Сандық ұғымдарды қалыптастыру және санауға үйрету

Дәріс № 5

Тақырыбы: Сандық ұғымдарды қалыптастыру және санауға үйрету.

Жоспар:

1. Балаларда жиын туралы түсініктерді дамыту.
2. Әр жастағы балалардың жиындарды салыстыру әдістері.
3. Балаларда санау әрекетін дамыту, санау әрекетінің кезеңдері.

4. Балаларда  натуралар қатардың белгілі кесіндісі туралы түсінікті дамыту.

1. Балаларда жиын туралы түсініктерді дамыту

Жиын туралы алғашқы түсініктердің  қалай қалыптасатыны көп жылдар бойы  түсініксіз күйде қалып келді. Жиындардың орналасуының қандай да бір кеңістік формасы  жиынды қабылдауда  қандай роль атқарады? Жиын туралы түсініктен жиындар сыныбының  көрсеткіші ретіндегі  сан ұғымына қалай өтеді? Әр түрлі жас ерекшелігі  кезеңдерінде  балалардың санау әрекеттерін меңгеруінің  өзіндік ерекшелігі қандай? Балалада сандардың натурал қатары  туралы түсінік қалай қалыптасады?

Бұл сұрақтарға жауап алуға Кеңес Одағында жүргізілген психологиялық зерттеулер көмектесті.  

Ерте жастан бастап балада бірыңғай заттардан тұратын қиындық туралы түсініктер жинала басайды. «Көп қуыршақ», «‡ш кубик», «қолда бес саусақ бар». Бұл алғашқы түсініктер алдымен баланың пассив сөзінде бейнелене отырып, жинақтала бастайды. Мысалы, 1 жылдан 3 ай асқанда бала «кішкене үй» немесе «кішкене үйлер», «үлкен үй» немесе «үлкен үйлер»тұрғызу тапсырмасын орындап, «кішкене вагонды» немесе «кішкене вагондарды»  әкелуді,  «гүлді» немесе «гүлдерді» отырғызу жұмыстарын атқара алатынын зерттеулер көрсетті (Л.Г. Калинина, В.В. Данилова және басқалар).

1 жылдан 6 ай асқан бөбек белсенді сөздерді игеріп,  зат есімнің жекеше  көпше түрлерін пайдалана отырып,  кейбір нәрселерді немесе  олардың жиынтығын атап береді: «Бұл – кубик, бұл - кубиктер», «үй-үйлер», «қуыршақ-қуыршақтар», «ағай-ағайлар» және т.б. Балалар осы  жаста  бірыңғай нәрселер тобына  қызыға бастайды (шариктер, түймелер, жүзіктер және басқалар).  Балалар оларды іріктеп алады, ауыстырып қойып шығады,шашып тастайды, қайта жинайды, стол үстіне горизанталь бойынша қисық сызық түрінде қойып шығады. Балалар қолына затты қысып ұстағанды олардың қалай шашылып түскенін (мысалы, түймелер) бақылауды ұнатады. Нәрселердің, құбылыстардың жиынын қабылдауға баланың бүкіл айналасы – таныс және таныс емес адамдардың жиыны, баланың көз алдында қозғалып жатқан  нарселер жиыны ( үйлер, ағаштар, транспорт),  біркелкі қайталанатын дыбыстар, яғни біркелкі шуыл мен дыбыстар (сағаттың сыртылы, оның соғуы) жағдай жасайды. Нарселер мен құбылыстар жиынының әр түрлілігін баса әр қилы – есту, , көру, кинестетикалық және басқа да анализаторлармен қабылдайды. Ол өзі бірнеше рет біркелкі қозғалыстар жасады: манежден  бір ойыншықты бірнеше қайтара алып тастады, қасықпен столды тықылдатты және т.б. біркелкі әрекеттер мен әсерлердің  осы барлық түрі бастың ми қабығында із қалдырып, жиналады. Осы мәселе бойынша,  И.М.Сеченов былай деп жазған еді: «Біркелкі ықпал ету  деп аталатындардың  жиі қайталануы  әсердің тұрақты элементтеріне сәйкес келетін жолдар  жиынтығының жекеленуіне алып келуге тиіс».

Нарселердің жиыны туралы және олардың жеке-жеке бөліктері туралы түсініктердің алғашқы қалыптасуы зат есімдер мен сын есімдердің жекеше әрі көпше түрлерін балалардың айыруы және бұл грамматикалық форманы тіл дамуы кезінде ертерек меңгеруі үшін негіз болады.

Жиын ұғымына математикада мынандай анықтама беріледі: «Жиын – бұл біртұтас  алып қарастырылатын обьектілердің жиынтығы». Жиындар шектеулі де шектеусіз де қарастырылады.

Кішкене баллар шектеулі жиынмен  ғана танысады.

2. Әр жастағы балалардың жиындарды салыстыру әдістері

Бала жиын туралы түсініктің дамуы өзінің бірінші сатысында  өте диффузиялық (аралас) күйде болады:  оның айқын шекарасы болмайды және элементер бірінен соң бірі  қабылдана бермейді. Бұлай қабылдау құрылымдық-бүтін бірлік түріндегі жиынды емес, қайта  белгісіз жиынды сипаттайды; оның сандық жағы да әлі дәл  танылмайды. Мысалы, бала көптеген біркелкі кішкене қуыршақтарды  немесе қораптағы әр түсті түймелерді көріп қуанады. Алайда, ол бірнешеуін қолына ұстап көрісімен, қалғандарын сол сәтте ұмытады. Кішкене балалар сондай-ақ егер жиын элеметтерінің саны  азайса және олардың бір бөлігі көден таса болса, оны байқамайды. Жиын туралы түсініктің осы деңгейі тілде сөздің жекеше және көпше жалғаулары пайдалануға сәйкес  келеді: өйткені, оларда нақты сандық құрам бейнеленбейді.

 Белгісіз жиын туралы  түсінік екі жасқа дейінгі балаларға тән сипат. Бұған мынадай өмірлік мысалдардан  оңай көз жеткізуге болады: балаға  барлық кубиктерді қорапқа салуды немесе столдың үстіне барлық қасықты жинап,оларды күтушіге апарып беруді ұсынады. Балабірнеше кубикті алып қоюмен және бірнеше қасықты апарумен шектеледі және тапсырма орындалды  деп есептейді. («Сен кубиктің барлығын жинадың ба?» - «Барлығын», -деп жауап береді ол). «Б-а-р-л-ы-қ» сөзі үлкендер үшін құрылымдық-бүтін бірлік түріндегі жиынның жиынтығын білдіреді, ал барлық сөзі  бала үшін бір белгісіз жиынды білдіреді.

Балалар үш жаста жиынды көбінесе, оның шекарасында қабылдайды, олар жиынның әрбір элементін  бөлек-бөлек қарап отырмайды,  сондықтан жиынның барлық элементін  әлі анық қабылдамайды.

Осыдан бірінші қорытынды келіп шығады:  кішкене балаларда құрылымдық-бүтін  бірлік ретіндегі жиын туралы түсінік қалыптастыру және жиынның әрбір элементін  көре білуге , айқын қабылдауға  үйрету керек. бұл үшін үш, төрт,  жасқа келген балалар топтарына оқыту сабақтарын арнау керек.

Алайда белгісіз жиынды қабылдаудан  тұйық бүтін құрылым түріндегі  жиынды қабылдауға көші ұзақ процесс болып табылады және оның бірнеше кезеңі бар.  Бұл кезеңнің алғашқыларының бірі – шектеулі жиынның қалыптасуы. Бұл кезеңде баланың назары  негізінен «жиынның шекарасына» топтастырылады. Мысалы, балаға қатар тұрған бес қуыршаққа  олардың бәрін тамақтандыру үшін  тарелкалар үлестіруді ұсынады. Бала біріншісі мен бесіншісін ғана тамақтандырады да олардың аралықтарындағыларға назар аудармайды. Алайда, ол бәрін тамақтандырдым деп ойлайды. Оған төрт саңырауқұлақтың суреті салынған  карточканың үстіне саңырауқұлақтар қойып шығуды ұсынғанда да ол осылай істейді. Ол саңыоауқұлақтармен шеткі  карточкаларды : біріншісі мен төртіншісін  ғана жабады, мұндайда бала өзіне берілген тапсырма толығымен орындалды деп есептейді.

Мұндай фактілер бұл кезеңде  балалар үшін ең бастысы  жиынның шекараларын  және оларды  белгілеу әрекеттілігін қабылдау болып табылатынын дәлелдейді.

Баланың алдынан кездескен қиындықтың себебі неде? Мәселе мынада: жиынды қабылдағанда бала әрқашан қандайда бір нүктеден бастап есептеп шықты, мысалы, ортадан бастады да, нәрселерді оның екі жағына қойып шықты. Енді құрылымдық-бүтін  жиынды қабылдауда есептеп шығудың екі нүктесі  пайда болды және баланың қолы мен көзінің қимылын қадағалау көрсетіп бергеніндей, оның әрекеті екі шеттен ортаға қарай өзгерді.  Қозғалыс сипатының өзгеруі жиынды қабылдауды  қайта құруды көрсетеді.  Жиынның  екі «шеткі нүктесін»  қабылдау бала үшін ең басты, әрі мәнді болып табылады.

Балалар назарының жиын шекараларына  қатты аударылуы, әлбетте,  элементтердің бүкіл құрамын қабылдауға көңіл қоюды әлсіретті: жиынның шеткі элементтерінен басқа элементтерін балалар байқамағандай сыңай танытты.

Осыдан мынадай қорытынды шығады:  балалар жиынның шеткі элементтері аралығындағылардың бәрін  қабылдауы үшін ересек адам түрткі болуы қажет. Алайда мұны балы бірден игеріп кете алмайды. Әдетте қатарластыра қойылған суреттердің үстіне нәрселерді қойып шығу  тапсырылған кезде бала  әрбір нәрсені суреттің үстіне емес, нәрселерді бір-біріне тақастырып қоя отырып,  шеткілерінің аралығындағы карточкалардың барлық бөлігін  толтыра бастайды, яғни элемент санын санамайды, тек екі шеткі элемент аралығындағы  жерді жай толтырады. Көрсету де жиын элементтерін дәл қабылдауға әрқашан көмектесе бермейді.  Бұл жиынның сандық құрамын қабылдау әлі де диффузиялық күйде болатынын дәделдейді.

Көрсеткенге еліктеуге келсек,  еліктеу жолымен пайда болатын қозғалтқыш дағдының қалыптасуы  кішкене бала үшін әлі де қиындық келтіретіні белгілі.  Қозғалтқыштық тәжірибенің жетіспеушілігі, қажетті көру  мен кинестетикалық  байланыстың болмауы  көру арқылы  берілетін әсер балада қажетті қозғалтқыштық ассоциацияны  туғыза бермеуі мүмкін дегенге әкелді (А.В.Запорожец, Г.А.Кислюк және басқалар).

Зерттеулер нәтижесінде ашылған мына төменгі фактілерді  есте ұстаудың маңызы зор.  Жиынды қабылдау кезінде балалар  өз қозғалыстарын  нүктелердің бірінен,  ең алдымен жиынның ортасында орналасқан нүктеден бастайды. Мұндай қабылдауға дененің өзіндік құрылысы, соның ішінде  қолдың сагиттальдық  бағыты (оңға, солға) қолайлы  жағдай жасайды.  Балалар нарселерді әдетте, оң жаққа-оң қолмен, , солға-сол қолмен таратып орналастырады.  Құрылымдық-бүтін бірлік  түріндегі жиынды қабылдау  кезінде қол мен көздің  қозғалысында санаудың екі нүктесі пайда болады: жиынның шекараларынан бастап оның ортасына қарай.  Балалар осы екі нүктені қалай меңгеріп  алғандарына қарай  олардың екеуін де белгілеп қою  қажеттігі жойылады.  Әрекет нүктелердің бірінен басталады, ал екіншісі  белгіленбейді, алайда бала осы екі нүктенің  арасындағы алаңның  шекарасынан  шықпайды. Мұндайда, егер бастапқы нүкте  жиынның оң жақ шекарасы болса,  әрекет оңнан солға қарай  оң қолмен жүргізіледі және керісінше, егер бастапқы нүкте жиынның сол жақ шекарасы болса, бала бүкіл қатар бойынша солдан оңға қарай сол қолмен әрекет етеді. Қозғалыстың осыған ұқсас стереотипі екі-үш жастан жинала бастайды және өте  ұзақ сақталады. Ал оң қол өскен сайын біртіндеп белсенді бола түседі де,  оң қол мен көздің оңнан солға қарайғы қозғалысының сипаты орнықты бола түседі. Ол мектеп жасында да жиі сақталады, не туралы айтқанда да сөздегі, мысалы, папа сөзіндегі  әріптердің орындарының алмасып түсуі (ап-ап), арифметикалық мысалдарда  цифрлардың орындарының ауысып түсуі (7-9=2) көп жағдайда сипат алған қателер: А.С.Плечко мысалдарды шығаруда қандай қателер болатынын келтіреді: 83-67=24, 12-8=16 және  т.б. «Жұмыс істеген қол қайда жүрсе, бірін-бірі жетелеп отыратын екі көздің көру қарашығы да солай жүреді»- деп жазады И.М.Сеченов. 

Математика оқыту әдістемесінде санның қалыптасуындағы сандық фигуралардың ролі туралы мәселе баяғыда пайда болды. Сандық фигуралар қозғаушылар әдетте балалардың  жиынды стимулдық жолмен жақтаушылар болды. Олар егер дөңгеліктер қатарластыра емес қандай да бір формаға келтіріліп қойылса топтың бүтіндей қабылдай алады деп В. Лай,  Волковский Глаголева, Ф.Н Блехер және т.б дәлелдеді .

Кішкене балалар қатарластыра және сандық фигура түрінде орналасқан ерекшеліктер қандай және олардың айырмашылықтар неде?

 Тіпті кішкене балалардың өзі карточкада 3,4,5 түйменің суреті салынып сандық фигуралардың орналасқанын көре тұрып әдетте қолмен қораптан бір уыс түймені алып шығады. Осы карточканың үстіне төгеді. үлкенірек балалар түймелерді карточканың үстіне қойып шығуға тырысады. Алайда көп жағдайда сол  санды толық қойып шыға алмайды. Олар жеке суреттердің аралығында толтырады. Баланың қолы мен көзінің қозғалысы бір түзудің бойына орналасқан жиынды қабылдау кезіндегі өзгеше болатынын атап көрсету керек. Ол кез-келген түстерді түймелерді алады да оларды ортадан екі жаққа қоя бастайды. Ал жиынды екі шекарасынан бастап, қабылдайтын элеметтеріннің біркелкі болуына талап ете бастайды. Бұл сондай-ақ қабылдау сипатында болып жатқан өзгерістерді дәлелдейді. Бала байқамай басқа затты қолына ұстап қалған жағдайда ол бүтін ретінде жиынға қарап өз қатесін түзетеді. Өзінің қалауымен жиындардағы бірдей түсте болу үшін кейбір түймелерді ауыстырады жиын қойылатын бұл талап элементтінің кезкелген орналасуында байқалады. Оның үстіне балалар жиын элементінің түсін біртекті етуі талпынуын сызықты орналастырғанға қарағанда элементінің саны нашар деферецияланса сандық фигура түрінде орналасуында ертерек байқалады. Бірыңғай сапалы элементтерден тұратын жиынды жасау бағыты бірге өсіп отырады.  Осыдан келіп оқытудың негізгі элементтердің бірі жиынның негізгі белгісін бұзбау және жиын дегеніміз – біртекті элементтердің есте сақтай тұрып, элементтердің құрам жөнідегі баланың түсінігін  кеңейту.

Осыдан  мынадай педагогикалық қорытынды  шығады: есептеу опрерациясын оқытудың  алғашқы сатыларында жиын элементтерінің  аралығына өзара бір мәнді  сәйкестік орнату жолымен қандай да бір нәрселердің  жиынтығын бір түзудің  бойына орналастырған дұрыс.

3. Балаларда санау әрекетін дамыту, санау әрекетінің кезеңдері

Мектеп жасына дейінгі баланың жиынды қабылдауына кеңістік факторлардың әсері. Мысалы, шешесі үлкен баласына үш кәмпит ал кішкенесіне (1 жыл 6 айлық) тек екеу-ақ берді. Бөбек ағасының конфетіне жіті қарап, оған қол созып,  өзінің наразылығын білдіреді. Ол ағасының қолында кәмпит көп екенін қайдан білді, ол жиынды салыстырғанда нені басшылыққа алды?  ‡ш кәмпит екі кәмпитке қарағанда көп жерді алып тұрады, егер олар бірдей шамада болса, бұл бір белгі.  Бөбек конфетті әрбір элемент бойынша салыстырып, оның бір кәмпиті жетпей тұрғанын да табуы мүмкін - бұл салыстырудың басқа тәсілі. Алайда екі кәмпитті кеңістікке орналастырып көріңіз, бала енді өз позициясынан шатасады, өз талабы дұрыс емес деп ойлауға бейім тұрады.

 Н.А.Мечинская, А.М.Леушина  және басқалар жүргізген зерттеулер жиындарды қабылдауда әртүрлі сапалық-кеңістік факторлар әсер ететініне көз жеткізеді.

Жиын элементтерін анық талдай білу дер кезінде дамымаған кезде балаларда жиын «шамасын» бағалау дағдысы оның элементтерін құрайтын саны бойынша емес, әр түрлі кеңістік-сапалық белгілері бойынша, мысалы, оның элементін құрайтын өлшем бойынша, жиын тұрған ауданның шамасы бойынша жасалады. Бұл тенденция кейбір балаларда тіпті төменгі сынып жасында  сақталады. Алайда жастың өсуіне қарай жиын шамасын кеңістік-сапалық белгісіне қарай анықтауға талпыну азая береді, бірақ ол едәуір ұзаққа созылады, өйткені сандық жағы, егер оған көңіл бөлмеген жағдайда, әлі біразға дейін нашар деференцияланған күйде қалады.

Осыдан мынадай қорытынды шығады: құрылымдық-бүтін бірлік түріндегі жиынды ғана қабылдаумен  шектеліп қалмай, балаларда жиын элементтерін дифференциялай білуді өз кезінде  дамытудың маңызы зор және санға дейінгі кезеңде-ақ балаларға жиын элементтерінің  арасына практикалық  жолмен сәйкестік  орнату арқылы  ондағы сандарды  салыстыра білуді үйрету керек.

Бір сызық бойында орналасқан жиынды қабылдау  кезінде балалар  түймелерді оның ақырғы элементтерінің арасындағы кеңістікті толтыра отырып, (бірақ тең мөлшерде емес) қойып шығатыны  жоғарыда көрсетілді. Балаларды карточкада бейнеленген жиынды дұрыс қабылдауға үйрету үшін, олар жиынтықтың әрбір элементін көріп, әрі беттестіру әдісін пайдалана отырып,  берілген жиынды қабылдауы керек. зерттеулер мен көптеген тәжірибелер тіпті екі-үш жастағы балаларға бір жиынтықтың нәрселерін екінші бір жиынтық нәрселерінің суреттеріне, бетестіру әдісін үйретуге болатынын көз жеткізіп көрсетіп берді.

Балаларға үш-бес түйменің суреті қатарластыра салынған карточка ұсынылып, қозғалу жолы солдан оңға қарай оң қолмен көрсетілді. Балалар, берілген бағытты тексерген сияқты, осы қозғалысты өз карточкасында  қайталайды. Сонан соң оларға түймелермен, біреуін де қалдырмай, барлық суретттерді жауып шығу керектігі көрсетілді. Бұл тәсіл үш жасқа, тіпті кей жағдайда екіге қараған (1 жыл 6 ай) балалардың қолынан келетін болып шықты.  Мұндайда қол қозғалысының бірізділігі және онымен суреттерді бақылап тұратын баланың көздері негізгі роль атқарады.  Бұлардың қайсысы да жиын элементтерін  көруге жағдай жасайды. Осыған ұқсас жаттығулардың  нәтижесінде барлық бала  үш жасқа қарай беттестіру  тәсілін еркін игереді және жиынды оған берілген үлгіге сәйкес қабылдайды.

Жиын элементерінің сандық жағын қабылдай білуді дамытуға арналған  келесі мәнді тәсіл  тұтастыру тәсілі болып табылады.  Алайда балалардың мүмкіндігін алдын-ала зерттеп –байқау бұл тәсілді  меңгеруде оның бірқатар ерекшеліктерін  ашты.