Сандық ұғымдарды қалыптастыру және санауға үйрету

Тұтастыру тәсілі баллар үшін бететестіру әдісіне қарағанда күрделірек, өйткені ол жиын ішіндегі  элементтердің өте дәл дифференциялануын және көбінесе дербес болуды талап етеді.  Беттестіру тәсілін жақсы меңгерген  балалар түймелердің суреті салынған карточканың  төменгі жағына, үлгідегідей, түймелерді қойып шығуда едәуір қиналады. Екі жарым жасқа дейінгі бөбектер түймелерді карточкада суреті салынған санына көңіл бөлместен бір біріне тақастырып қойып шығады.

Беттестіру тәсілін толық игерген төртке қараған баланың шамамен үштен бір ғана тақау  әдісін пайдаланады. Бұл әдісті үйренуде тіпті алтыға қараған балалар да  біраз қиындықтарға кезігеді (2 сурет).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 сурет

 

Сызықты болмай, сандық фигура түрінде қойылған жиын  кезінде балалар  өздерін қалай ұстайды? Нұсқау тіпті қалай істеу керектігін көрсетумен қатар берілгеннің  өзінде де үш жасқа дейінгі балалар  бұл тапсырманы қабылдай алмайды. ‡ш жастағы балалардың бір бөлігі түймелерді қойып шығуға әрекеттеніп көреді, бірақ мұны өзгеше істейді: олар түймелерді барлық карточкаларды, бір-біріне тақап, айналдыра  қойып шығады (3 сурет). Сол кезде балалардың  бәрі дерлік  беттестіру әдісін игереді.

                                                           

 

 

 

 

 

 

 

                                                                          3 сурет

Балаларға әдістің өзі ғана емес, тақау сөздерінің мағынасы да қиындық келтіретінін атап  өту қажет. Осыдан мынадай қорытынды шығады: екі, үш жастағы балаларға беттестіру,  тұтастыру, астына қою сөздерінің мағыналық айырмашылықтарын практикалық жолмен түсіндіру қажет.

Тіпті ересек балалар (бес жас) сандық фигурада қанша түйме болса, соншасын жолдың үстіне қойып шығу  тапсырмасын орындай отырып, оларды не квадраттың  төрт жағын айналдыра, не екі жағы бойынша қойып шығады немесе тура столдың үстінде, саны тең емес, сандық фигураның формасын құрастырады (4 және 5 суреттер). Балалардың назары тұстастырудың жаңа әрекет әдісінің  өзіне ауып, санды қабылдауы нашарлайды.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                     4 сурет                                                         5 сурет

 

 

 Бір жиын элементтерін  басқа жиын элементтеріне тұстастыру әдісін игеру қиындығының жалпы себебі  неде жіне неге дәл осы әдіс  жиынды сандық жағынан  қабылдауды қалыптастыруда  неғұрлым мәнді болады?

 Түймелер жиынтығы  бір түймені екінші түйменің  астына қою үшін жиынның барлық элементтерінің арасындағы кеңістік қатынасты сәйкестендіру, олардың санын сызық бойында орналасқанда да, сандық фигура түрінде орналасқанда да дәл қабылдау қажет.

Сол жиынды қабылдауда балалар беттестіру тәсілін біршама оңай игеретіні неліктен? Тапсырманы беттестіру әдісімен  шеше отырып, бөбек түймені оның бейнесінің үстіне қойып, оны жабады және ол үшін жетекші сол  бейненің өзі  болып табылады;  бұл тапсырманы орындауда суреті салынған түймелердің арасындағы кеңістік қатынас елеулі роль атқармайды,  сондықтан оларды бала байқамайды.  Оған жиынтықтың барлық суретін жүйелі  түрде жабу маңызды. Сонымен, беттестіру тәсілі,бір жағынан құрылымдық  тұйық бүтін түріндегі  жиын туралы түсінікті қалыптастыруға , ал екінші жағынан,  балалардың назарын жиын жеке-жеке элементтерден тұратынына  аударуды күшейтуге  жағдай жасады.  Элементтердің жалпы саны баланы әлі көп қызықтырмайды.

 Элементтердің астына қоюдағы қиындықтардың себебі неді, осы әдісті игеруде баланың алдында қандай жаңа міндеттер пайда болады?  Берілген жиында жасайтын элементтердің санын баланың көз алдына дәл елестету керек.  бұл үшін тек түйменің бейнесін ғана емес, олардың арасындағы кеңістік қатынастарды да қабылдау қажет. Тек мұндай жағдайда ғана жиынның сандық жағын бөліп алуға болады.  Бейнелердің арасындағы қашықтықты есепке алуға бала әлі үйрене қоймайды. Егер бала беттестіру кезінде бейненің өзін басшылыққа алса, ал тұстастыру тәсілін пайдалану үшін ол жиынды қабылдаудың жаңа деңгейіне көтерілуге – суреттердің арасындағы кеңістік қатынастарды, яғни жиынның ішіндегі элементтерді көре білуге тиіс, мұның өзі баланы жиынның элементтерін сан жағынан дәл қабылдауға алып келеді.

Жиын элементтерін сызықты, сондай-ақ сандық фигура түрінде орналастырғанда олардың арасындағы кеңістік қатанастарға әлі талдау жасай білмегендіктен, бала түймелерді, бір-біріне тақастыра отырып, жиынның шекарасындағы ауданды толтырады, сол арқылы сәйкес емес санның үлгісін қабылдайды. Егер оқыту процесінде жиынның ішкі элементтерінің кеңістікте сәйкестенуіне қажетті мөлшерде көңіл бөлінбесе, онда мұндай сәйкестенудің болмауы  жиынтықтың сандық жағын қабылдауда, бала тіпті, сан-есім сөздің  көмегімен санауды  үйренген кезеңнің өзінде де, біраз қателіктерге ұшыратады.

Балалардың мінез-құлқына талдау жасай отырып, неге баса назар аудару керек? балалар санауды жиын элементтерінің санын анықтау құралы ретінде пайдаланбайды, сандарды ретімен айтып, олар осы тізбекте басқа жиынтықты санаған кезде аталған санға естілуі жағынан сәйкес келетін сан-есім сөз қашан пайда болатынын күтеді. Оның үстіне бұл балалар үшін сан жиын элементтері санының көрсеткіші болып табылмайды.  Балалар нәрселер мен натуал қатар сандарының арасында өзара-бір мәнді сәйкестік орнату әрекеті ретіндегі санау әрекетінің  шынайы мәнін әлі де игере алмайды. Олар санау кезінде оңай шатасады., сан-есім сөзді жиынтық объектілерімен  нашар байланыстырады: не сан есім-сөзді  қалдырып кетеді., не санау кезінде объектіні қалдырып кетеді немесе бір объектіге  қатысты екі сан есімді бірден атайды. Балалар санауда белсенділік көрсететін сияқты болады, алайда олар санаудың мәнін түсінетін дәрежеге дейін көтеріле алмады.

Келтірілген мысал балалардың сан есім-сөздердің көмегімен санау әрекетіне ерте өткенін дәлелдейді.  Оларды жиынның барлық элементтерін  дәл қабылдау әлі қалыптаспаған. Олар жиындарды, олардың элементтерін бір-бірімен салыстыра отырып,  іс жүзінде салыстыруға үйренбеген.  Бұл білімдердің болмауы оларға санау операциясын толық меңгеруге және жиынның тең сандылығының көрсеткіші ретіндегі санның мәнін неғұрлым терең түсінуге  мүмкіндік бермеді. Әрине, бұл балалар үшін өздері оңай бұзып ала беретін,  сандардың бірізділігінің мәні түсініксіз  болып қала береді,  себебі сан есім-сөздерінің  ретін еске сақтау оларда тілдік ассоциация негізінде ғана қалыптасқан.

Келтірілген фактілер жиын жөнінде және оқытудың санға дейінгі кезеңінде  жиынның әртүрлі операциялары  туралы түсініктің қалыптасу мәнінің үлкен маңызы бар екенінің куәсы болады.  Осыдан мынадай қорытынды шығаруға тура келеді: ерте жастан бастап балаларға «көп пен бірді» ғана емес, құрылымдық-бүтіг бірлік ретіндегі жиын уралы түсініктің қалыптасуын, сондай-ақ жиынды  құрайтын жеке-жеке элементтерді айқын қабылдауды да үйрету керек. мұның бәрі баланы жиын элементтерін сан есім-сөздің көмегімен санай білуге алып келеді. Жиынмен алдын ала істелінетін жұмыс балаларға  сан ұғымы туралы тез әрі терең ойлауға және санау әрекетін игеруге мүмкіндік береді.  

Санға дейінгі кезінде-ақ әртүрлі операциялар жүргізілуі мүмкін. Егер жиынның барлық элементтері сапалық жағынан біртекті болса, балалардың  жиынды бүтін бірлік ретінде қабылдайтыны жоғарыда көрсетілген. Егер мұндай тенденция жиынды қабылдауға өту кезеңінде (2-4 жас) өзін-өзі толық ақтаса, ол онда кейінірек одан әрі дамуға бөгет болады. Мысалы, столдың үстінде төрт балық және қорапта  алты балық жатыр. Алты  жастағы бала оларды жеке-жеке ғана қабылдай алады. Барлығы қанша балық деген сұраққа ол былай деп жауап береді: егер қорапшаларды столдың үстіне қойса, басқа балықтармен олар он болады. Немесе басқа мысал кішкене қыз өзеннің екі жағына екі-екіден үйдің суретін салды.  өзеннің екі жағында барлығы қанша үй бар деген сұраққа ол былай деп жауап берді, егер мына екі үйді басқа жағына өткізсе,  онда олар төртеу болады.  Жиын элементтерінің әртүрлі кеңістікте  орналасуы оларды бірлікте қабылдауға кедергі келтіреді.

 Сондықтан балаларға  жиындармен әртүрлі операциялар жасауды тұтас алғанда барлық жиын үшін тән емес өзінің сапалық ерекшеліктері бар екі топтан бірлік жиын жасауды ұсыну қажет.  Мысалы, бірнеше қызыл және көк жалаушаларды жалаушалардың бірлік жиынына біріктіру немесе, керісінше бірлік жиынды (дөңгелектерді) қандай да бір белгісіне (түсіне, көлеміне, формасына, түріне және т.б.)  қарай ішкі жиындарға бөлу.  Сөйтіп тектік белгісіне қарай  құрылған сол бір жиын әр түрлі белгісіне қарай ішкі жиындарға бөлінуі мүмкін. Әрі осы бөлінген ішкі жиындардың  барлығы бір-бірімен салыстырылуы ықтимал, мұндайда олардың арасында  сандық қатынастар , әлі санмен өрнектелмеген еңдіктер мен теңсіздіктер байқалады.

Бірінші сыныптағылардың арасында жүргізілген тексерулер  балалар бақшасынан мектепке өткен  балалардың барлығы бірдей  жиынды әртүрлі белгісіне қарай  реттей алмайтынын,  олардың арасындағы алуан түрлі қатынастарды түсіне бермейтінін көрсетті.

Бұдан мынадай қорытынды шығады: мектеп жасына дейінгі барлық аралықта  балалармен жиын жөнінде жұмыс жүргізу қажет. Құрылымдық-бүтін бірлік ретіндегі жиын жайлы түсініктің қалыптасуына  ерекше көңіл бөлу  және сонымен бірге жиынның  әрбір жеке элементін көре білуге үйрету керек. бұл үшін балаларды сан есім-сөздің көмегімен санауды үйретуге асығудың қажеті жоқ. Балаларды екі жиын элементтерінің арасына сәйкестік орната отырып,  оларды элементтері бойынша  салыстыра білуге үйретудің маңызы зор.   Мектепке дейінгі естиярлар және ересекжаста  жиынның әртүрлі операциялар жасауды үйрету, әртүрлі сапалық белгілері бойынша, жиындарды салыстыра білуге үйрету, іс жүзінде де (санаусыз), сондай-ақ есім-сөздердің көмегімен  санауға жаттықтыру арқылы да жиындардың теңдігі мен теңсіздігін көре білуге үйрету орынды.

Баланың жиын жөніндегі әрекетін бақылай және зерттей отырып олардың бірыңғай нәрседен тұратын жиынтыққа үлкен ынта қоятынын байқауға болады. Балалар жиынтықтағы нәрселерді столдың үстінде көбіне горизанталь қалыпта қисық сызық түрінде гүл тізбесі етіп қойып шығады. Олар нәрселерді мысалы түймелерді, тарелкаларды, кеселерді және басқа да ұсақ нәрселерді жиі-жиі бір-біріне тіркестіріп қатар қояды. Балалар екі жасында біркелкі нәрселерді жиындығына өте ұмтылғыш келеді. Бірақ оларға олар жиынның барлық элементері бір түсті ме, мөлшері бірдей ме оған селхоз қарайды. Нәрселерді бірнен соң бірін қойып олар жиындарды бөлшектеген сияқты болады және осының өзі  балалардың назарын аударады. Мысалы, олар пирамидаларды дөңгелекке шашып жіберіп оларды  бір қатарға тізеп қоятынын байқауға болады. Балалар жиынтықтағы нәрселерді столдың үстінде көбіне горизанталь қалыпта қисық сызық түрінде гүл тізбесі етіп қойып шығады. Олар нәрселерді мысалы түймелерді, тарелкаларды, кеселерді және басқа да ұсақ нәрселерді жиі-жиі бір-біріне тіркестіріп қатар қояды. Балалар екі жасында біркелкі нәрселерді жиындығына өте ұмтылғыш келеді. Бірақ оларға олар жиынның барлық элементері бір түсті ме мөлшері бірдей ме оған селхоз қарайды. Нәрселерді бірнен соң бірінен қойын олар жиындарды бөлшектеген сияқты болады және осының өзі  балаларын назарын аударады. Мысалы олар пирамидаларды дөңгілекке шашып жіберіп оларды  бір қатарға тізеп шығады. Бала қайталайтын сөз бір немесе бірнеше қозғалысқа қатысты болып келуіне маңызы зор. Сөз біркелкі нәрселер қозғалыстар жиынтығына элементтерін бөліп алуға бір элементі екіншісіне дәл жекелеп шығуға мүмкіндік береді. Мұндай да бала танып білмеген нәрселер санының арасында өзара бір мәнді сәйкестік дәлірек айтқанда біркелкі айтылған қозғалыс пен санның арасында сәйкестік орналастырады. Әрене бұл әлі баланың стихиялы түрде пайдаланған тәсілі белгілі дәрежедіе Баланы келешекте санау әрекетіне дайындау қызметін атқарады. Жиындар мен айлалы әрекет жасауды санау әрекетінің дамуының бірінші кезені ретінде қарауға болады. Бұдан әрі жиындар мен шамаларды салыстыруға деген ынта пайда болады. Мұндай жағдай бала өмірінің 3-ші жылын сипаттайды және санау әрекетінің екінші кезеңі ретінде қаралуы мүмкін. Санау әрекеті дамуының 3 кезеңін салыстыратын элементтерінің салыстыру сан есім сөздерін  атауға келіп қосыла бастайды. Санау әрекеті дамуының 4 кезеңінде мектеп жасына дейінгі балалар рет-ретімен атауды айқын меңгереді. Әрбір элементтің сапасына тәуелсіз белгілер беріледі. Олар қорытынды түріндегі соңғы санының мәнін меңгеріп қана қоймайды сонымен бірге сан жиындардың кеңістік сапалық ерекшелігіне сапасыз. Олардың тең сандылығы көрсететін әрқашан әрқашан санының көрсеткіші қызметінің атқаратынын түсіне бастайды. Сандық бірінен соң бірін қатар түбегелеп отыруы натурал сандар. Өзара байланыста болуын қамтамасыз етеді: әрбір келесі сан өзінің алдындағы санына бір бірлік кем сонымен бұл кезеңде балалар санның сандық мәнін және сандық қатардағы көршілес сандардың арасындағы өзара кері қатынасты білуді игереді.

5 кезеңінде балалардың  білімі мен дағдыларына сүйене  отырып 6-7 жастағы балаға бірліктері әртүрлі тұратын жиынды үйретуге болады. Бұл кезде жекелеген нәтежелерді емес бірнеше нәрседен тұратын топ санын алады. Санау әрекеті жаңа неғұрлым биік деңгейге көтеріліп түседі. Санау әрекеті 6 кезеңінің негізінен мектептің 1-ші сыныпына түседі. Бірліктері әртүрлі негізден тұратын жиынды санауға жаттыға отырып балалар оңға дейін санауға үйренеді. Яғни есептеудің ондық системесы негізінен қарапайым түсініктерге жақындайды. Бұдан әрі қарай ондықтардың атын үйрене келе балалар олардың мәнін түсінеді және оны нақты материалдардан көрсетіп бере алады.

Санау әрекетінің өсу процесінде балаларда бірқатар түсініктер қалыптасады. Мұнда санаудың жаңа түрі өлшеу пайда болады. Алдымен жеке заттарды сонан соң топтап санауды пайдалана отырып қайсы бір ұзындықты әртүрлі шартты өлшемдермен (метрмен, сантиметрмен) өлшеуді пайдалана отырып, суық және сусымалы денелерді алдымен шартты өлшемдермен (стакан, қасық), ал сонынан соң эталонмен (литр, кг) өлшей отырып су мен ауаның температурасын градуспен өлшеу етіп, уақыт ұзақтығы мен ағынның сағатпен, өлшей отырып балалар дамып кеңейіп отырытын барынша үлкен абстракцияға дейін өсе беретін сан ұғымын меңгереді.

4. Балаларда  натуралар қатардың белгілі кесіндісі туралы түсінікті дамыту.

Балалар ересектерді тыңдай жүріп сан есім сөздерін ерте –ақ меңгере бастайды. Алайда үлкендердің санауының сыртқы жағын ғана алады. Аталған сан есімдердің реті көбінесе үлкендерден естіген телефонның қайсы номерінің көшірмесі, үйдің, пәтердің номері және т.б болып табылады. Сан есім сөздердің реті тұрақты болмайды. Кейде балалар өзіндеде ауыса береді. Сан есім сөздерді осылай кездейсоқ атауды Френкель өз зерттеулерінде ретсіз деп атап көрсетті. Бірақ сан есім сөздерді атау біртіндеп реттей келе бастайды Басқа балалар көресетілгенге дейінгі сан қайсы одан кейінгі сан қайсы?-деген сұраққа жауап бере отырып, кейін «алдында», «артында» терминдердің  өздерін ауыстырады және оларда алдында тұрған санға қарап, одан кейін келетін санды айтады. Көптеген балалар кейін келетін санды атап отырып алдында тұратын сандарды атай алмайды. Сонымен натурал сандар туралы қалыптасу ерекшелігі ол біртіндеп дамып қана қоймайды. Айналады деген қорытынды шығады. Таза кеңістік бейне түріндегі натурал  қатар туралы жалпы түсінік көршілес сандар арасында өзара кері байланыстарды балалар меңгеру процесінде қатар жөніндегі түсінік береді. Балалар натурал қатарды құрудың негізгі принциптерін меңгере бастайды.

Пайдаланылған әдебиеттер:

Негізгі әдебиеттер: