Применение классической модели Вольтерра «хищник-жертва»

Заданы следующие начальные  показатели:

Наименование  показателя	Ягуары	Капибары
— начальная численность  популяции	10000	800
— коэффициент естественного  прироста/смертности	1,1	0,001
— коэффициенты межвидового взаимодействия	0,0001	0,0001

 

Со временем число капибар и ягуаров меняется, но так как капибар в данном ареале обитания много, то не будем различать 1020 капибар или 1021 и поэтому будем считать и непрерывными функциями времени t.

Характер изменения состояния ( , ) определяется значениями параметров. Изменяя параметры и решая систему уравнений модели, можно исследовать закономерности изменения состояния экологической системы во времени.

В экосистеме скорость изменения  численности каждого вида также  будем считать пропорциональной его численности, но только с коэффициентом, который зависит от численности  особей другого вида. Так, для капибар  этот коэффициент уменьшается с  увеличением числа ягуаров, а  для ягуаров увеличивается с  увеличением числа капибар. Будем  считать эту зависимость также линейной. Тогда получим систему из двух дифференциальных уравнений:

 

 

Имеем частный случай математической модели Вольтерра. Изменяя эти параметры  и решая систему уравнений  модели, можно исследовать закономерности изменения состояния экологической  системы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. ЭКСПЕРИМЕНТ НА БАЗЕ РАЗРАБОТАННОЙ МОДЕЛИ

 

 

Имея полученную систему  уравнений:

 

Где :

N(к) — величина популяции жертв( капибар)

N(я) — величина популяции хищников( ягуаров)

 dN(к)/dt — скорость прироста ягуаров

dN(я)/dt — скорость прироста  капибар

 — коэффициент естественного  прироста/смертности

— коэффициент межвидового взаимодействия

Проинтегрируем ее  по t, которое будет изменяться от - начального момента времени, до , где T – период, за который происходят изменения в экосистеме. Пусть в нашем случае период равен 1 году. Тогда система принимает следующий вид:

 

;

Подставим значения пределов интегрирования:

 

;

 

 

Приведем подобные слагаемые, получим систему, состоящую из двух уравнений:

 

Подставив в полученную систему  исходные данные, получим популяцию  ягуаров  и капибар спустя год:

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 3-Графическое  представление закономерностей  состояния экологической системы

 

 

 

Вывод: рассматривая график, можно заметить, что данная модель «работает» на протяжении 10 лет, далее она уже не подчиняется вышеприведенным функциям, ибо популяция ягуаров сходит на нет.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В данном курсовом проекте  мы рассмотрели классическую модель «хищник-жертва» и попытались определить основные факторы, влияющие на вымирание  ягуаров, что, в общей сложности, у нас и получилось. Также мы разработали структурную схему  взаимодействия популяций капибар  и ягуаров и функциональную модель IDEF0.

Классическая модель Вольтерра  главным образом отражает периодическое  изменение числа особей, что мы можем наблюдать в таблице 3 практического применения разработанной модели.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. 1931 / Пер. с французского под ред. Ю.М.Свирежева. – М.: Наука, 1976.
2. Березовская Ф.С. Алгоритм исследования сложных стационарных точек двумерных моделей // Математическое моделирование биологических процессов. – М. Наука, 2009. – C.105-116.
3. //ru.wikipedia.org/wiki/Система_«хищник-жертва»
4. //www.lomonosov-fund.ru/enc/ru/encyclopedia:0134508

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ А