Шпаргалка по "Математическому анализу"

 

И, перенеся f(х0,y0) в левую часть, получим слева

Кроме того, обозначим

Приводим к формуле:

Положим u = AΔx2 + 2B∆xΔy +CΔy2   При ρ→0 квадратичная форма u убывает со скоростью р2, т.е. быстрее. Поэтому в достаточно малой окрестности точки (х0,, y0) ,будет выполнятся неравенство 1/2│u│>│R│(если u не обратится в нуль). Это означает, что знак приращения совпадает со знаком u. Разумеется, в точках, где u=0, знаки ∆f и R совпадают. Имеются 3 возможности:

1. Величина u сохраняет знак, обращаясь в нуль только при ∆x=∆y=0. Такая квадратичная форма называется знакоопределенной. В этом случае сохраняет знак и приращение ∆f . При ∆f≤0 в точке (х0,, y0) имеется максимум, а при ∆f≥0 - минимум.
2. В любой оокрестности точки (х0,, y0) величина u принимает как положительные, так и отрицательные значения. Такая квадратичная форма называется знакопеременной. В этом случае меняет знак и приращение ∆f . Экстремума нет.

3. Величина u сохраняет знак, но обращается в нуль не только в начале координат. Такая квадратичная форма называется знакопостоянной. В этом случае никакого вывода сделать нельзя без исследования остаточного члена. Если в точках названной прямой остаточный член меняет знак, то экстремума нет, если сохраняет тот же знак, что и величина u - экстремум есть, если сохраняет знак противоположный u - экстремума нет.

Дело свелось теперь к установлению условий, при которых квадратичная форма u является знакоопределенной, знакопеременной или знакопостоянной. Если А = С = 0, В ¹ 0, то u = В∆х∆у, и квадратичная форма является знакопеременной. При совпадении знаков ∆х и ∆у она имеет знак В, при несовпалении - знак противоположный знаку В. В этом случае экстремума нет. Если к тому же В = 0, вопрос об экстремуме решается путем исследования остаточного члена R в каждом конкретном случае.

Пусть теперь хотя бы одна из величин А, С отлична от нуля. Положим для определенности, что А ≠ 0. Преобразуем форму u: вынесем за скобки А, прибавим и вычтем (В¸А ∆у)2. Первые три слагаемых представляют полный квадрат, два последних приводим к общему знаменателю:

1. Если В2 - АС <0, то форма знакоопределенная. Действительно,

Поэтому выражение в квадратных скобках неотрицательно и может обратится в нуль только тогда, когда оба слагаемых равны нулю. Второе обращается в 0 лишь при ∆у=0. В этом случае первое слагаемое будет равно 0 только при ∆х=0. Очевидно, что знак знакоопределенной формы u совпадает со знаком числа А.

2. Если В2 - АС >0, то форма знакопеременная. Действительно, выражение в квадратных скобках останется ∆x2 и если ∆х≠0., то ∆x2 > 0; при ∆у≠0 можно взять ∆х = -В/А∆у и выражение в квадратных скобках будет отрицательным.

3. Если В2 - АС = 0, то форма знакопостоянная. В скобках останется выражение (∆х+В/А∆у)2, которое неотрицательно. Но в нуль оно обращается не только при ∆х=∆у=0, а и тогда, когда ∆х = -В/А∆у, при любом ∆у.

 

33. Частные производные.

Наряду с полным приращением функции вводится понятие частных приращений по х ∆хz и по у ∆уz. Они определяются формулами, где приращение дается только одной из переменных.

Определение: Частной производной функции f(x,y) по х называется предел отношения частного приращения ∆хz к приращению ∆х, когда х→0 (если этот предел существует)(1)

Аналогично определяется частная производная функции z=f(x,y) по у. Для частной производной функции нескольких переменных, производную функции одной переменной называют переменной иногда обыкновенной.

Формуле (1) можно дать такое толкование: у функции f(x,y) фиксируется значение переменной у и получается, что f(x,y) становится функцией одной переменной х, а частная производная - обыкновенной производной этой функции. Так же истолковывается формула для f'y(x,y) с той разницей, что f(x,y) рассматривается как функция одной переменной у. Мы приходим к следующему правилу.

Для вычисления частной производной по х следует переменную у (или другие переменные, если их несколько) считать постоянной и вычислять производную по х как обыкновенную.

Аналогично формулируется правило вычисления частной производной по у.

 

32. Свойства непрерывных  функций двух переменных.

 

1. Функция, непрерывная в замкнутой  ограниченной области D а) ограничена в области

б) достигает в этой области наибольшего М и наименьшего m значений.

2. Сумма, произведение и частное непрерывных функций есть снова непрерывная функция, если в последнем случае делитель не принимает нулевого значения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19. Определенный интеграл. Определение. Геометрический смысл.

Определение: Пусть дана функция y=f(x), ограниченная на отрезке [a,b] (a<b). Сделаем разбиение R этого отрезка точками хi: а<х0< x1< x2<…< xn,=b. Обозначим

На каждом промежутке [xi, xi+1] выберем произвольную точку ξi. Величину

Называют интегральной суммой.

Если существует предел интегральной суммы sR при λR →0. Независящий от выбора разбиений R и выбора точек ξi, то он называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] и обозначается (1)

Добавление к определению:

1. При a>b полагают

2. принимают 

В интеграле (1) числа a и b называются соответственно нижними и верхними пределами интегрирования. Если функция f(x) ≥0 на отрезке [a,b], то геометрический смысл определенного интеграла - это площадь криволинейной трапеции. Пусть на промежутке [a,b] задана ограниченная функция y=f(x), будем считать ее положительной.(рис 1)

 

 

 

 

 

 

Фигура aABb, ограниченная графиком функции y=f(x), отрезком [a,b] оси х и перпендикулярами аА и bB к оси х, называется криволинейной трапецией. Измерить ее площадь  непосредственно путем установления того, сколько раз в этой фигуре укладывается единица измерения площади (квадрат со стороной, равной единице), и доли этой единицы невозможно из-за криволинейной верхней границы.

Разобьем  отрезок [a,b] на части (не обязательно равные) точками хi (i = 0,n): а=х0< x1< x2<…< xn=b. Это разбиение назовем R. Длину наибольшего отрезка назовем

На каждом из частичных отрезков [xi, xi+1] выберем произвольную точку

И построим прямоугольник с высотой f(ξi). В результате получится ступенчатая фигура, ограниченная сверху ломаной линией L. Ее площадь назовем sR. Если теперь увеличивать число делений разбиения R так, что бы λR →0, то ломаная L будет все теснее прижиматься к кривой АВ. Это дает возможность ввести следующее определние.

Определение: Площадью криволинейной трапеции aAАb называется предел, к которому стремится площадь sR ступенчатой фигуры когда число делений разбиения R не ограничено возрастает и λR →0 (Если этот предел существует и не зависит от способа получения разбиения R и выбора точек ξi).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28. Вычисление площади  фигуры и длины дуги с помощью  определенного интеграла.

f(x)≥0

Рассмотрим два случая.

1. площадь S заштрихованной фигуры на рис 1, а, где функция y=f(x) на отдельных промежутках принимает отрицательное значение, выражается формулой:

 

 

 

2. Площадь S фигуры ограничена графиками функции y=f(x) и y=g(x), а так же прямыми АВ и CD (рис 2) вычисляется по формуле:

Определение: Пусть дана дуга кривой АВ. Нанесем на нее произвольные точки Mi (i=0,n) и соединим их хордами (рис 3). Периметр полученной ломаной обозначим Pn. Будем увеличивать число точек Mi на дуге. Длиной дуги кривой АВ называется предел периметра Pn, когда длина наибольшей хорды стремится к нулю (если этот предел существует и не зависит от выбора вершин ломаной). Если дуга задана уравнением y=f(x) на промежутке [a,b] (ищем длину дуги l). Будем считать функцию f(x) непрерывно дифференцируемой. Положенеи произвольных точек Mi определим выбрав абциссы этих точек, т.е. сделав разбиение R отрезка [a,b] точками а=х0< x1< x2<…< xn=b. Длину хорды, соединяющей точки Mi и Mi+1 обозначим ∆li.Ее проекциями на оси координат будут ∆хi ∆уi. Очевидно,

Покажем, как нахождение предела периметра Pn сводится к вычислению интеграла. Представим ∆li в нужном виде:

По формуле конечных приращений Лагранжа

Поставив это выражение ∆уi в формулу ∆li, полуим

Таким образом (1),

Если составить интегральную сумму для функции

с полученными выше точками ξi, то придем к выражению (1), т.е.

