Статистические методы регулирования технологических процессов при контроле по количественному признаку

Среднюю линию на s–карте определяют из условия

 (2.10)

Расчет контрольных  границ s–карты сводится к определению границ критической области критерия проверки гипотезы : против конкурирующей гипотезы : на уровне значимости . Критерий проверки гипотезы основан на выборочной характеристике

 (2.11)

которая имеет распределение  с степенью свободы.

Примем  и по таблице распределения (табл. П.3 [6]) для числа степеней свободы определим граничные значения и из условия:

 (2.12)

Нижняя и верхние  контрольные границы на контрольной  карте равны:

 (2.13)

При построении контрольной  карты размахов средняя линия определяется по уравнению 2.5., а контрольные границы из условия:

 (2.14)

где значения коэффициентов  и протабулированы в [9], [10] для объема выборки от 2 до 10.

В практике статистического  регулирования технологических  процессов получили распространение  «двойные карты». Применение таких  карт основано на том, что для характеристики процесса важно знать не только среднее  значение контролируемого признака, но и рассеяние признака около среднего значения, т.е. показатели точности процесса. Например, двойная контрольная карта средних арифметических значений и размахов содержит две рабочие зоны – для средней арифметической и размаха с контрольными границами [6].

3. Примеры построения контрольных карт Шухарта с использованием ГОСТ Р 50779.42–99

Контрольные карты Шухарта  бывают двух основных типов: для количественных и альтернативных данных. Для каждой контрольной карты встречаются две ситуации:

а) стандартные значения не заданы;

б) стандартные значения заданы.

Стандартные значения –  значения, установленные в соответствии с некоторыми конкретными требованиями или целями.

Целью контрольных карт, для которых не заданы стандартные значения является обнаружение отклонений значений характеристик (например, , или какой-либо другой статистики), которые вызваны иными причинами, чем те, которые могут быть объяснены только случайностью. Эти контрольные карты основаны целиком на данных самих выборок и используют для обнаружения вариаций, которые обусловлены неслучайными причинами.

Целью контрольных карт при наличии заданных стандартных  значений является определение того, отличаются ли наблюдаемые значения , и т.п. для нескольких подгрупп (каждая объемом наблюдений) от соответствующих стандартных значений (или ) и т.п. больше, чем можно ожидать при действии только случайных причин. Особенностью карт с заданными стандартными значениями является дополнительное требование, относящееся к положению центра и вариации процесса. Установленные значения могут быть основаны на опыте, полученном при использовании контрольных карт на заданных стандартных значениях, а также на экономических показателях, установленных после рассмотрения потребности в услуге и стоимости производства, или указаны в технических требованиях на продукцию [2].

3.1 Контрольные карты для количественных данных

Контрольные карты для  количественных данных – это классические контрольные карты, применяемые  для управления процессами в тех  случаях, когда характеристики или  результаты процесса измеряемы, и измеренные с требуемой точностью фактические значения контролируемого параметра регистрируются.

Контрольные карты для  количественных данных позволяют контролировать как расположение центра (уровень, среднее, центр настройки) процесса, так и  его разброс (размах, стандартное отклонение). Поэтому контрольные карты для количественных данных почти всегда применяют и анализируют парами – одна карта для расположения, а другая для разброса.

Наиболее часто применяют  пары и -карты, а также и -карты [5]. Формулы для расчета положения контрольных границ этих карт приведены в табл. 1. Значения входящих в эти формулы и зависящих от объема выборки коэффициентов приведены в табл. 2 [3].

Следует подчеркнуть, что  приведенные в этой таблице коэффициенты получены в предположении, что количественные значения контролируемого параметра  имеют нормальное или близкое  к нормальному распределение.

 

 

Таблица 1

Формулы контрольных  границ для карт Шухарта с использованием количественных данных

Статистика	Стандартные значения не заданы		Стандартные значения заданы
	Центральная линия	UCL и LCL	Центральная линия	UCL и LCL
		или	или
		,	или	,
		,	или	,
Примечание: заданы стандартные значения или , , или .

 

Таблица 2

Коэффициенты  для вычисления линий контрольных  карт

Число наблюде-ний в под-группе n	Коэффициенты для вычисления контрольных  границ											Коэффициенты для вычисления центральной  линии
2	2,121	1,880	2,659	0,000	3,267	0,000	2,606	0,000	3,686	0,000	3,267	0,7979	1,2533	1,128	0,8865
3	1,732	1,023	1,954	0,000	2,568	0,000	2,276	0,000	4,358	0,000	2,574	0,8886	1,1284	1,693	0,5907
4	1,500	0,729	1,628	0,000	2,266	0,000	2,088	0,000	4,696	0,000	2,282	0,9213	1,0854	2,059	0,4857
5	1,342	0,577	1,427	0,000	2,089	0,000	1,964	0,000	4,918	0,000	2,114	0,9400	1,0638	2,326	0,4299
6	1,225	0,483	1,287	0,030	1,970	0,029	1,874	0,000	5,078	0,000	2,004	0,9515	1,0510	2,534	0,3946
7	1,134	0,419	1,182	0,118	1,882	0,113	1,806	0,204	5,204	0,076	1,924	0,9594	1,0423	2,704	0,3698
8	1,061	0,373	1,099	0,185	1,815	0,179	1,751	0,388	5,306	0,136	1,864	0,9650	1,0363	2,847	0,3512
9	1,000	0,337	1,032	0,239	1,761	0,232	1,707	0,547	5,393	0,184	1,816	0,9693	1,0317	2,970	0,3367
10	0,949	0,308	0,975	0,284	1,716	0,276	1,669	0,687	5,469	0,223	1,777	0,9727	1,0281	3,078	0,3249
11	0,905	0,285	0,927	0,321	1,679	0,313	1,637	0,811	5,535	0,256	1,744	0,9754	1,0252	3,173	0,3152
12	0,866	0,266	0,886	0,354	1,646	0,346	1,610	0,922	5,594	0,283	1,717	0,9776	1,0229	3,258	0,3069
13	0,832	0,249	0,850	0,382	1,618	0,374	1,585	1,025	5,647	0,307	1,693	0,9794	1,0210	3,336	0,2998
14	0,802	0,235	0,817	0,406	1,594	0,399	1,563	1,118	5,696	0,328	1,672	0,9810	1,0194	3,407	0,2935
15	0,775	0,223	0,789	0,428	1,572	0,421	1,544	1,203	5,741	0,347	1,653	0,9823	1,0180	3,472	0,2880
16	0,750	0,212	0,763	0,448	1,552	0,440	1,526	1,282	5,782	0,363	1,637	0,9835	1,0168	3,532	0,2831
17	0,728	0,203	0,739	0,466	1,534	0,458	1,511	1,356	5,820	0,378	1,622	0,9845	1,0157	3,588	0,2784
18	0,707	0,194	0,718	0,482	1,518	0,475	1,496	1,424	5,856	0,391	1,608	0,9854	1,0148	3,640	0,2747
19	0,688	0,187	0,698	0,497	1,503	0,490	1,483	1,487	5,891	0,403	1,597	0,9862	1,0140	3,689	0,2711
20	0,671	0,180	0,680	0,510	1,490	0,504	1,470	1,549	5,921	0,415	1,585	0,9869	1,0133	3,735	0,2677
21	0,655	0,173	0,663	0,523	1,477	0,516	1,459	1,605	5,951	0,425	1,575	0,9876	1,0126	3,778	0,2647
22	0,640	0,167	0,647	0,534	1,466	0,528	1,448	1,659	5,979	0,434	1,566	0,9882	1,0119	3,819	0,2618
23	0,626	0,162	0,633	0,545	1,455	0,539	1,438	1,710	6,006	0,443	1,557	0,9887	1,0114	3,858	0,2592
24	0,612	0,157	0,619	0,555	1,445	0,549	1,429	1,759	6,031	0,451	1,548	0,9892	1,0109	3,895	0,2567
25	0,600	0,153	0,606	0,565	1,434	0,559	1,420	1,806	6,056	0,459	1,541	0,9896	1,0105	3,931	0,2544

 

 

Альтернативой картам являются контрольные карты медиан ( – карты), построение которых сопряжено с меньшим объемом вычислений по сравнению с картами. Это может облегчить их внедрение в производство. Положение центральной линии на – карте определяется средним значением медиан ( ) для всех проконтролированных выборок. Положения верхней и нижней контрольных границ определяются соотношениями

 (4.1)

Значения коэффициента , зависящие от объема выборки, приведены в табл. 3.

Таблица 3

Значения коэффициента

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1,88	1,19	0,80	0,69	0,55	0,51	0,43	0,41	0,36

Обычно  – карта применяется вместе с – картой, объемом выборок

В ряде случаев стоимость  или продолжительность измерения  контролируемого параметра столь  велики, что приходится управлять  процессом на основе измерения индивидуальных значений контролируемого параметра. При этом мерой вариации процесса служит скользящий размах, т.е. абсолютное значение разности измерений контролируемого параметра в последовательных парах: разность первого и второго измерений, затем второго и третьего и т.д. На основе скользящих размахов вычисляют средний скользящий размах , который используют для построения контрольных карт индивидуальных значений и скользящих размахов ( и –карты). Формулы для расчета положения контрольных границ этих карт приведены в табл. 4.

Таблица 4

Формулы контрольных  границ для карт индивидуальных значений

Статистика	Стандартные значения не заданы		Стандартные значения заданы
	Центральная линия	UCL и LCL	Центральная линия	UCL и LCL
Индивидуальное значение			или
Скользящий размах		,	или	,
Примечание: заданы стандартные значения и или и .

Значения коэффициентов  и косвенно можно получить из таблицы 2 при n=2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.Практическая часть

В практической работе требуется проанализировать влияние трудовых факторов на выпуск продукции предприятия. Объем выпуска продукции (ВП) находится под влиянием таких трудовых факторов, как:

1. Среднесписочная численность  рабочих (Ч);

2. Среднее число дней, отработанных одним рабочим за анализируемый период (Д);

3. Средняя продолжительность  рабочего дня (t);

4. Среднечасовая выработка  рабочего (В).

Взаимосвязь исследуемого показателя с факторными показателями представим в виде четырехфакторной мультипликативной модели:

Используя учетные данные предприятия, рассчитаем значения аналитических  показателей, необходимых для факторного анализа. Методика расчета показателей  использования трудовых ресурсов и  результаты расчета представлены в  табл.1.

Таблица 1

 

Расчет показателей  использования трудовых ресурсов на предприятии

 

Показатель	Предыдущий год	Отчетный год
1. Выпуск продукции, тыс. руб.	725,5	591,9
2. Среднесписочная численность  рабочих, чел.	1118	1111
3. Отработано рабочими человеко-дней, тыс.	288	264
4. Отработано рабочими человеко-часов,  тыс.	1963	1850
5. Среднее число дней, отработанных  одним рабочим	258	238
6. Средняя продолжительность рабочего  дня, ч	6,8	7
7. Среднечасовая выработка 1 рабочего, руб.	0,37	0,32

 

Расчет влияния трудовых факторов на объем выпуска продукции  произведем методами факторного анализа, которые основаны на приеме элиминирования.

Элиминирование –  это логический прием, при помощи которого условно устраняется (исключается) ряд факторов, влияющих на результативный показатель, и оставляется какой-либо один фактор, влияние которого и измеряется. В экономическом анализе элиминирование используется в нескольких вариантах. Определим размер влияния факторов на изменение результативного показателя:

методом цепных подстановок;

методом абсолютных разниц;

методом относительных  разниц;

методом процентных разниц.

 

4.1. Расчет влияния трудовых факторов на выпуск продукции методом цепных постановок

Для расчета используем мультипликативную модель и значения показателей табл.1.

Под воздействием всех факторов общее снижение продукции в отчетном году по сравнению с предыдущим составило 133428,78 руб.

Первая подстановка. За счет уменьшения численности рабочих выпуск продукции снизился на сумму 4543,89 руб.:

Вторая подстановка. За счет уменьшения числа дней, отработанных в среднем каждым рабочим за год, выпуск продукции снизился на сумму 55905,52 руб.:

Третья подстановка. За счет увеличения средней продолжительности  рабочего дня дополнительный выпуск продукции составил 19566,93 руб.:

Четвертая подстановка. За счет снижения производительности труда (среднечасовой выработки рабочего) выпуск продукции снизился на 92546,3 руб.:

Сделаем проверку:

Проверка результатов  расчета показала, что они выполнены  правильно, поскольку алгебраическая сумма размеров влияния трудовых факторов совпадает с общим изменением объема выпуска продукции. Выполним табличный вариант расчетов методом цепных подстановок (табл.2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 2

Расчет влияния трудовых факторов на выпуск продукции

 

Показатели	Влияющие факторы				Выпуск продукции (ВП), руб.	Изменение выпуска продукции (∆ВП), руб.
	Среднесписочная численность рабочих (Ч), чел.	Среднее число дней, отработанных 1 рабочим (Д)	Средняя продолжительность рабочего дня (t), ч	Среднечасовая выработка рабочего (В), руб.
Предыдущий год	1118	258	6,8	0,37	725725,1	-133428,78
Отчетный год	1111	238	7	0,32	592296,32
Подстановка факторов
Среднесписочная численность рабочих, чел.	1111	258	6,8	0,37	721181,21	-4543,89
Среднее число дней, отработанных 1 рабочим	1111	238	6,8	0,37	665275,69	-55905,52
Средняя продолжительность рабочего дня, ч.	1111	238	7	0,37	684842,62	+19566,93
Среднечасовая выработка рабочего, руб.	1111	238	7	0,32	592296,32	-92546,3

 

В таблице подчеркнутые числа показывают фактические показатели. Несмотря на увеличение средней продолжительности рабочего дня, выпуск продукции снизился по сравнению с уровнем предыдущего года на 133428,78 руб. Это объясняется, в основном, уменьшением среднесписочной численности рабочих с 1118 до 1111 человек. Каждый рабочий предприятия отработал в предыдущем году в среднем 6,8 часов в день, а в отчетном году на 0,2 часа больше. За счет этого выпуск продукции увеличился на 19566,93 руб. Снизилась производительность труда с 0,37 до 0,32 рублей в час, а в результате недовыпуск продукции составил 92546,3 руб. Рекомендуется выяснить причины сокращения среднего числа дней, отработанных одним рабочим и снижения производительности труда в анализируемом году.