х² — ху — у² = ± 1, причому, якщо у = , то х = . Замінюючи невідомі рівняння відповідними виразами

у = ,  х = матимемо

2 +

+  

Групуємо  члени з однаковими основами:

Підставляючи відповідні значення a₁= і a₂    у вирази, що стоять у дужках, матимемо

5 = ± 5   або 5 = ± 5.   Але

 Отже, при п парному 5 (— 1)ⁿ = 5, а при п непарному 5 (— 1)ⁿ = — 5.

Задача 3. Досить цікава формула для суми п членів ряду Фібоначчі:

Сума п перших членів ряду Фібоначчі на 1 менша від (п + 2)-го члена того ж ряду.

Доведення.   За законом утворення членів ряду маємо

,

Додавши ці рівності і скоротивши подібні члени, дістанемо:

,

,

  

Задача 4. Сума квадратів чисел ряду Фібоначчі виражається через добуток двох сусідніх членів того самого ряду

 (2)

Наприклад,      1² + 1² = 1∙2

                1² + 1² + 2² = 2∙3

             1² + 1² + 2² + 3² = 3∙5

Для доведення застосуємо метод повної математичної індукції. Нехай формула (2) правильна для деякого числа членів k :

Додамо  до обох частин рівності по

Формула, яка  є правильною, за припущенням, для k доданків, залишилась правильною і для k + 1 доданків.

Як показала безпосередня перевірка, формула (2) правильна  для k = 2. Цього досить, щоб тепер твердити, що вона буде правильною і для будь-якого цілого числа п.

Використовуючи  формулу (1) або метод повної математичної індукції, можна довести такі співвідношення:

1) Квадрат кожного  члена ряду Фібоначчі, зменшений  на добуток попереднього і наступного членів, дає по черзі то +1, то —1. Наприклад,