кроме того стремление к нулю наибольшей хорда ∆li влечет за собой стремление к нулю

поэтому

(если этот предел существует).

Но по нашим предположениям функция f'(x), а следовательно и функция g(x) непрерывна. Непрерывная функция интегрируема, значит, упомянутый предел существует. Мы доказали, что

Подставляя выражение g(x), получаем формулу длины дуги:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29. Вычисление объема  и площади поверхности тела вращения с помощью определенного интеграла.

Пусть тело образовано вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции аАВb, ограниченной сверху графиком непрерывной функции y=f(x). (рис 1) Нахождение объема V этого тела сведем к вычислению интеграла.

 

 

 

 

 

Делаем разбиение R отрезка [a,b] точками а=х0< x1< x2<…< xn=b. На отрезке [xi, xi+1] строим прямоугольник высотой f(xi). При вращении этого прямоугольника получается цилиндр с радиусом основания f(xi) и высотой ∆ xi. Его объем равен π[f(xi)]² ∆ xi. Построим такие же целиндры для каждого промежутка [x0,x1], [x1,x2],…[xn-1,xn]. Все цилиндры в совакупности образуют тело, назовем его объем Vn.

Определение: Если существует предел Vn, когда

Стремится к нулю, не зависящей от выбора разбиений R, то этот предел называю объемом тела вращения.

Очевидно,

Данная сумма является интегральной суммой для функции,

Которая непреывна по условию. Следовательно, интеграл сществует. Формула для объема тела вращения имеет вид:

Площадь поверхности вращения.

Если площадь поверхности, образованной вращением кривой АВ (рис 1) задана непрерывна дифференцируемой функций y=f(x), обазначить через Р, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15. Основные свойства  неопределенного интеграла.

1. ∫ Аf(x)dx = A ∫ f(x)dx (постоянный множитель можно выносить за знак интеграла).

2. ∫[f(x)-f(x)]dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx (интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций).

 

16. Интегрирование по  частям и замена переменной  в неопределенной интеграле.

Замена переменной.

Будем полагать функции f(u) и φ'(x) непрерывными. Замена переменной производится по формуле:

Формула проверяется дифференциалом обеих частей равенства по x (правая часть дифференцируется как сложная функция).

Интегрирование по частям:

Пусть u и v являются функциями x. Умножив обе части равенства (uv)'=u'v+uv' на dx, получим d(uv)=vdu+udv. Интегрируя приходим к формуле интегрирования по частям

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Матрицы и действия с ними

Матрицей порядка m´n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Квадратная матрица порядка m  - m=n. Составляющие матрицу числа называют ее элементами.

Сложение матриц.

При сложения, должны быть равны порядки матриц.

 а11 а12                      в11    в12      _

 а21 а22              в21   в22      _

 

 а11+ в11           а12 + в12

 а21+в21            а12 + в12

 

Умножение матриц на число.

       а11    а12             ва11     ва12

 в    а21    а22       =    ва21     ва22

Умножение матриц друг на друга.

 

а11 а12               в11    в12        _

а21  а22               в21    в22        _

а11в11+ а12 в21    а11в12+а12в22         

а21 в11+ а22 в21    а21в12+а22в22

 

2 Правила вычисления  определителей второго и третьего порядков.

 Определитель (детерминал) матрицы - число, которое ставится в соответствие этой квадратной матрице.

Порядок определителя - порядок соответствующей матрицы.

Определение определителя 2-го порядка.

а11 а12       _

а21 а22       _   а11 а22  -  а21 а12